\begin{chapter}{Elektromagnetismo}
\section{Difinoj} La \ero{Kampo} estas la akcio de masa partiklo en la spaco. La maso estas forco \v generilo kiel la \ekz{Gravita Maso} \v generas la gravita forco $\vet F = G m_1m_2/\ra^2$ a\u u la \ekz{Elektrika Maso} \v generas la \homo{Coulomb}-a forco $\vet F=q_1q_2/(4\pi\epsilon) \cdot 1/\ra^2$. $\vet B$ estas kampo sed ne \v ceestas magnetika maso \v car \v ci tiu kampo estas \v generita por la cirkla movado de la \v sar\v goj kaj sia depeno el elektrika kampo estas bone priskribita por la malvasta relativeco. La depeno de la kampo el la forco estas $\vet E=\vet F/m$. Sub certaj kondicoj oni povas trovi formon nomatan \ero{Potencialo}n kiu estas la difereciala formo la\u u kiu $\vet E \EDef -\nabla \phi$ a\u u $\phi \EDef \int_s\vet E\di^3 x$. 
\begin{subsection}{Coulomb-a Forco} \nul\begin{displaymath} \vet F = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r}\frac1{\ra^2}\end{displaymath} Forco kiu depenas de la \v sargo de la partiklaj $q_1,q_2$, sia distanco $1/\ra^2$ kaj la medio $\epsilon_r$. \end{subsection}
\subsection{Lorentz-a Forco} \begin{displaymath}\vet F=q\vet v\times\vet B\qquad \vet F=I\oint\di\vet l\times\vet B\end{displaymath} Kiu diras ke la movo de la \v sar\v go $q$ agas forcon se oni havas rapidec komponon $\vet v_\perp$ perpendikla al magnetik kampo $\vet B$. Tia forco neniam agas laboron. \noto{$\di \vet x=\vet v\di t$}$\int q\vet v\times\vet B\di^3x =q\int\vet v\times\vet B\cdot\vet v\di t=q\int\det(\vet v,\vet B,\vet v)\di t=0$ 
\subsection{Mova Kuranto} La mova kuranto estas la tempa variacio de la \v sar\v go \v ceesta en la \homo{Gauss}-a surfaco. \begin{displaymath} I_d=\epsilon_0\de t \Phi(\vet E)\end{displaymath} Tia \homo{Gauss}-a surfaco povas esti la surfaco \v cirka\u ue kondensatora armaturo kaj oni havas mova kuranto se la tensio varias en la tempo \v car la elektrik nesoleinoidaleco indukas magnetik kampo kaj sekve kuranto.  
\subsection{Denseca Kuranto} $\vet J=\ic/S\cdot\hat n_S$ estas la kuranto \v generita pro la elektrik kaj magnetik kampo la\u ue
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}\centering\input{Hall.tex}\end{wrapfigure} \begin{displaymath}\vet J=e\no\big(\vet E +\vet v\times\vet B\big) \qquad e\no=\rho\end{displaymath} kie $\rho$ estas la denseco de \v sar\v goj kaj $\no$ la denseco de partikloj. La denseca kuranto estas la sumo de la derivo de la \v sa\v goj pro elektrik kampo kaj \eroh{Hall}{Efekto} Kiu priskribas la potencialo \v generita por kontra\u uiri al la movo de \v sar\v goj pro la \homo{Lorentz}a forco.
