\chapter{Kvantuma Mekaniko}
\begin{section}{Malsama\v joj} En la kvantuma mekaniko oni havas gravajn malsama\v jojn rilate la klasikan mekanikon. \par La procedo plene \v san\v gas \v car, por la nedermineco, oni ne associigas valoron al la dinamika variablo sed la dinamika variablo havas spektron de valoroj ke la mezuro aliras la\u ue sia distribuo. Sole la mezuro povas doni valorojn al la variablo dinamika kaj modifas la staton de la sistemo. La variablo dinamika ne havas valorojn \v gis ne estas mezurita kaj \v cia anta\u uvido estas de probabla tipo. Al \v ciuj valoroj de la spektro kongruas memstaton de la ond funkcio.\par La sola funkcio estas la ond funkcio kies kvadrata modulo  priskribas la probabla denso de la partiklo. \v Cia variablo estas akirita per la akcio de operatoro sur la ond funkcio. La \ero{Operatoro} agas sur vektorajn spacojn tiu ke la ond funkcio devas esti dekompona en otogonala bazo sur senfina vektora spaco. Sercante le solvon de diferenciala ekvacio oni do sercos funkcion $\in \mathcal{L}^2$ kiu estas isomorfa al Hilbert-a spaco. La ond funkcio havu la ecoj de ia ondo, tiel priskribita en la \v capitro pri la ondoj; estu funkcio sole de parametro $(\vet \alpha\cdot\vet x - \beta t + \phi)$. \par Ia ond funkcio estas priskribebla en la formo \begin{equation}\Psi=\kompl A e^{\imath\frac{\vet x\vet p - \E t}{\hbar}}\end{equation} Oni povas deduki la parametroj $\partial_x\Psi=\imath p_x\Psi$\spa$\partial^2_x\Psi=-\imath/\hbar^2\cdot p_x^2\Psi$\spa$\partial_t\Psi=-\imath/\hbar\cdot \E\Psi$ kaj akiri la \eroh{Schroedinger}{Ekvacio} \begin{equation}-\frac{\hbar^2}{2m}\Dee x\Psi + \V\Psi=-\frac{\hbar}{\imath}\de t\Psi\end{equation} Si la potencialo estas temp nedipenda kaj la energio kostanta oni povas faktori\v gi la ond funkcio $\Psi(x,t)=\psi(x)f(t)$. La akcio de la operatora donas al la variablo $o$ valorojn kiu formas aron nomatan \ero{Spektro}-n. La Spektro povas esti diskreta kaj kontinua, la valoroj de $o$ en la vektora prezento estas la \textit{memvaloroj} kaj la funkcio ke solvas la Schr\"odinger-an ekvacion estas \textit{ memvektoroj} por diskret spektro a\u u \textit{memfunkcioj} kontinue. La memvektoroj estas bone priskribita per la lineara al\v gebro kun \v giaj iloj tiel traco, determinanto \ldots La memfunkcioj estas anstata\u ue nature definita per la funkcionala priskribo kiu operas de spacoj vektoraj sur kampojn. La numero $n$ kiu determinas univoce iu valoro $o_n$ de \v gia spektro estas la \ero{Memstato} kaj $\mathcal H$, pro sia diseco, estas dekomponata en siajn \ero{Memspaco}-jn $\mathcal H = \bigoplus_{a\in\mathnormal{Sp}(\mathcal{A})}\mathcal H_a$.    \end{section}
\begin{section}{Ekvacio la\u u la memvaloroj} En kvantuma mekaniko \v cia dinamika parametro estas kalkulita per la \textit{ekvacio la\u u la a\u u tovaloroj} \begin{displaymath} \op O |\psi> = o|\psi> \end{displaymath} kie eksprimas la valoroj de iu variablo kiel memvaloroj de la ago de la operatoro sur vektoron, prefere, la ond funkcio esprimita en ia bazo.
