\begin{chapter}{Analiza Mekaniko} 
Oni volas nu enkonduki al la bazoj de la \homo{Lagrange}-a kaj Hamilton-a priskribo kaj marki iliajn malsama\v jojn. La unua havas sian kialon en la priskribo de la aro kaj koordinataj de la posicio kiu estas kunigitas kun la rapideco, sian unua deriva\v jo. Pri la \homo{Hamilton}-a priskribo oni uzas du variabloj kunigitas kiel momanto unu de la alia. Ofte la variablo estas de posicio sed ne \v ciam. Oni devas konsideri la mekanika problemo kiel iu formulita de Newton, la forco estas $\vet F = m\ddot{\vet x}$ kaj ne depenas de pluajn deriva\v j gradoj. Iu akcelo depenas sole de potencoj de $\qx,\qv$. 
\begin{section}{Aroj} 
Oni nomi\v gas \ero{Konfigura} \v cio kiu rilatas al la posicio. La \ero{Konfiguracia Spaco} estas la aro en kiu $\qx$ valoras. Kial $\qx$ estas ia sistemo de koordinatoj kiel $\sum_i\pol_i$ a\u u la anguloj de armonikaj oscilatoroj la konfiguracia spaco estas la Cartesio-a produkto de la intervaloj en kiu estas difinita, ekz: $\sreal{(0,\infty)}\times\dupi{\mathbb{S}^1}\times\sdupi{\mathbb S^1/2}$ a\u u $\mathbb S^1\times\mathbb S^1$. Oni pensas al \v cio koordinato kiel temp dipenda kaj sercas la deriva\v jon $\dot{\qx}$ de \v ciu posicio $\qx$. La aro de $\qx_t$ estas kurbo (unu dimensio) kaj la mapo $t\mapsto \op x$ estas la \ero{Orbito}. La \ero{Faza Spaco} estas la spaco en kiu estas difinitas $(\qx,\dot{\qx})$ kaj la \ero{Faza Portreto} estas sia prezento en \homo{Cartesio}-a aksoj kunigitas en kuploj $(x,\dot x)$.  Si la posicio estas difinita en iu varieco sia deriva\v jo devas esti tan\v ga al tiu varieco. Do oni povas imagini la varieca surfaco malkomponita per fibroj (ekz: secante la aroj de la varieco kiuj depenas de unu sole koordinato foje) kaj poni en \v ciu punkto tan\v gan kurbon. Oni do kreas la \erof{Tangxa Fibrato}{Tan\v ga Fibrato} \begin{displaymath}TQ \EDef\{(x_1,x_2,,x_N,\dot x_1,\dot x_2,,\dot x_N)\in \R^{6N}|\qx\in Q, \qv \in V\in T_\qx Q\}\end{displaymath} $\qx(x_1,x_2,,x_N)$ estas loka sistemo de koordinatoj a\u u loka imersio de $U\in\R^N$. 
\par Oni nomi\v gas la varieco (anka\u u temp dipenda) ke ligas la posicio sur unu surfaco, la \ero{Ligilo Olonoma}, kiu povas esti imaginita kiel forcoj ($\vec\Phi=(\Phi_\gamma,\Phi_n,\Phi_b)$ sur kurbo kiel la \homo{Frenet}-a bazo) kiuj \v cie nuligas \v cian eksteran forcon normalan al la varieco. La prezento de la $\qv$ en tiu senco estas univoke difinita de la aparteno al la tan\v ga fibrato. La ligilo estas ideala si $\vec\Phi\cdot\qv=0$ prefere la rapidoj estas ortogonala al \v ciuj vinklaj reacioj mode ke la vinklaj reacioj ne agas laboron per $t$ fiksa.\end{section}
\begin{section}{Kvalitaj Solvadoj de Diferenciala Ekvacio} Pro la \homo{Cauchy}-a teoremo de ekzisto kaj unikeco oni povas fari simple konsideroj pri la ecoj de tiuj orbitoj. La \homo{Newton}-a formulo $\vet F=m\ddot {\vet x}$ estas prezentigebla per $\vet v = \dot {\vet x}$\spa$\dot {\vet v} = \vet F(x,v)$ a\u u \begin{displaymath}X(x,\dot x)=\vek{v\\F(x,v)}\end{displaymath} Kie $X(x,v)$ estas la \ero{Kampo}.