\section{Maxwell-aj Ekvacioj} La elektrik kampo ne estas solenoidala se \v ceestas \v sar\v gojn ene la \homo{Gauss}-a surfaco \v car la kampo elmetita de tiu \v sar\v goj elfluas sole.\begin{eqnarray} \nabla \cdot\vet E = \frac{\rho}{\epsilon_0} & \qquad & \int_{S}\vet E \cdot \vet n \quad\di S = \frac{Q}{\epsilon_0}\end{eqnarray} De la \homo{Faraday-Neumann} le\v go sur la indukado, la variacio de la magnetika flukso naskas potencialon. \begin{eqnarray}\nabla\times\vet E = - \De{t}\vet B & \qquad & \vo = \oint_\gamma \vet E \di \vet l= -\De{t}\Phi_{B}=-\De t\int_S\vet B\di \vet S\end{eqnarray}La magnetika kampo estas \v ciam solenoidala, prefere ne eksistas monopoloj magnetikaj.\begin{eqnarray}\nabla\cdot\vet B = 0 & \qquad & \int_S \vet B \cdot \vet n \quad\di S=0\end{eqnarray}La magnetika kampo estas generita pro la kurantoj kunkatenigitaj (Le\v go de \homo{Biot-Savart}) kaj por la mova kuranto.\begin{eqnarray}\nabla\times\vet B = \mu_0 \vet j + \mu_0\epsilon_0\De{t}\vet E & \qquad & \oint_\gamma \vet B \di \vet l= \mu_0 \ic + \mu_0\epsilon_0 \De{t}\Phi_{\vet E}\end{eqnarray} 
\subsection*{Potencialoj} Eksistas potencialon de kiu oni povas deduki la kampojn $\vet E$ kaj $\vet B$. Oni povas defini du diversaj potencialojn per la du diversaj kampoj sed kiel oni povas didi en la malvasta relativeco sekcio oni povas uzi unu solan kvar potencialon. 
\begin{legxo}{Helmoltz-a}{ Si oni konas la diver\v genco kaj la rotoro de iu kampo kaj tiuj estas limitaj de $1/r^2$ ($(\nabla\vet F)r^2\to0$, $(\nabla\times\vet F)r^2\to0$) al la senfino oni povas skribi la kampon kiel \dm{\vet F(\vet r)=-\frac1{4\pi}\nabla\int\frac{\nabla F(\vet r')}{|\vet r-\vet r'|}\di \vet r'-\frac{1}{4\pi}\nabla\times\int\frac{\nabla\times\vet F(\vet r')}{|\vet r-\vet r'|}\di \vet r'}    }\end{legxo} Oni konas pluen ekvalencon kun la  \homo{Poisson}-a ekvacio \dm{\nabla^2\V = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \Rightarrow V(\ra) = \frac1{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vet r)}{|\vet r-\vet r'|} } Do la nerotacionalaj kampoj $\nabla\times\vet E=0$ estas \v ciam skribeblaj kiel gradianto de potencialo. \dm{\nabla\times \vet E = 0 \Rightarrow \vet E = -\nabla\V} dume, \v ciam per la \homo{Helmoltz}-a teoremo oni povas skribi la solenoidalan kampon kiel \dm{\nabla\vet B=0 \Rightarrow \vet B = \nabla\times\vet A} Oni havas anka\u u ekvalenta \homo{Poisson}-a ekvacio \noto{$\nabla\times\vet B=\mu_0\vet J$}\dm{ (\nabla\times)^2\vet A= \nabla^2\vet A-\nabla(\nabla\vet A) =-\mu_0\vet J - 0 \Rightarrow \vet A(\vet r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vet J(\vet r)}{|\vet r-\vet r'|}\di\vet r' } En la nestaciona kazo oni devas konsideri anka\u u la temp variacio de la potencialo kiel priskribita el la \homo{Maxwell}-a ekvacioj \dm{\vet E=-\nabla\V-\De t\vet A \qquad \vet B=\nabla\times \vet A} La relacio $\nabla\cdot\nabla\times =0$ montras ke la difino de la vektora potencialo $\vet A$ ne estas univoka sed oni povas elekti \fremd{gauge}-an kampon $\Lambda$ kiu plitenas tiun