\begin{mat}{Vektoro}{Iu vektoro $\vet v$ estas prezentigebla per ia bazo $\{\vet e_1,\vet e_2,\ldots\}$ de ortonarmalaj versoroj multuplikataj kun $\{c_1,c_2,\ldots\}$ koeficentoj.  Oni definas $\ket v$, vektoro de la \homo{Hilbert}-a spaco nomi\v gita \ero{ket}, sur bazon $a_i$ kaj $\bra v$ (\ero{bra} $\bra\cdot$) estas la sia transpozo. $\ket v\agx=\bra v$.\begin{displaymath} (\op o\ket v)\agx=\bra v\op o\agx \end{displaymath} }\end{mat} 
\begin{mat}{Operatoroj}{}La operatoroj estas lineraj funkcioj de vektoraj en vektoraj spacoj. La \ero{Vektora Spaco} estas priskribita per \begin{itemize} \item[-] $\ket\phi,\ket\psi\in S$\spa$\ket\phi+\ket\psi\in S$ asocia kaj komuta \item[-] havu nula vektoro $\ket\phi +\ket 0 = \ket\phi$\item[-] inverso $\forall \ket\phi \exists -\ket\phi$ $:$ $ \ket\phi + (-\ket\phi) = \ket 0$\item[-] lineara $c\ket\phi = \ket{c\phi}$\end{itemize} \ekz{Vektoraj Spacoj} $\C$\spa$\R$\spa$\mathbb{P}(\C)$ polinomo, $\C^n$\spa$\mathbb{P}^n(\C)$.\par 
La operatoro estas prezentita kiel matrico kiu operas sur la vektorojn $(\op A\ket\psi)_j=\sum_ia_{ij}\psi_i$. Tiu povas esti:\begin{itemize}\item[-]isomterika $|\!|U\ket\psi|\!|=|\!|\ket\psi|\!|=\braket{U\psi}{U\psi}=\bra\psi U\agx U\ket\psi$\item[-]Limita $\exists c\in \R | |\!|A\ket\psi|\!|=c|\!|\ket\psi|\!|$ \item[-]Memaldonita $\braket{A\phi}{\psi}=\braket{\phi}{A\psi}$ \item[-]\homo{Hermite}-a $\braket{A\phi}{\psi}=\braket{\phi}{A\psi}\quad\land\quad\Do(A)=\Do(A\agx)$ \end{itemize}Oni povas pluen dekomponi operatoron en sumo de \v giaj memvaloroj sur \v giaj memspacoj kun nihilpotenta matrica resto. Oni povas vidi ke la dekompono en memvaloroj estas simetrie {\it nevarianta} do la determinanto kaj la traco de la matrico en iu ajn prezento estas la produkto kaj la sumo de la memvaloroj\end{mat}
$\op O$ estas operatoro kiu agas sur la ond funkcio kaj $o$ estas la valoroj de la spektro de la variablo dinamika presenti\v gas per la operatoro. \ekz{Posicio} $<Q\psi>(x)=x\psi(x)$ ne limita en $\mathcal L^2(\R)$, \homo{Hermite}-a. \ekz{Pareco} La operatoro de pareco \v san\v gas la signo al la variablo, $\hat P f(x) = f(-x)$, estas operatoro unueca, limita, \homo{Hermite}-a kun memvaloroj $\pm1$ kaj estas prezentigebla per $e^{-\partial_x}$.\begin{ekzemplo}{Traslacio} Estas operatoro kiu transagas la variablo de iu kvanteco, limita, unueca, sed ne Hermite-a,  eksprimebla per $e^{l\partial_x}$ kun a\u tovaloroj $e^{2\pi n\imath l/a}$ en la rondo de radio $a$.\\ Si la komuto de du operatoroj estas $\kompl c$-numero (kostanto) \noto{$\komu{\op A}{\op B} :=\konst$} oni povas vidi ke \begin{displaymath} [\op A,\op B^n]=B[\op A,\op B^{n-1}]+[\op A,\op B]\op B^{n-1}=c n\op B^{n-1}+cB^{n-1}=\op B^{n-1}\kompl c(1+n)\end{displaymath}\v generaligante $\kom f'(\op A)=\sum_n \kompl c_nn\op A^{n-1}\kom$ \noto{$\nat m=\nat n-1$}\begin{displaymath}\komu{f(\op A)}{\op B}=\sum_{\nat n=0}^\infty c_{\nat n}[\op A^n,\op B]=\kompl c\sum_{\nat n=0}^\infty c_\natu\op A^{\natu -1}(1+\nat n)=\kompl c\sum_{\nat m=0}^\infty c_{\nat m+1}m\op A^{\nat m}=\kompl cf'(\op A)\end{displaymath}Oni definas do la operatoro de traslacio kiel \begin{displaymath}\komu{\op B}{e^{-\xi\op A}}=\sum_{\nat n=0}^{\infty}\frac{(-\xi)^{\nat n}}{n!