\par Por koni la disvolvi\v go de la sistemo oni devas studi la ecoj de la ekvilibroj kaj disigiloj. Si oni volas scii kiam la sistemo hati\v gas oni nulas la rapidon kaj sercas la korespondajn valorojn $\qx^*$ de $X(x,v)=0$ kiu nomi\v gos \ero{Ekvilibra Konfigurado}. La \ero{Ekvilibra Punkto} estas do $(x^*,0)$. \v Cirka\u ue la ekvilibro oni linearigas la kampon en potenca serio fine al la unua termo. Do \begin{displaymath} \qv = A_{ij}(\qx - \qx^*) + O(\qx^2) \qquad A_{ij}=\De{x^j}X_i(\qx)\big|_{\qx=\qx^*}\end{displaymath} $A_ij$ Jacobi-a matrico kiu oni bone priskribas la iradon de la ekvilibra \v cirka\u uo. La \ero{Disigilo} estas la kurbo kiu kunigas du ekvilibroj sine neniam kunligi ilin sed disas la orbitojn inter du diversaj iradoj. Oni akiras al la orbit ekvacion forigante la tempon. La solvadoj de Cauchy-a problemo $\qx(t;\qx_0):\qx+0\mapsto\qx(t;\qx_0)$ teni\v gas en ia proksimi\v go $|\qx(t;\qx_0') - \qx(t;\qx_0)| \leqslant e^{\omega t}|\qx_0 - \qx_0'|$ ke, kaze, povas esti plibonigita. \par 
Kiam la forco ne depenas pro la tempo la orbitoj ne intersekas kaj havas temp traslacian invariantecon. \v Ci tiu permatas de difini specialan ecojn de la flukso.
\begin{subsection}{Flukso:} \ero{Flukso} $\mathnormal{\Phi^{\vet{X}}}:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$, $(t,\vet{x}_0)\mapsto\Phi^{\vet{X}}(t;\vet{x}_0):= \vet{x}(t;\vet{x}_0)$ o $\Phi^{\vet{X}}_{t}$. La flukso agas sur la aro de inicialaj datoj.\\ Ecoj: $I)$ $\Phi^{\vet{X}}_0$ identeco $I\!I)$ $\Phi^{\vet{X}}_t \circ \Phi^{\vet{X}}_s =  \Phi^{\vet{X}}_{t+s}$, $I\!I\!I)$ $(\Phi^{\vet{X}}_t)^{-1} = \Phi^{\vet{X}}_{-t}$, $I\!V)$ $\Phi^{\vet{X}}_{t}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ estas difeomorfismo. La aro de difeomorfismoj $\Phi^{\vet{X}}_t$ formas grupon rilate la kompono kaj estas omomorfa al la adiktiva grupo in $\mathbb{R}$. Pro la ne-a\u{u}tonomaj ekvacioj oni devas indiki la iniciala tempo \v{c}ar oni perdas la traslacieco $\Phi^{\vet{X}}_{t;t_0}(\vet{x}_0)$. Ne-a\u{u}tonoma ekvacio rekunduki\v{g}as al a\u{u}tonoma ekvacio en sistemo de $\mathbb{R}^{n+1}$ sed ne eksistos plu ekvilibroj.\end{subsection}
\begin{subsection}{Unua Integralo:} La \ero{Unua integralo} de $\dot{\vet{x}} = \vet X(\vet x)$ se estas sen\v san\v ga la\u ulonge la solvado de la ekvacio $f(\vet x,t;x_0)$ a\u u $f \circ \Phi_{t}^{\vet X} = f, \forall t$ $f(\vet x, \dot{\vet{x}}) = cost \Rightarrow \frac{d}{dt}f = 0$. Per tia valoro de la unua integralo la solvadoj devas resti sur nivelaj aroj de tiu \v ci funkcio. La faza spaco estas malkomponas la\u u ne\v san\v gema subvarieco de unu dimensio minusa. Se estas pli integraloj la solvadoj teni\v gas en la intersecio de tiuj \v ci. Estas $f_1,,f_k$, funcionale sendependa se lia Jacobi-a matrico havas la maksiman rangon. Unua integralo havas lia gradienton normalan al la sistemo de diferenciala ekvacio kaj solvas $\vet X(\vet x) \cdot \nabla\vet x = 0$. De tio, oni konstruas la deriva\v jo de Lie: $\Lie_Xf:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ definita la\u u $\Lie_Xf := \vet x \cdot \nabla f = \sum_{1 = i}^{n} X_i \frac{\partial}{\partial x_i}f = \vet X \cdot \nabla f = \dot{\vet{x}} \cdot \nabla f = \di_{t}f$. Se f estas unua integralo $\poi fH=0$ \end{subsection}