kondicon, prefere estas nevariantaj per la \homo{Maxwell}-aj ekvacioj. \dm{\vet A= \vet A'+\nabla\vet \Lambda \Rightarrow \nabla \times\vet A=\nabla\times \vet A'=\vet B} Se \dm{\vet A\mapsto\vet A+\vet\alpha \qquad \V\mapsto\V+\beta} oni devas demandi ke por la magnetika kampo $\nabla\times\vet \alpha\EKon0\Rightarrow \vet \alpha=\nabla\Lambda$ dume per la elektrika $\nabla\beta+\partial_t\vet \alpha\EKon0\Rightarrow\nabla(\beta+\partial_t\Lambda)=0$. \par  
Ekzistas diversaj \fremd{gauge}-aj kampoj kiel pro ekzemplo la \eroh{Lorentz}{gauge} kiu estas definita per \noto{$\square\EDef\nabla^2-\frac1{c^2}\Dee t$} \dm{\nabla\vet A=-\mu_0\epsilon_0\De t\V\qquad\square\vet A=\mu_0\vet J \qquad \square\V=-\frac{\rho}{\epsilon_0}} En la \eroh{Coulomb}{gauge} \dm{\nabla\cdot\vet A=0 \qquad \nabla^2\V=-\frac\rho{\epsilon_0}}
\subsection*{Povo kaj Energio} La energia denseco de la elektr magnetik ondoj estas donitaj por \begin{displaymath} u=u_m+u_e=\frac12\vet B\cdot\vet H +\frac 12 \vet E \vet D\end{displaymath} Oni povas anka\u u difini la \eroh{Pointyng}{Vektoro} kiel vakue \dm{\vet Y\EDef\frac{\vet E\times\vet B}{\mu_0} \qquad |\vet Y|=c\epsilon_0E^2=cu=\frac c{\mu_0}B^2} kiu estas kunigita kun la energia denseco $u$ kaj kun la inteso, la presiono kaj la potenco per \dm{\I=\mez{\vet s} \qquad \Pre = \frac{\vet F}{S}=2\frac{\mez{\vet Y}}{c}=2\mez u=2\frac \I c \qquad \mez{\di\Pot}=\ra^2\di\Omega\mez{\vet Y}\hat \ra } Oni povas nun enkonduki la \eroh{Poynting}{Teoremo} la\u u kiu oni povas eksprimi la potenco de la elektromagnetik kampo per \dm{\Pot=\int_V\vet E\vet J\di^3x=-\de t\U-\oint\vet Y\di \vet {S} }
\section{En la materio} La elektronoj kiuj movi\v gas \v cirka\u ue la nukleo havas sian propran \ero{Dipola Magnetik Momanto} kiu enkondukas la magnetika\v jo de la materialo de $\no$ denseco de elektronoj \dm{\vet m \EDef \ic\vet S \qquad \vet \Mm \EDef \no\vet m \stackrel{a\breve u}{=}\int \vet m(\vet r)\di^3x } La vektora potencialo estas do \dm{\vet A(\vet r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vet m\times\vet r}{\ra^2}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\vet \Mm\times\vet x}{\ra^2}\di^3x = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\vet \Mm(\vet x)\times\nabla\frac1\ra\di^3x } oni volas uzi la teoremo de la diver\v genco \noto{$\int\nabla\vet v\di^3x=\oint\vet v\di \vet S$} \dm{ \vet A(\vet r)=\frac{\mu_0}{a\pi}\int\frac1\ra\nabla'\times\vet \Mm(\vet x')-\nabla'\times\frac{\vet \Mm(\vet x)}{\ra}\di^3x } kiu montras du diversaj kurantoj, la unua de surfaco $\vet J_{B}$ kaj la dua lineara $\vet J_{lin}$. Oni povas pluen vidi \dm{\nabla\times\vet B=\mu_0\vet J\quad\vet B=\mu_0(\vet \Hm+\vet \Mm)\quad \nabla\times\vet \Hm = \vet J_{lib} \quad \nabla\times\vet \Mm = \vet J_B \quad \vet \Mm\times\Norm = \vet J_{lin} } La induka kampo estas tre utila \v car oni povas trovi la alian kampoj sciante sole la kurantojn kunkatenitajn. Fakte \dm{ \oint \vet\Hm\di\vet l = n\ic \qquad \vet\Hm_1\vet l+\vet \Hm_2\vet l = \ic_{kunk} } kie $(1)$ kaj $(2)$ estas du diversaj medioj. Inter du medio oni devas pluteni la {\it [kontorn] kondicoj} \dm{\vet \Hm^{//}_1-\vet\Hm^{//}_2=\vet J_{lin}\Norm\qquad \frac{B^{//}_1}{\mu_1}-\frac{B^{//}_2}{\mu_2} = \vet J_{lin}\Norm \qquad \vet B^\perp_1-\vet B^\perp_2=0 }\par