}[\op B,\op A^{\nat n}]=\sum_{\nat m=0}^\infty \frac{(-\xi)^{\nat m+1}}{(\nat m+1)!}(-1)m\kompl c\op A^m=\xi \kompl ce^{-\xi\op A}\end{displaymath} $[\op B,e^{-\xi\op A}]=Be^{-\xi\op A}-e^{-\xi\op A}\op B$\spa$e^{\xi\op A}\komu{\op B}{e^{-\xi\op A}}=e^{\xi \op A}\op Be^{-\xi \op A} - \op B$\spa$e^{\xi\op A}\kompl c\xi e^{-\xi\op A}=e^{\xi\op A}\op Be^{-\xi \op A}-B$\begin{equation}e^{\xi\op A}\op Be^{\xi\op A}=\op B+\kompl c\xi\end{equation}\nul\end{ekzemplo} Finfine $\psi$ estas la ondo funkcio de kiu oni povas deduki \v cia dinamika variablo. La pli grava ekvacio enketinda esta la ekvacio de Schoedinger \begin{displaymath} H |\psi> = \E |\psi> \end{displaymath} kie H estas operatoro diferenciala prezentas Hamilton-an ekvacion ke klasike estas \begin{displaymath} H = \sum_i \frac{p^2_i}{2m} + V(x) .\end{displaymath} Pro De Broglie-a relacio $\vec{p} = h\vec k$ oni povas prezenti $\vec p$ per la variablo $\vec x$ \v car $\vec k$ reciprokas $\vec x$-n kaj sekve estas prezentigebla per la Fourier-a trasformo \begin{displaymath} \Psi(\vec x) = \frac{1}{\hbar}\int \psi(\vec p) e^{(\E t - \vec p\vec x)/\ic \hbar}\di^3p.\end{displaymath} Pro tio oni dedukas la ekvacio de Schroedinger \begin{displaymath}\ic \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Psi_t(\vec x) = \int \frac{p^2}{2m}\psi(\vec p)e^{(\E t - \vec p\vec x)/\ic \hbar}\di^3p\end{displaymath} Dume \begin{displaymath} \Psi_t(\vec x) =^{\nabla_{\vec x}} \int -\frac{p}{\ic \hbar}\psi(\vec p)e^{(\E t - \vec p\vec x)/\ic \hbar}\di^3p =^{\nabla_{\vec x}} \int \frac{p^2}{\hbar}\psi(\vec p)e^{(\E t - \vec p\vec x)/\imath \hbar}\di^3p \end{displaymath} Kiu estas la ekvacio Scroedinger-a se \begin{displaymath} \imath \hbar \de{t} \Psi_t(\vec x) = \Big(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x)\Big)\Psi_t(\vec x).\end{displaymath}\end{section}
\begin{section}{Potenciala Kavo} La potenciala kavo estas definita per iu potencialo nulas inter $[-a,a]$ kaj senfina alie. La ekvacio de kontinueco trudas ke la \v genera solucio $\psi(x) = A\sin(\vec k \vec x) + B\cos(\vec k\vec x)$ egalu en la punktoj $-a^-$ kaj $-a^+$, kaj simile en $a$, kie la solukcio estas nula  pro la presenco de senfina potencialo. Ia solucio devas havi $k = n\pi/a$ kaj sinusoj termoj por $n$ para kaj cosinusoj por $n$ nepara. Oni povas traslaci la ekvacio de $[-a,a]$ al $[0,L]$ tie $L = 2a$. \marginpar{\setlength{\unitlength}{2cm}\begin{picture}(0,0)\linethickness{0.075mm}\put(0,.2){\vector(1,0){1}}\put(.5,0){\vector(0,1){1}}\put(.1,.2){\line(0,1){.8}}\put(.9,.2){\line(0,1){.8}}\put(0,0){$-a$}\put(.8,0){$a$}\end{picture}} La termoj estas tiel sole sinusaj kaj la nedimensiigita termo, kiu usi\v gas por havi la koeficentoj de la Fourier-a evolvo sine dimensio, \v san\v gas de $\sqrt{2/a}$ al $\sqrt{1/L}$. Do nia solucioj estas \begin{displaymath} \psi_n(x) = c_n\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{2\pi n x}{L}.\end{displaymath}\marginpar{\setlength{\unitlength}{2cm}\begin{picture}(0,-1)\linethickness{0.075mm}\put(0,.2){\vector(1,0){1}}\put(.1,0){\vector(0,1){1}}\put(.1,.2){\line(0,1){.8}}\put(.9,.2){\line(0,1){.8}}\put(0,0){$0$}\put(.8,0){$L$}\end{picture}}