\begin{subsection}{Klasado de la proksimecoj ekvilibraj la\u u la a\u utovaloroj:} Reala A\u utovaloroj: la armonika repu\v silo stabila pro $\lambda > 0$ instabila pro $\lambda < 0$. Oni povas elekti baza \v sani\v go ke eblas diagonaligi $A$ pro la matrico P \begin{displaymath}\vet y(t) = P^{-1} e^{At}\vet y_0 = \left(\begin{array}{c} c_1e^{\lambda_1 t} \\ c_2e^{\lambda_2 t}\end{array}\right)\end{displaymath} Oni akiras la sekvanta iperbola fasko kiu donas $y_2 = cost |y_1|^{\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}$ $\lambda_2 < \lambda_1 < 0$ ekvilibrio stabila, $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$ \ero{Selo}, $0 < \lambda_1 < \lambda_2$ ekvilibrio instabila. Se a\u utovaloro nulas solvadoj rektas. Oni kunigas al la solvado iperbola al la parto reala kaj al tiu ima\v ga la rotacia solvado. Matrico kun koniuga duopo de a\u utovaloroj kompleksaj esprimi\v gas per \begin{displaymath}\left(\begin{array}{c c} \mathfrak{Re}(\lambda) & \mathfrak{Im}(\lambda) \\ -\mathfrak{Im}(\lambda) & \mathfrak{Re}(\lambda) \end{array}\right)\end{displaymath} Se la reala parto estas nula la faza portreto nomi\v gas \ero{Centro}. La solvadoj kun kompleksaj a\u utovaloroj rapresenti\v gas per $e^{At}\vet x_0 = e^{\alpha t}PR(\beta t)P^{-1}\vet x_0$. La ekvilibro diri\v gas iperbola se $\mathfrak{Re}(\lambda) \neq 0$ a\u u elipsa se $\mathfrak{Re}(\lambda) = 0$ kaj $\mathfrak{Im}(\lambda) \neq 0$. En la mekanika \v sanco la unua integralo konsistas el kinetika termo $1/2 m v^2$ kaj potenciala $\mathcal{V}(x)$ do studinte la formo de $\mathcal{V}(x)$ oni akiras al la orbo de la faza portreto, kiu estinta sen\v san\v ga, valoras la rilato $\mathcal{E} = 1/2 m v^2 + \mathcal{V}(x) = cost$. Oni studas nu la aron $\mathcal{J}_e = \{\vet{x} \in \mathbb{R}^n|V(x) < e\}$. $\partial_{\vet{x}} \mathcal{E} = V\prime (\vet{x})$,$\partial_{\vet{x}} \mathcal{E} = mv$. La singolaraj punktoj de $\mathcal{E}$ estas sekve ekvilibroj. La faza portreto akiri\v gas per $v(\vet{x};e) = \pm \sqrt{2/m(e - \mathcal{V}(\vet{x}))}$. Eskludita maksimume la punkto $v = 0$ kiu povas estis tre neregulara. Oni kunigas do la kompono +a kun tiu -a kiuj estas simetriaj al la abscison. La\u{u}e $e$, $\mathcal{J}_e$ kluas, aperas a\u u estas punkton. La rapidoj povus atingi a\u{u} ne la absciso. $\di_{t}\vet{x}_t = \sqrt{2/m(e - \mathcal{V}(\vet{x}))}$\spa$\sqrt{2/m} \cdot d \vet{x}/\sqrt{e - \mathcal{V}(\vet{x})} = \textsl{d}t$\spa$t(\vet{x}) = t_0 + \sqrt{2 m} \int_{\vet{x}_0}^{\vet{x}}\di x/\sqrt{e - \mathcal{V}(\vet{x})}$: hora le\v{g}o, ripetinte kun \v{c}iuj