Oni volas konsideri nun la efekto de la elektrika kampo sur la dielektrikaj materialoj \v car la konduktoroj havas liberaj \v sar\v goj kaj ne gajnas \erof{Polarizagxo}{Polariza\v go}n $\vet \Pe$. Si oni havas eksterna elektika kampo la molekuloj de la materialo se havas momanto dipola povas orinti\v gi la\u ue la kampo, se ne la dipola momanto $\pe$ krei\v gas \dm{\vet \pe\EDef q\vet x = \alpha\vet E \qquad \vet \Pe \EDef \no\vet \pe=\int\rho(\vet x)\vet \pe(\vet x)\di^3x } La polariza\v go estas anka\u u la surfaca denseco de la \v sar\v goj en la materialo $\vet\Pe\cdot\Norm=\sigma_{E}$. Eksistas alia grava kampo kiu nomi\v gas induktado $\vet {\mathrm{D}}$ kaj estas tia relacio inter tiuj kampoj \dm{\vet{\mathrm D} = \epsilon_0\vet E + \vet P \quad \nabla\vet E = \frac\rho{\epsilon_0} \quad \nabla\vet{\mathrm D} = \rho_{lib} \quad \nabla\vet\Pe = -\rho_{lig} } kie {\it lib} \v ceestas per liberaj dume {\it lig} per ligitaj. Oni povas anka\u u trovi la kuranton del la ligitaj \v sar\v goj kalkulinte la divergencon de la polariza\v go. \dm{\nabla\vet\Pe = \vet J_{lig}\qquad \nabla\vet{\mathrm D}=\vet J_{lib}}
La {\it [kontorn] kondicoj} estas \dm{\vet E_1^{//}=\vet E_2^{//}\quad \vet{\mathrm D}_1-\vet{\mathrm D}_2=\sigma_{lib}\quad\epsilon_1\vet E_1-\epsilon_2\vet E_2=\sigma_{lib} } Ekzistas aliajn relaciojn inter tiuj kampoj difinitaj per la grandecoj \ero{Dielektrika Kostanto} rilativa $\epsilon_r$ kaj [Suscettivit\`a] $\Xi$ kiuj \v genere ne estas ne kostantoj $\epsilon_r=\epsilon_r(\vet r,\omega)$ ne skalaraj $\Xi=\tens\Xi$ \dm{\vet {\mathrm D}=\epsilon_0\vet E+\vet \Pe = \epsilon_0(1+\epsilon_r)\vet E\qquad\epsilon_r\EDef 1+\Xi }
\section{Forcoj kaj Derivoj}\begin{displaymath}m\dot {\vet v} = q(\vet E + \vet v\times \vet B+\vet F/q)\end{displaymath} Si oni ponas \begin{displaymath} \vet v = \vet v' + \vet v_{dE} + \vet v_{dF} \qquad \vet v_{dE} = \frac{\vet E_\perp\times \vet B}{B^2} \qquad \vet v_{dF}=\frac{\vet F_\perp\times\vet B}{qB^2}\end{displaymath} do \begin{displaymath} m\dot{\vet v} = m\dot{\vet v}' + \stackrel{=0}{m\dot{\vet v}_{dF}} + \stackrel{=0}{m\dot{\vet v}_{dE}} \qquad m\dot{\vet v}'= q \vet v'\times\vet B \end{displaymath} kiu priskribas la cirklan movadon \v cirka\u ue la magnetik kampo traslata per la direkciono de la ekstera forco de la elektrika kampo. La signo de la \v sar\v go \v san\v gas la verson de la rotado kaj la direkcion de la derivo por la kostanta forco. La orbitoj estas diferentaj \v car la Larmor-a radio estas minusa por la ionoj ol elektronoj.\\
\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width = 6cm, height = 1.5cm,angle = 0]{DerivoE.eps}\end{figure}
La sama efekto estas \v generita pro la diverga\v jo de $\vet B$ kiu estas ortogonala al $\vet B$ kaj agas kiel kostanta forco.