\subsection*{Mez Valoro} Oni do facile kalkulas la mez valoro de iu operatoro $\op b$ kiel $<\op b> := <\psi|\op b|\psi>$. Specife, la energia mez valoro estas $<\op H> = \pi^2\hbar^2/2mL \sum_n n^2c_n^2$. La probablo per iu memstato estas $\mathcal P_n = |c_n|^2$.\\ Se oni mizuras la energio de la partiklo ne ekzistas plu alia memstato ekster tiu mizurata. Oni devas kalkuli la probablo de nove \v car tiu valoro havas \v ciu probablo. Diverse oni povas konsideri la probablo de iu memstato kiel sia $|c_n|^2$ por eco de la ortonormala dekompono. Si oni mizuras la posicio de la partiklo oni devas rekalkuli la funkcio en sia intervalo de \v ceesto per $<\psi_n|\psi(t)>$ tie $\psi(t)$ estas la tempa evoluo $\psi(t) = \sum_n e^{\E_nt/\imath \hbar}\psi_n^{t_0}$. Oni povas vidi ke \v cia solucio estas nevarianta por rilativa faza termoj \v car iu kontribuo de formo $e^{-\imath\omega t}$ en la skala produkto $(\psi^*,\psi)$ malaperas. Oni povas forigas unu faza termo. Ekzemple, si la ond funkcio havas sole $i$-vica kaj $j$-vica termoj la solucio estas $\psi(t) = \psi_i + \psi_j e^{\omega t/\imath \hbar}$ tie $\omega = \E_j - \E_i$.\\ {\large Pareco} en tia kavo la solucio havas tia pareco: $\psi_n(-x) = (-1)^n\psi(x)$. \v Ciam la potencialo estas simetrika oni havas periodikajn funkcionojn \v car $V(-x) = V(x)$, $\psi(-x)$ kaj $\psi(x)$ estas solucioj de la sama ekvacio: \begin{displaymath}\Big(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\di^2}{\di x^2} + V(x)\Big)\psi(\pm x) = \E_n\psi(\pm x)\end{displaymath} kaj \v cia funkcio estas rapresentita per $\psi(x) = 1/2(\psi(x) + \psi(-x)) + 1/2(\psi(x) - \psi(-x))$. \par \ero{Probabla Denseca Kuranto} \begin{equation}j=-\frac{\imath\hbar}{2m}\Big(\psi^*\de x\psi - \psi\de x\psi^*\Big) = 2\Re\Big(-\frac{\imath\hbar}{2m}\psi^*\de x\psi\Big)\end{equation}Se $\psi=\psi_1+\imath\psi_2$ oni povas skribi $j$ kiel $j=\hbar/m(u_1'u_2+u_1u_2'$\\ Se $z_1$ kaj $z_2$ estas solvoj de siaj diferenzialaj ekvaciojn, $\ddot z_1+F_1(t) + z_1 =0$\spa$\ddot z_2+F_2(t) + z_2 =0$ oni montras la \eroh{Wronsky}{Teoremo} \begin{equation}\Big(z_1\dot z_2 - z_2\dot z_1\Big|_a^b = \int_a^b\Big(F_1(t) - F_2(t)\Big)z_1z_2\di t\end{equation}
\subsection*{Pareco} en tiu kavo la solucio havas parecon (a\u u la vektoroj estas a\u tuovektoroj por la opertoro pareco): $\psi_n(-x) = (-1)^n\psi(x)$. Kiam la potencialo estas simetrika oni havas periodikajn funkcionojn \v car $V(-x) = V(x)$, $\psi(-x)$ kaj $\psi(x)$ estas solucioj de la sama ekvacio: \begin{displaymath}\Big(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\di^2}{\di x^2} + V(x)\Big)\psi(\pm x) = \E_n\psi(\pm x)\end{displaymath} kaj \v cia funkcio estas rapresentita per $\psi(x) = 1/2(\psi(x) + \psi(-x)) + 1/2(\psi(x) - \psi(-x))$. 