inversio-punktoj pro kiuj $t \mapsto \vet{x}_t$ perdas la monotonon. \ero{Periodo} \begin{displaymath}T(l) = \sqrt{2m}\int^{\vet{x}_-(e)}_{\vet{x}_+(e)}\frac{\di\vet{x}}{\sqrt{e - \mathcal{V}(\vet{x})}}\end{displaymath} Oni devas kalkuli la inversa de la potencialo $e \mapsto \vet{x}(e)$. \ero{Ekvilibro Firma} se per \v{c}iuj proksima\v{j}o $U$ de $\VO{x}$\spa$\exists U_0$ de $\VO{x} | \vet{x}_0 \in U \Rightarrow \vet{x}(t;\vet{x}_0) \in U \, \, \forall t > 0$. \ero{Ekvilibro Nefirma} se ne estas firma kaj \ero{Ekvilibro Asintota Firma} se $\lim_{t\mapsto\infty}\vet{x}(t;\vet{x}_0) = \VO{x}$. Asintota firmeco kutimi\v{g}as en disipaj sistemoj neeble por tiuj konservaj. \end{subsection}
\begin{subsection}{\large Metodoj Lyapunov-a} Oni utiligas funkcion, \homo{Lyapunov}-an nomatan, por studi la ecoj de la ekvilibra proksimeco. Se $L_{\vet{X}}\cdot\mathcal{W}(\vet{x}) = 0$\spa$\vet{x}_0$ firmas, se $L_{\vet{X}}\cdot\mathcal{W}(\vet{x}) < 0$ do asintote firmas. La aroj de subniveloj $\{\mathcal{W}(\vet{x}) < c\} = \mathcal{W}_c$ formi\v{g}as bazo de proksima\v{j}oj. Spektrala metodo: Oni \v sercas la a\u utovaloroj de la Jacobi-a de  $\vet{X}$\spa$\dot{\vet{x}} = \vet{X}\vet{x}$\spa$\partial_{\vet{x}}\vet{X}(\VO{x})$. Se \v{c}iuj a\u{u}tovaloroj havas parto reala nea $\vet{x}$ estas nefirma, se a\u utovaloro estas nula oni devas konsideri anka\u u la termoj de pli grandaj gradoj. \end{subsection} 
\begin{subsection}{Frenet-a Bazo} Arka parametro $s \mapsto \gamma(s)$\spa$\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$\spa$\big|\di_{t}\gamma(s)\big| = 1$\spa$\forall s \in \R$. \eroh{Frenet}{Bazo}: $e_\tau = \di_{s}\gamma$,$e_\mathfrak{n} = \rho \di_{s}e_\tau$ per $\rho := \big|\di_{s}e_\tau(s)\big|$ kaj $e_b = e_\tau \times e_\mathfrak{n}$. $\rho(s)$ normaligas $\di_{s}e_\tau$ kaj nomi\v gas radio de \v cefa kurvado. $\dot{\vet{x}} = \ddot{s} e_\tau + \dot{s} \di_{t}e_\tau = \ddot{s} e_\tau + \dot{s}^2 \di_{s}e_\tau = \ddot{s}e_\tau + \dot{s}^2\di_{\rho}e_\mathfrak{n}$. \homo{Newtown}-a ekvacio $m\ddot{s} = f_\tau(s,\dot{s}) + \Phi_t$, $m\dot{s}/\rho(s) = f_n(s,\dot{s}) + \Phi_\mathfrak{n}$\spa$0 = f_b(s,\dot{s}) + \Phi_b$. \ero{Glata Ligilo} $\Leftrightarrow \Phi_t = 0$.\end{subsection} \end{section}
\begin{section}{Lagrange-a Priskribo} Oni imaginas movantaj partikloj sur ligilo. La koordiantoj de la posicio kaj rapido sur la varieco estu \begin{displaymath} \begin{array}{r l}\opl{\vet g}:\stackrel{\in\R^N}{(\tilde x_1,,\tilde x_N)}&\mapsto (x_1,,x_n) = \qx\\&=\big(f_1(x_1,,x_n),,f_n(x_1,,x_n)\big)\end{array} \qquad \dot {\opl{\vet g}} = \sum_i\sum_j\frac{\partial f_i(x_1,,x_n)}{\partial x_j}\cdot \dot{{x}}_j\end{displaymath} kie $n$ estas la dimensio de la varieco, minusa de $N$. La kinetika energio, kiu oni difinas kiel sole definika de kvara termoj de $\qv$ \v car la aliaj partas al la \ero{Potencialo Generaligita} $\U(\qx,\qv)\EDef = U_0(\qx)+U_1(\qx,\qv)+U_2(\qx,\qv^2)$, estas do \begin{displaymath} \tilde T = \frac12 \opl m\kar\trasp\opl{\dot{\tilde {\vet x}}}_i\cdot\opl{\dot{\tilde {\vet x}}}_i \qquad T = \frac12 \opl m\kar\dot {\vet {\opl g}}\cdot\dot {\opl {\vet g}}=\frac12 \Big(\opl m \sum_i\sum_j\frac{\partial f_i}{\partial x^j}\frac{\partial f_j}{\partial x^i}\Big)\dot x_i\dot x_j = \frac12 \trasp\qv A \qv \end{displaymath} 