\begin{figure}[h]\centering\includegraphics[width = 6cm, height = 1.5cm,angle = 0]{DerivoF.eps}\end{figure}
\begin{section}{Sar\v ga Partiklaro} $\no \ENum 10^{20}[m^{-3}]$\spa$\T\ENum 20[KeV]$\spa$\tau_\E\ENum 1[s]$. Ario densecas $2.7\cdot 10^{25}[m^{-3}]$. Se la gaso estas plene ionizita tiu numero duoblas $\no_e=\no_i$, \emph{e}lektronoj kaj \emph{i}onoj. \end{section}
\section{Inoniza\v jo}  Pro ionizigi gazon oni devas aldoni energion al atomoj pligranda de la nivelaj energioj de la elektronoj. Oni povas doni tiun energion \Unua per fotonoj kiu elmetas la elektronoj se $h\nu\geq\E_{ligo}$ a\u u se \Dua aliaj partikloj ($e^-$, ionoj) havas kinetika energio pli granda ol liga energio $1/2 mv^2\geq \E_{ligo}$ kiu sekvas sia propra rapideca distribuo al la donita temperaturo $\T$. La temperaturo kreskas por la Joule-a efekto \v generita pro la kuranto de movaj \v sar\v goj. Oni havas elmito aka\u u pro \Tria kampa efekto prefere por la pasa\v go de la ligo bariero per tunela efekto. En ia urto oni devas konsideri ke oni povas gajni internan energion de partiklo kiu pasas en alian energian staton. Do la energio de la proceso donas a\u u prenas pli energion. $1/2m_1v_1^2=1/2m{v'_1}^2 + 1/2m_2v_2^2 +\Delta \U$. La partiklo povas doni \v cian sian energion al la alia partiklo pliteni \v gin en ekcita stato perdiginte sia rapideco. \begin{displaymath} \di N = \sigma \no \nat N \di x \qquad N =N_0e^{-\no\sigma x} \end{displaymath} estas la variacio de la numero de la partikloj interacie. Oni do difinas la \begin{displaymath} \lambda\EDef \frac1{\no\sigma}\end{displaymath} la \ero{Pado libera media}, la mez distanco inter du urtoj kaj $\sigma$ la kostanto de proporcionaleco inter la inicialaj kaj finalaj partikloj. \v Genere $\sigma$ depenas de la temperaturo $\T$. \par Oni povas difini distancon pro kiu la elektrono ne reiras al la atomo kiu estas la diferanco inter sia kinetika kaj potenciala energio. \begin{displaymath} \E =-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\ra}+k\T\end{displaymath} Se la energio estas nea la elektrono estas ligita, la kontra\u uo kontra\u ue. Oni povas difini la distancon kritikan inter \v ci tiu du kondicoj. \begin{displaymath} d_0 \EDef \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\ra}\frac{2}{3k\T}\ENum\frac{1.1\cdot10^{-5}[m]}{\T[K]}\end{displaymath} La partikloj estas distribuita en mez radio $a_0\simeq1/\sqrt\no\ENum300[nm]$ do $\no$ iniciala partikloj povas rekombini la\u ue $\di\no=-\mathnormal{rek}\no_i\no_e\di t$\noto{uze: $\no_i=\no_e$} kie $\mathnormal{rek}$ depenas de $(d_0(\T),a_o(\no))$,\spa$\di \no/\no^2 = -\mathnormal{rek}\di t$\spa$\no(t)=\no_0/(1+\no_0\cdot\mathnormal{rek}\cdot t)$.