\begin{ekzemplo}{Potenciala Kavo} Oni havas partiklon en tia potenciala kavo. En tiu kavo la ond funkcio estas ne degenerinta kaj spektr diskrete. Pro la Wronsky-a teoremo du solvadoj de la sama ekvacio al la memvaloroj, spektre diskrete, estas lineare nedependaj \v car la Wronsky-a kostantas kaj, specifike, nulas \v car nuli\v gas solvadon per $x\to\infty$. $\psi_2\di_x\psi_1=\psi_1\di_x\psi_2$ do $\psi_1=\konst\psi_2$. Si oni volas mizuri la partiklo pro dekovri en kia memstato estas oni aplikas projektoron. La mizuro ne estas unueca kaj ne plutenas normon. \par \ero{Projektoro} Observablo kun spektro diskreta eksprimeblas kiel serio de projektoroj sur siaj memspacoj. \noto{$\braket \psi\psi =1$} Oni elektas $\ket\psi =\ket{\psi_1 }+\ket{\psi_2}$\spa$\Hi =\Hi_1\oplus\Hi_2$\spa$Q_1\ket\psi =\ket{\psi_1}$ kaj $\Do(Q_1)=\Hi$, $Q_2\ket \psi=\ket\psi-\ket{\psi_1}$ Hermite-a \v car siaj mezvaloroj estas idempotencaj kaj ortogonalaj. $\ket\phi\bra\phi$ estas projektoro longe la versoro $\ket\phi$\spa$(\ket\phi\bra\phi)\ket\psi=\ket\phi(\braket\phi\psi)$ Hermite-a $(\ket\phi\bra\phi)\agx=(\ket\phi\bra\phi)$.\par La mizuro determinas subaron de iu variablo a\u u operatoro. \begin{itemize} \item[Energio] Si oni determinas kelkajn energiajn memvalorojn oni scias ke la sistemo ne \v san\v gos tiuj memvaloroj \v car \v san\v gas la probablo de \v ciu stato. Ofte oni scias la energian mez valoron kiu estas \noto{$[\hat A,\hat A] =0$}\begin{displaymath}\mez \E = \bra{\psi_n(t)}H\ket{\psi_n(t)}=\bra{\psi_n}e^{-\frac{Ht}{\imath\hbar}}e^{\frac{Ht}{\imath\hbar}}H\ket{\psi_n}=\E_n|c_n|^2=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\sum_nn^2c_n^2\end{displaymath} do per la kondico $\sum_nc_n^2=1$ oni akiras la formon de la ond fukcio.\item[Posicio] Mizuro povas determini subaron de la posicio. Ekzemple, oni dekovras ke la partiklo \v ceestas en la aro $[-a,0]$ tempe $t_0=0$. Do\begin{displaymath}c_n =  \braket{\psi_n}{\psi_0}=\frac{2}{L}\int_{-a}^0\psi^*_n\psi_0=\frac2L\sum_i\int_{0}^{L/2}\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)\sin\Big(\frac{i\pi x}{L}\Big)\end{displaymath}tie $i$ estas la inicialaj memstatoj. La funkcioj ortogonalaj en la intervalo $[-a,a]$ ne estas pli longe ortogonalaj en diversa aro. \v san\v gas la simetrio de la problemo sed ne \v san\v gas la simetrio de la funkcioj. Si oni volas determini la partiklo tempe $t_1\neq t_0$ oni devas kalkuli \begin{displaymath} c_n(t_1) = \braket{\psi_n}{\psi(t_1)}=\bra{\psi_n}e^{\frac{\hat Ht_1}{\imath\hbar}}\ket{\psi_{t=0}}=\bra{\psi_n}e^{\frac{\E_nt_1}{\imath\hbar}}\ket{\psi_{t=0}}=e^{\frac{\E_nt_1}{\imath\hbar}}\braket{\psi_n}{\psi_{t=0}}\end{displaymath} \v car $\ket{\psi_n}$ estas memvaloro de la operatoro $\hat H$. Oni do kalkulas se $\psi_{t=0}=\sum_i\psi_i$\begin{displaymath} c_n(t_1)=\int_{-a}^a\psi_n^*e^{\frac{E_nt_1}{\imath\hbar}}\psi_i=\frac{2}{L}\sum_i\int_{0}^L\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)e^{\frac{\E_n}{\imath\hbar}(t_1-t_0)}\sin\Big(\frac{i\pi x}{L}\Big)\end{displaymath} Se la iniciala ond funkcio \v ceestis sole en la unua memstato sia ond funkcio \v san\v gas poste la mizuro de $\sqrt{2/L}\sin(\pi x/L)\to\sqrt{1/L}\sin(\pi x/L)$, kaze dekovrita en tiu spaco, $0$ alia. Se la ond funkcio havas inicie du termoj oni povas skribi sia tempa evoluo tiel $\psi(t) = \sqrt{2/L}\sin(i\pi x/L)+\sqrt{2/L}\sin(j\pi x/L)e^{(\E_i -\E_j)t/\imath H}$ \v car \v cia funkcio estas nevarianta por rilativaj fazaj termoj kiuj estas \v ciuj solukcioj de la sama diferenciala ekvacio. \item[Pareco] Se ekzemple la ond funkcio inicie \v ceestis en finitaj neparaj memstatoj, poste la mezuro, oni havas senfinaj neparaj memstatoj ke, poste ia mizuron, akiras memvaloron $-1$ kun \v cia probablo.\end{itemize}\nul\end{ekzemplo}
\subsection{Faktori\v go} Se la Hamiltona estas separebla oni povas faktori\v gi la solvojn $\psi(\opl x)=\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)\ldots $ a\u u le\v gi la \homo{Schr\"odinger}-an ekvacion kiel sistemo de nedependa diverencialan ekvacion. Se, ekzemple, oni havas ian elastik potencialon inter du partikloj oni priskribas la sistemon per la koordinato de la mas centro kaj tia rilata. La Hamilton-a estas do separebla\begin{displaymath}\op H=\frac{\op p_1^2}{2m_1}+\frac{\op p_2^2}{2m_2}+\frac12\real k|\op q_1 - \op q_2|^2\to\tilde H=\frac{\op p_{mc}^2}{2m_{tot}}+\frac{\op p_r^2}{2\mu}+\frac12\real k\op q_r^2\end{displaymath} La mez valoro de la energio en tri dimensia kazo estas la sumo de la valoroj de \v cio koordinato. \begin{displaymath} \mez \E = \frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\Big(\frac{\natu_1^2}{l_1^2}+\frac{\natu_2^2}{l_2^2}+\frac{\natu_3^2}{l_3^2}\Big)\end{displaymath} kiu havas de\v genera indico $\sum_{\nat j=0}^{\nat n}\sum_{\nat k=0}^{\nat j}1=\sum_{\nat j}^{\nat n}\nat j+1 = \nat j^2/2+\nat j/2+\nat j+1$ \end{section}
\begin{section}{Armonika Oscilatoro} Oni konsideras la du operatoroj nedimensiigitaj $\breve X := m\omega/\hbar X$ kaj $\breve P := P/ m\omega \hbar$ pro kio $\breve H = H / \hbar\omega = \frac12(\breve P + \breve X)$ tiu ke $[\breve X,\breve P] = \imath\id$. Oni nomas $a = \frac1{\sqrt{2}}(\breve X + \imath\breve P)$ kaj $a\agx  = \frac1{\sqrt{2}}(\breve X - \imath P)$ kiu donas $\breve H = aa\agx  + \id/2 = N + \id/2$. Pluen $[a\agx a,a] = a\agx [a,a] + [a\agx ,a]a = -\id a$\spa$[a\agx a,a\agx ] = a\agx [a,a\agx ] + [a\agx ,a\agx ]a = -\id a$. Oni sercas la solukcion de tiu ekvacio la\u u la memvaloroj $N|n> = n|n>$ kun la kondico $<n|n> = 1$ oni vidas ke se $0 \leq ||a|n>|| = <n|a\agx a|n> = <n|n|n> = n <n|n> = n$\spa$n$ estas numero ne negativa.