\begin{ekzemplo}{Sfera Koordinatoj} $\tilde{\vet x} = (x,y,z)$\spa$\vet x=(\ra,\dupi\phi,\sdupi\theta)$\spa${\vet g}=(\ra\cos\phidp\sin\thetapi,\ra\sin\phidp\sin\thetapi,\ra\cos\thetapi)$ \begin{displaymath} \dot{\vet g} = \left(\begin{array}{c c c}\cos\phidp\sin\thetapi&-\ra\sin\phidp\sin\thetapi&\ra\cos\phidp\cos\thetapi \\ \sin\phidp\sin\thetapi&\ra\cos\phidp\sin\thetapi&\ra\sin\phidp\cos\thetapi\\ \sin\thetapi&0&-\ra\cos\thetapi\end{array}\right)\vek{\dot\ra\\\dot\phidp\\\dot\thetapi}\end{displaymath} La determinato de la Jakobi-a esta $|J|=\ra^2\sin\thetapi$.\\$\tilde T= 1/2 m(\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)$\spa$T=1/2\trasp\dot{\vet x}A\dot{\vet x}$ \begin{displaymath} A = m\left(\begin{array}{c c c} 1 &0 &0\\0&\ra^2\sin^2\thetapi&0\\0&0&\ra^2\end{array}\right) \qquad \dot{\vet x}=\vek{\dot \ra\\\dot\phidp\\\dot\thetapi}\end{displaymath}$T=1/2m(\dot\ra^2+\ra^2\sin^2\thetapi\dot\phidp^2+\ra^2\dot\thetapi^2)$ ke privi\v gas la ortogonaleco de la polaraj koordinatoj.\end{ekzemplo}
Oni introdukas la \eroh{Lagrange}{Kompono de la Ekscito} \begin{displaymath}\opl{\vet{\mathfrak L}}(\qx,\qv,t)\EDef \opl{\vet F}(\opl{\vet g}(\qx),\dot{\opl{\vet g}}(\qv),t)\frac{\partial \opl {\vet g}}{\partial \qx}\end{displaymath}
\ero{Akcelo} $a = (\ddot \ra - r{\dot\phi}^2)\hat{e}_r + (2\dot r\dot \phi + r\ddot{\phi})\hat{e}_{\phi}$. \ekz{Centra Kampo} $m(2\dot r\dot \phi) - r\dot{\phi}^2) = -k/r^2$,$m(2\dot r\dot \phi + r\ddot{\phi}) = 0$. Energio kinetika $T(\vet{q},\dot{\vet{q}}) = \frac12 M\tilde{\mathcal{W}}\qq{\tilde{\mathcal{W}}}\qq$ Komponoj Lagrange-a de la ekscito $T\qq = \frac12\q A(\vet q) \q$\spa$a_{i,j} = M\partial_{q_i}\tilde{\vet{X}}\partial_{q_j}\vet{X}$\spa$ \mathfrak{L}_i\qqt = F(\tilde{\vet{X}}(\vet q),\tilde{\mathcal{W}}\qq,t)\cdot\partial_{q_i}\tilde{\vet{X}}(\vet{q})$\spa$\di_{t}\partial_{\q}T-\partial_{q}T = \mathfrak{L}_i$\spa$\mathfrak{L}_i = -\partial_{\vet{q}_i}V$\spa$L\qqt := T\qqt$. Se la Lagrange-a ne sekvas de iu koordinato lia konjugita momento estas unua integrala. $\p_i = \partial_{\vet q}L$, $\partial_{\vet q}L = 0$, $\vet p_i = cost$. Oni finfine akiras la \eroh{Lagrange Euler}{Ekvacio}\begin{equation}\de{t}\De{\q}L-\De{\vet q}L = 0\end{equation} \label{Kalibro} Lagrange-a ekvivalenta $L\qqt + \sum^{N}_{i = 1}\partial_{\vet q_i}F(\vet q,t)\q_i + \partial_{t}F(\vet q,t)$ kondukas al la sama Lagrange-a ekvacio kaj lia ima\v ga kurbo $t \mapsto \vet q(\gamma(t))$ estas solvado de la Lagrange-a ekvacio. Ia ekvilibra ekvacio estas pro $\partial_{\vet q}\mathcal{V}_0 = 0$. 