\subsection{Difusio} Oni volas konsideri du diversaj aroj de partikloj $A$ kaj $B$. La mez valoro de la terma rapideco kaj aliaj parametroj estas \dm{\mez{v_B}=\mez{v_A}=\sqrt{\frac{8k\T_A}{m\pi}}\qquad \lambda_A=\frac1{\sigma_{AB}\no_B}\qquad t_{kolizo} = \frac{\lambda_A}{v}} 1/6 de la partikloj movi\v gas versen la $\ex$ akso. Oni konsideras stacionarian le\v gon por la difusio tipe \dm{\no_A(x)=\no_0+\De x\no x} Do la numero de partikloj kiuj difusigas tra la jesa akso inter media pado estas $\Delta\no_{\ex +}=1/6\int_{-\lambda}^0\no_A(x)\di x = 1/6\int_{-\lambda}^0\no_0+\partial_x \no\cdot x\di x$\dm{\Delta\no_\ex=\Delta\no_{\ex +}-\Delta\no_{\ex -} = -\frac16\partial_x \no\lambda^2} La flukso denseco estas priskribita per la numero de partikloj sur la eneca tempo kaj surfaco $\Phi=\Delta\no/t$. 
\marginpar{\input{Difusio.tex}}\dm{\Phi(0)=-\frac16\lambda v\De x\no=-D\De\no\qquad D=\frac16\lambda v \quad \mathnormal{\breve{g}enere}\quad \Phi\nabla(D\no)} Kalkuloj pli kurigitaj montras $D=1/3\cdot\lambda v$ por obteni la \ero{Flick-a Relacio} $\Phi = -D\nabla\no$. Dum la tempo kreskas la flukso \v san\v gas $\partial_t\no(x)\di x=\Phi(x)-\Phi(x+\di x)$\dm{\De t\no(x)\di x=-D\de x\no\Big|_x-\Big(-D\De x\no\Big|_{x+\di x}\Big)} disvolvigante $\partial_x\no |_{x+\di x}=\partial_x\no |_x + \partial_x(\partial_x \no|_x)\di x\ldots=\partial_x\no |_n + \partial^2_x\no|_x\di x\ldots$.\dm{\De t\no(x)\di x= -D\Big(\De x\no\Big|_x-\big(\De x\no\Big|_x+\Dee x\no\Big|_x\di x\big)\Big)=D\Dee x\no\Big|_x\di x} $\partial_t\no(x)=D\partial_x^2\no|_x$ a\u u en tri dimensioj $\partial_t\no=D\nabla^2\no$\dm{\De t\no=D\nabla^2\no=-\nabla\Phi} 
\subsection*{Lastro Unudimensionala} Oni povas vidi ke la du membroj estas dipenantaj de diversaj variabloj, prefere estas unu kostanta en la tempo la alia en la spaco. La solvado estos la faktori\v go de la termo temp dipenda kaj tia spaca. \dm{\De t\no = D\nabla^2\no \qquad \no(a,t)=\no_t(t)\cdot\no_x(x)\qquad \frac{\di_t\no_t(t)}{\no_t(t)} = D\frac{\nabla^2\no_x{x}}{\no_x(x)}} se oni ponas $D\nabla^2\no_x/\no_x|_{t_0} = -\omega$ kaj $k = \sqrt{1/D\tau}$ oni obtenas la ekvacio de viskosa [smorcado] kaj de la armonika oskilatoro \dm{\no(x,t)=\no_x(x)\cdot\no_t(t)=t_0e^{-\omega t}\Big(\no_0\cos(k x) + \no_0'\sin(k x)\Big)} Tia funkcio ne povas esti nea do en la intervalo $[-L=-\pi/2k,L=\pi/2k]$ \v ceestas sole la $\cos$ termo. \dm{\no(x,t)=\no_0e^{-\omega t}\cos\Big(\frac{\pi x}{2 L}\Big)}