\par $0\|a\agx\bra n\|^2 = \bra n a a\agx \ket n = \bra a a\agx a+\id \ket n = \bra n n + \id\ket n = n+1$. \noto{$Na\ket n= (n -1)a\ket n$}\noto{$Na\agx\ket n = (n+1)a\agx\ket n$} Oni do nomas $a\agx$ operatoro de krea\v jo kaj $a$ operatoro de detruo. Gravas la kondiciono $Sp(N) = \mathbb{N}_0$\spa$Na\agx\ket 0 = 0$. 
\par Povas oni demontri ke \begin{equation}\ket n = \frac{(a\agx)^n}{n!}\ket 0\end{equation} kaj oni povas per inducio. \noto{$N\ket n = n\ket n$} $dim(\Hi_n) >1$\spa$\ket{n,1}$\spa$\ket{n,2}$\spa$\braket{n,1}{n,2} = 0$ nedipendaj kaj ortogonalaj. Oni havas unu kaj unu sole ekvacion lineare nedipenda kaj la Hamilton-a spektro estas ne de\v genera $\breve H \ket 0=(N+\frac12\id)\ket 0 =\frac12\ket 0$. Oni kondukas al ekvacio de dua grado $a\ket0=0$\begin{displaymath}0=\bra{\breve x}a\ket0=\bra{\breve x}\breve H\ket0=\frac1{\sqrt{2}}\Big(\breve x + \de {\breve x}\Big)\breve u_o(\breve x) = 0\end{displaymath} $(1/\breve u_0)(\breve x)\di_{\breve x}\breve u = -\breve x$\spa$\di_{\breve x}\log(\breve u_0(\breve x)) = -\breve x$\spa$\log(\breve u_0(\breve x)) = -\breve x/2 + \konst$\spa$\breve u_0(\breve x) = ce^{-x^2/2}$\spa$Sp(N) = \mathbb{N}$\begin{equation}Sp(H) = \Big\{\hbar\omega\Big(n+\frac12\Big)\Big\}_{n\in\mathbb{N}}\end{equation}Para $\breve u_0(\breve x) = \breve u_0(\breve x)$\begin{displaymath}\breve u_n(\breve x) = \braket{\breve x}{x} = \bra {\breve x} \frac{(a\agx)^n}{\sqrt{n!}}\ket0 =\Big(\breve x - \de {\breve x}\Big)^n\frac1{\sqrt{n!}}\breve u_0(\breve x)H_n(\breve x)e^{-\frac{\breve x}{2}}\end{displaymath}kie $H_n$ estas la polinomoj de \homo{Hermite}. $\int\breve u_0^2(\breve x)\di\breve x = 1$.