\begin{legxo}{Th de Lagrange-Dirichlet: }Per $L\qq = T_2\qq - V_0(\vet q) - V_1\qq$ temp-sendipenda, se $V_0$ havas ia stringa minimo en punkto $\vet q^{*}$, do $\vet q^{*}$ estas firma ekvilibra konfiguracio. \\ Se $L$ estas temp-sendipenda la asintota firmeco estas neebla\end{legxo} 
\begin{subsection}{\large Linearigo:}$A(\vet q^{*}) + V''(\vet q^{*})(\vet q - \vet q^{*}) = 0$. La\u u ia Lagrange-a kiu havas en $\vet q^{*}$ punkto de stringa ekvilibrio de $V$ kaj sekve la Hesse-a $V''(\vet q^{*})$ plusa definita do la linearigaj a\u utovaloroj $\Lambda{\vet q^{*}}$ estas pure ima\v gaj kaj ne nulaj kaj la linearigaj ekvacioj havas \v generala integralo $\vet q(t;c,\delta) = \vet q^{*} + \sum_{i}c_icos(\omega_it + \delta_i)\vet u_i$ nomi\v gas normala a\u utovaloro de $\Lambda(\vet q^{*}) = V'' - A\Lambda$. $L = \frac12 \q \, A \,  \q - V(\vet q)$. Linearige \begin{displaymath}A(\vet q^{*})\ddot{\vet q} + V''(\vet q^{*})(\vet q - \vet q^{*}) = 0 \qquad \Lambda = \big(\begin{array}{c c}0_n&\mathbb{I}_n\\-A^{-1}V''&0_n\end{array}\big)\end{displaymath} pro $\lambda_1,,\lambda_n$ a\u utovaloroj de $A_{-1}V''$. La a\u utovaloroj de $\Lambda$ estas \begin{displaymath}\omega_1\pm = \sqrt{\pm(-\lambda_i)} \quad \big( \begin{array}{c} \dot{\vet{q}} \\ \dot{\vet{v}} \end{array} \big) = \Lambda(\vet q^*) \big( \begin{array}{c} \vet{q} - \vet{q}^* \\ \vet{v} \end{array} \big)\end{displaymath} \v Car la Hesse-a estas plusa definita $\omega_1=\pm\sqrt{-\lambda_1},,\omega_n=\pm\sqrt{-\lambda_n}$\spa$\vet q(t;c,\delta) = \vet q^* + \sum_i c_i \cos(\omega_it + \delta_i)\vet u_i$ pro $\vet u_i$ a\u u tovektoroj de $A_{-1}(\vet q^*)V''(\vet q^*)$. $V'' -\lambda A$ oni permesas ne kalkoli la inversa de $A$. Ia Lagrange-a pro  $n = 2$: se $\omega_1/\omega_2$ estas racionala lia movoj estas periodaj se neracionala neniu movo estas perioda. Se $\omega_1/\omega_2 \in  \mathbb{Q}$ nomi\v gas resonanta. Se la oscilatoro estas ne risonanta la nivelaj aroj de la dua funkcionoj $E_1(q_1,\dot q_1) = \frac12(\dot q_1+\omega_{1}^{2}q_{1}^{2})$\spa$E_2(q_2,\dot q_2) = \frac12(\dot q_2+\omega_{2}^{2}q_{2}^{2})$ estas densaj en la toro.\end{subsection}\end{section}
\begin{section}{Variacionalaj ecoj} 
\ero{Akcio} oni diras ke ia diferenciala mapo $\phi:\R^n\times\R\to\R^n$\spa$(\vet q,\alpha)\mapsto\phi(\vet q,\alpha) := \phi_\alpha(\vet q)$ estas akciono de $\R$ sur $\R^n$ se $I)$\spa$\phi_0:\R^n\to\R^n$ estas identeco $I\!I)$\spa$\forall \alpha \in \R \phi_\alpha:\R^n\to\R^n$ estas difeomora $I\!I\!I)$\spa$\forall \alpha,\beta$\spa$\phi_{\alpha,\beta} = \phi_\alpha\circ\phi_\beta$. Generatoro infinitezima de la akcio $\vet\xi(\vet q) := \partial_{\alpha}\phi(\vet q,0)$. La akcioj estas ekzemple la rototraslacioj kaj la fluksoj. Ia \homo{Lagrange}-a estas invarianta sub la akcio de $L\big(\phi_\alpha(\vet q),\partial_{\vet q}\phi_\alpha)(\vet q)\q\big) = L\qq$ kie $\qq \mapsto\big(\phi_\alpha(\vet q), \partial_{\vet q}\phi_\alpha(\vet q)\q)$ estas la levo de la akcio al la tan\v ga fibro. 