\begin{mat}{Diverga\v jo en cilindraj koordinatoj}{ La diverga\v jo $\nabla = \partial_x+\partial_y+\partial_z$ fari\v gas \dm{\nabla\vet E = \frac1\ra\De \ra (\ra\cdot E_\ra) +\frac1\ra\De\phidp E_\phidp+\De z E_z} dume la gradianto \dm{\nabla \U = \De\ra \U\era+\frac1\ra\De\phidp \U\etheta+\De z\U\ez} la rotoro \dm{\nabla\times\vet E = \Big(\frac1\ra\De\phidp E_z-\De zE_\phidp\Big)\hat\ra+\Big(\De zE_\ra-\De \ra E_z\Big)\hat \phidp+\frac1\ra\Big(\De\ra (\ra E_\phidp) - \De\phidp E_\ra\Big)\hat z}  do la \homo{Laplace}-a \dm{\nabla^2\U=\frac1\ra\partial_\ra\Big(\ra\De \ra\U\Big)+\frac1\ra\partial_{\phidp}\Big(\frac1\ra\De\phidp\U\Big)+\partial_z\Big(\De z\U\Big)=\frac1\ra\partial_\ra(\ra\partial_\ra\U)+\frac1{\ra^2}\partial^2_\phidp\U+\partial^2_z\U} }\end{mat}
\begin{mat}{Sferikaj} En la sferikaj koordinatoj\dm{\nabla =\hat\ra\De\ra+\hat\thetapi\frac1\ra\De\thetapi+\hat\phidp\frac1{r\sin\thetapi}\De\phidp } \dm{\nabla\cdot = \hat\ra\frac1{\ra^2}\De\ra\ra^2+\hat\thetapi\frac1{\ra\sin\thetapi}\De\thetapi\sin\thetapi+\hat \phidp \frac1{\ra\sin\thetapi}\De{\phidp}} \dm{\frac1{\ra^2}\De\ra\Big(\ra^2\De\ra\Big)+\frac1{\ra^2\sin\thetapi}\De\thetapi\Big(\thetapi\De\thetapi\Big)+\frac1{\ra^2\sin^2\thetapi}\Dee\phidp }La solvado de la ekvacio radia en sferikaj koordinatoj \dm{\Dee\rho\psi(\rho)+\frac1\rho\de\rho\psi(\rho)+\Big(k^2+\frac{\nu^2}{\rho^2}\Big)\psi(\rho)=0 } estas prezentitaj de la \eroh{Bessel}{Ekvacioj} \dm{J_{\pm\nu}(x)=\Big(\frac x2\Big)^{\pm\nu}\sum_{j=0}^\infty\frac{(-1)^j}{j!\Gamma(j+\nu+1)}\Big(\frac x2\Big)^{2j} }\end{mat}
\section{Elmito} Oni volas priskribi la potencialon en la kaso de sola mova \v sar\v go a\u u  de multipola elmito
\subsection*{Mova \v Sar\v go} Si oni havas la potencialoj en la \fremd{gauge} \dm{\square\V=-\frac\rho{\epsilon_0} \qquad \square\vet A=-\mu_0\vet J} kaj oni volas solvi tiun diferencialan ekvacion la\u ue la spaca variablo. Oni konsideras iu funkcio $f(\vet r,t)$ kaj kiel oni povas vidi en la sekvanta \v capitro ia funkcio estas prezentigebla kiel sumo de siaj armonikaj komponantoj en la \homo{Fourier}-a bazo. \noto{$\delta(t-t') = \frac1{2\pi}\int\di\omega e^{\imath\omega(t-t')}$} \dm{\square f(\vet r,t)=-s(\vet r,t) \stackrel{\widehat\nul}{\to} (\nabla^2 + k^2) \hat f(\vet r,\omega) = -\hat s(\vet r,\omega)} Oni povas vidi ke $\exp(\pm\imath k r)/r$ estas solvado de la diferenziala ekvacio kiu estinte de dua grado havos kiel solvado la sumo de du esponenciala termoj \dm{(\nabla^2_r+k^2)g(r) = 0 \qquad (\nabla^2_r+k^2)\frac{e^{\imath kr}}r = -4\pi\delta(r) \Rightarrow g(r) = C_1 \frac{e^{\imath kr}}r+c_2 \frac{e^{-\imath kr}} r} oni povas nun la neomo\v gena solvinte \dm{\hat f(\vet r,\omega) &=& \int \di^3r\frac{C_1e^{\imath kr}+C_2e^{-\imath kr}}{4\pi r} \Rightarrow \\ &\Rightarrow&f(\vet r,t)=\int\di \omega \frac{e^{-\imath\omega t}}{2\pi}\int\di^3r'\frac{C_1e^{\imath kr}+C_2e^{-\imath kr}}{4\pi r}\int\di t' e^{\imath\omega t'}s(\vet r,t')} Reskribinte $kr = \omega r/c$ oni povas do trovi por la ecoj de la \homo{Dirac}-a $\delta$ \noto{$t_a\EDef t-\frac rc$\spa$t_a\EDef t+\frac rc$}\dm{f(\vet r,t)=\int\di^3r'\frac{C_1s(\vet r',t_r)+C_2s(\vet r',t_a)}{4\pi r}} oni havas tempon {\it r}[itardato]n kaj {\it a}[vanzato] kiu ne estas fizika. $C_1$ povas sole esti egala al $1$ do nia solvado estas finfine \dm{f(\vet r,t)=\int \di^3r'\frac{s(\vet r',t_r)}{4\pi r}}\par Se oni uzas la armonika proksima\v jo oni skribos la fluktuado de la denseco de la \v sar\v goj kiel \noto{$R\EDef|\vet r-\vet r'|$}\dm{\rho(r',t_r)=\rho(r')e^{\imath kR}e^{-\imath\omega t}\qquad \vet J(\vet r',t_r)=\vet J(\vet r')e^{-\imath\omega t}e^{\imath kR} } de kiuj \dm{\vet E(\vet r,t)= \qquad \vet B(\vet r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\imath k\frac{e^{\imath kr}}{r}\hat r\times\int\vet J(\vet r')e^{\imath\vet k\vet r'}\di^3 r'}
\subsection*{Dupola Proksima\v jo}
\section{Magnet Idr Dinamiko}
La Magnet idr dinamiko kombinas la ekvaciojn de la fluantojn a\u u gasojn (kiel la kontinueco de la materio a\u u la le\v go de la ideala gasoj) kun tiujn de la elektromagnetikaj kampoj (\homo{Maxwell}-aj). \v Genere oni trovas ekvacioj de la formo \dm{\nabla\vet E=\frac \rho{\epsilon_0} \qquad \nabla\cdot\vet B=0 \qquad \nabla\times\vet E&=&-\De t\vet B\qquad \nabla\times\vet B=\mu_0(\vet J+\epsilon_0\De t\vet E)\\ \De t\rho_m=-\nabla(\rho_m\vet v) &\qquad& \rho_m\de t\vet v=-\nabla\Pre+\vet J\times\vet B+\rho\vet E} tiu sistemo havas 12 ekvacioj kaj 14 nekonatoj do ne estas malferma. Tiu signifas ke oni devas poni eksterne aliaj kondicoj kiuj povas solvi la sistemon
\subsection*{Ondaj Magneto Idr Dinamikaj} Oni volas kombini la le\v go de \homo{Faraday}, \homo{Ampere} kaj \homo{Ohm} pro priskribi la movo de la \v sar\v go en konduktora fluado \dm{\vet J=\sigma(\vet E + \vet v\times \vet B) \qquad \De t\vet B \stackrel{\De t\vet E\EHip0}{=} \nabla\times(\vet v\times\vet B)+\frac1{\mu\sigma}\nabla^2\vet B} kaj kun la konservo de la maso kaj de la momanto\dm{\De t\rho+\nabla(\rho\vet v)=0 \qquad \rho\De t\vet v+\rho(\vet v\nabla)\vet v=-\de\Pre-\frac 1\mu\vet B\times(\nabla\times\vet B)} \noto{$\vet A\times (\vet B\times\vet C)=\vet B(\vet A\vet C)-\vet C(\vet A\vet B)$} \noto{$(\vet A\times\vet B)\times\vet C=\vet B(\vet A\vet B)-\vet A(\vet B\vet C)$} 


\end{chapter}