\begin{legxo}{Noether-a}{\homo{N\"other}-a} Se la \homo{Lagrange}-a $L\qq$ estas nevarianta sub la akcio de $\phi$ nu la \homo{Lagrange}-a ekvacioj havas unua integralo $I\qq := \sum^{j=i}_{n}\vet\xi_j(\vet q)p_j\qq$ kie $\vet{\xi}$ estas la infinitezima generatoro kaj $p_j = \partial_{\dot q_j}L$ estas la momento koniugata al $q_j$.\end{legxo} La ignorebla koordinato estas longe la orbitoj de la akcio. \homo{Rouht}-a ridukcio $\partial_{\dot{\vet{\xi}}}\pi = \partial_{\dot{\vet{\xi}}}\partial_{\dot{\vet{\xi}}}L \neq 0 \Rightarrow \pi(\vet Q,\dot{\vet Q},\dot{\vet{\xi}}) = c$\spa$\dot{\vet{\xi}} = u(\vet Q,\dot{\vet Q},\pi)$ \begin{displaymath}L_{c}^{R}(\vet Q,\dot{\vet{Q}}) := \big(L(\vet Q,\dot{\vet Q},\dot{\vet{\xi}}) - c\dot{\vet{\xi}}\big)\arrowvert_{\dot{\vet{\xi}} = u(\vet Q,\dot{\vet Q},c)}\end{displaymath} Ia funkcionalo de nefina dimensionala spaco estas derivebla la\u u Gateaux en ia punkto $\gamma\in\Gamma$ se la deriva\v jo $\di_{\lambda}J[\gamma + \lambda\eta] \in \R$ ekzistas $\forall \eta \in\Gamma_0$. Tia deriva\v jo nomi\v gas \ero{Variacio} a\u u \erof{Gateaux-a Derivajxo}{\homo{Gateaux} Deriva\v jo} de $J$ en $\gamma$ en la direkcio de $\eta$. $\gamma$ estas stacionara se la varia\v jo de $J[\gamma]$ nulas. Hamilton-a principo: estas $L:\R^n\times\R^n\times\R\to\R$ diferenciebla funkcio, $\gamma$ igas stacionara la funkcionala $J_L$ sse estas solukcio de la ekvacioj $\di_{t}\partial_{\q}L-\partial_{\vet q}L = 0$ de Euler-Lagrange. \ero{Akcia Funkcionala} asociita al $L$ \begin{displaymath}J_L[\gamma] = \int^{t_1}_{t_0}L(\gamma(t),\dot \gamma(t),t)dt\end{displaymath} Longeco de ia kurbo: $l[\tilde \gamma] = \int_{t_0}^{t_1}\big|\di_{t}\tilde \gamma(t)\big|dt$. Ia geodetiko igas stacionara la longenco inter du punktoj. \ero{Metrika Matrico} $g_{ij} = \partial_{\vet q_i}\tilde{\vet X}(\vet q)\partial_{\vet q_j}\tilde{\vet X}(\vet q)$. $G(\vet q)$ plusa definita. \ero{Geodetiko} $\tau\qq = \q G(\vet q) \q$. Ne\v ceeste aktivaj forcoj la movoj de ia punkto ligata sekvas la geodetiko.\end{section}
\begin{section}{Hamilton-a Mekaniko}$U$ aperto de $\R^n$ de koordinatoj $\faz$ funkcias regole $u\to\R^n$. La \eroh{Hamilton}{Sistemo} de Hamilton-a $H$ de $2n$ ordinaraj ekvacioj diferencialaj\begin{equation} \dot{\po} = -\De{\qo}H \qquad \dot{\qo} =\De {\qo} H\end{equation} $\qo$ estas la koordinato posicio dume $\po$ estas tia impulso. $n$ numeras de la gradoj de libero dume $U$ estas la faza spaco, la flukso $\Phi$ grupas en a\u utonoma sistemo. Se $\breve x(t)$ estas parta solvado de la ekvacio $\breve x(t+s)=\breve x'(t)$. \begin{legxo}{Liouville-a} La flukso plitenas la mizuro de Lebesgue en la faza spaco. Se la sistemo estas a\u utonoma konservi\v gas la energio $\di_tH=0$\begin{equation}H(\Phi^t_H\faz)=H\faz\end{equation} kaj energaj surfacoj estas nevariantaj $S_\E=\Big\{\faz\in U|H\faz=\E\Big\}$\end{legxo}\v genere \begin{equation}\de tH=\De tH\end{equation} Sistemo na a\u utonoma prezentigebla per sistemo a\u utonoma de $n+1$ gradoj de libero enponi variablon kiu parigi la koordinata numero. \par \erof{Legendre-a Trasformajxoj}{\homo{Legendre}-a Trasforma\v joj} \\ \begin{equation}\po(\qo,\dot{\qo}) =\De{\dot {\qo}}L\qquad H\faz=\po\cdot \dot{\qo}\faz-L(\dot{\qo}\faz,\po)\end{equation} En la Hamilton-a mekaniko \begin{displaymath}\dot f=\poi fH=\de t\Phi_H^t\faz\Big|_{t=0}=\De \po \dot{\po}+\De \qo \dot{\qo}\end{displaymath} a\u u \v genere $\dot f=\poi fH+\partial_tf$\erof{Lie-a Derivajxo}{\homo{Lie}-a Deriva\v jo} \begin{displaymath}\Lie_{X,f}=\poi \kar f\end{displaymath} \par {\Large Trasforma\v joj Kanonikaj} \\ En Lagrange-a mekaniko trasforma\v joj estas punktualaj $q_i=q_i(\tilde {\opl q},t)$ dume $q^i=\partial_{\tilde q^i}q^i\cdot\dot{\tilde q}+\partial_ t q^i$\spa $\tilde L(\tilde q,\dot{\tilde q},t)=L(q(\tilde q,t),\dot q(\dot{\tilde q}))$. Trasforma\v joj de koordinatoj: $\faz=w\faztil$\spa$w:\tilde U\to U$. $X_H$ vektora kampo asociita al Hamilton-a $H$ \begin{displaymath}X_H=(-\De{\qo}H,\De{\po}H) = \mathbb E \partial_xH\end{displaymath} tie $x=\faz$, $\mathbb E = \Big(\begin{array}{c c}0 & -\id \\ \id & 0\end{array}\Big)$\begin{displaymath}\tilde H = H\circ w \qquad \tilde H\faztil = H(w\faztil)\end{displaymath}Trasformigas oni $H$ kaj sekve trasformagas funkcioj trasformataj. Do $\Phi_H^t\circ w= w\circ\Phi_{\tilde H}^t$\spa$\Phi_{\tilde H}:\tilde U \to \tilde U$. Ekzistas diversaj modoj de verifiki kiam trasformo estas strekte kanona a\u u Hamilton-a feras al saman ekvacion. \begin{itemize}\item[I] $X_H\circ w=JX_{\tilde H}$ \item[II] Trasforma\v joj simplektikaj $J^{-1}\mathbb EJ = \mathbb E$ \item[III] Konservu la [parentesi] Poison-a $\poi{u_i}{v_j}=\delta_{ij}$\item[IV] Lie-a kondico $p\di q =\tilde p\di \tilde q + \di f$ kiam la unuformo de Liuville $p\di q$estas ekzakta.\end{itemize} I)$\tilde H=H\circ w$\spa$\partial_x=J\partial_{\tilde x}$\spa$\partial|_x\tilde H=\partial_x =H\circ w$\spa$X_H\circ w=JX_{\tilde H}$.II)$\tilde X_H=X_{\tilde H}$\spa$X_H=\mathbb E\partial_xH$\spa$\partial{\tilde x}\tilde H=\trasp J\partial_x H$\spa$J^{-1}X_H\circ w=\mathbb E\partial){\tilde x}\tilde H=\mathbb E\trasp J\partial_xH\circ w$.  La trasforma\v joj ne strkte kanonaj havas la samaj Hamilton-aj ekvacioj sed ne plu valoras $\tilde H\faztil = H\faz\circ w$. 
\begin{ekzemplo}{Polaraj Koordinatoj} La trasforma\v jo $\faz\mapsto(\opl{\vet r}\cos\phi,\VO  r\sin\phi)$ ne estas kanona \v car ne respondas al la kondicon supre. Oni do konstruas kanonan ian $\faz\mapsto(\sqrt{2\VO I\omega}\cos\phi,\sqrt{2\VO  I/\omega}\sin\phi)$. En la armonika oscilatoro la Hamilton-a simpliga\v gas $\tilde H=I$ kaj la elikso de la faza spaco fari\v gas cirklon. \end{ekzemplo}
\begin{subsection}{Funkio \v Generila} Oni uzas metodo pli simple por akiri la ecojn de la trasformz\v joj; tiu metodo simplifikas la kalkuloj \v car ne uzas la trasforma\v j funkcio de koordinatoj. \par Oni povas uzi iu fukcio $S(q,\tilde q)$ per kiu se valoras la invertebleca kondico $\partial_q\partial_{\tilde q}S\neq 0$ kaj $p=\partial_qS$\spa$\tilde p=-\partial_{\tilde q}S$ definas trasforma\v jon loka $w:(p,q)\mapsto(\tilde p,\tilde q)$.\par Simile valoras $S(\tilde p,q)$ kiu defininas iu trasforma\v jo kanona $w:(p,q)\mapsto(\tilde p,\tilde q)$. La probo de la kanoneco estas pravita de la kondico Lie-a montrita per la identeco $\partial_qS(q,\tilde q)\di q+\partial_{\tilde q}S(q,\tilde q)\di\tilde q=\di S(q,\tilde q)$ sciante ke $q=v(\tilde p,\tilde q)$. 
\begin{ekzemplo}{Funkcio Gxenerila} $\VO{q} =A(\tilde q)$\spa$\VO p=u\faztil$\spa$u\faz A(\tilde q)\di\tilde q-\tilde p\di\tilde q=^!\di f$\spa$(\trasp Au-\tilde p)=^!\di f$\spa$\trasp Ap -\tilde p=a(\tilde q)$\spa$p=\trasp A^{-1}(\tilde p+a(\tilde q))$\end{ekzemplo}
Al oni gravi\v gas la trasforma\v joj kiuj estas proksime al la identeco a\u u la identeco pli perturbacio $S(\tilde p,\tilde q)=\tilde p\tilde q + \epsilon S(\tilde p,\tilde p,\epsilon)$\end{subsection}
\end{section}
\begin{section}{Perturbata Metodo} En la Hamilton-a kazo 
\end{section}
\end{chapter}