\section{Angulaj Momantoj} Ia objekto havas simetrio si estas nevarianta sub ia intervebla trasforma\v jo nomigita simetri trasforma\v jo. Por \v cia simetrio de la sistemo a\u u spaco oni havas invariantecon de simetrio. Se la sistemo estas {\bf konserva} la objekto simetrias per temp translacioj. Se la spaco estas {\bf omo\v gena} la objekto simetrias per spac translacioj. Se la rapideco estas {\bf isotropa} la objekto simetria per rotacioj. Do oni volas priskribi ia tratado ke kunigu la klaso de simetri trasforma\v joj kun la unecaj operatoroj. Oni vidos kiel, kun la grupa teorio, oni povas kunigi kaj simpligi la tratado de la trasforma\v jojn. \par
Oni povas serci en la unecaj operatoroj $U\agx U=\id=UU\agx$ la simetri trasforma\v joj \v car ili, kiel oni vidas en la \homo{Wigner}-a teoremo, ne \v san\v gas la mez valoro de la operatoroj $\Mod{U\ket\psi}=\braket{U\psi}{U\psi}=\bra\psi U\agx U\ket\psi=\Mod{\ket\psi}$. La unecaj operatoroj operas sur la memfunkcio $U\ket\psi$ a\u u sur la operatoro $U\agx AU$. La komposicioj de du unuecaj operaroj estas la sumo de la du parametroj per ia fazo. $U(s)U(s')=U(s+s')e^{\imath\theta(s,s')}$. Per grupoj je unu parametro la fazoj povas esti elektita kiel nulo kaj la operatoroj formas grupon.
\begin{mat}{Grupo}{}La grupo $(\gru G,\circ)$ estas aro kiu plitenas: \begin{itemize}\item[\Unu] La {\bf ne\u utra} elemento $A\circ\id=A$ \item[\Du] la {\bf inversa} $\forall A \in \gru G \exists A^{-1} | A\circ A^{-1} = \id$ \item[\Tri] {\bf malferma} per komposicioj $A_1\circ A_2\in\gru G$\end{itemize} La grupo povas havi subgrupojn kunigitajn. Si la kunigo estas [disgiunta] la grupo estas la sumo de \v ciuj la [laterali] de ia subgrupo $\forall \gru G_i\subset\gru G, G=\bigcup_{j}G_j\gru G_i$ kun $G_j\in\gru G_j$ kaj $G_i\gru G_i\in G_i$.\par 
Per la \eroh{Stone}{Teoremo} la operatoro uneca estas prezentigebla per iun ajn operatoron $Q$ \dm{U(s)=e^{-isQ}} Oni povas fari \erof{Infinitezima Trasformajxo}{Infinitezima Trasforma\v jo} sur la operatoro $U\simeq \id - sQ$ kie $Q$ nun estas la \erof{Gxeneratoro Infinitezima}{\v Generatoro Infinitezima} \dm{Q=\imath\hbar\de sU(s)\Big|_{s=0}} prefere la elemento de la algebro $\alg U$ obtenita pro la grupo $\gru G$\end{mat}
\begin{ekzemplo}{Grupoj} Ekzistas la Grupo Ortogonala \ekzf{On}{$\gru O_n$}$\gru O_n$ de la matricoj la\u u kiuj $\tilde\rho\rho=\id$ kiuj montras pluen. $\tilde\rho=\rho^{-1}$ kiu estas grupo \v car \Unu $\id_n \in \gru O_n$ \Du $\exists\rho^{-1}=\tilde\rho$, $\tilde\rho^{-1}\tilde\rho=\tilde\rho^{-1}\rho^{-1}=\id_n\in \gru O_n$. Oni povas vidi ke tiu grupo estas dekomponebla en du lateraloj, oni do difinas \ekzf{SOn}{$\gru{SO}_n$} kiel tiu lateralo kiu havas $\det\rho=1$ do estas subgrupo. La grupo \ekzf{Un}{$\gru U_n$} estas anstata\u ue la grupo de la unecaj matricoj $U\agx U=\id$ kun \ekzf{SUn}{$\gru {SU}_n$} sia sola subgrupo kun determinanto unuas.\end{ekzemplo}
\begin{mat}{Lie-a Algebro}{Algebro di \homo{Lie} $\alg G$ estas vektora spaco de finaj dimensioj havinte la komutatoro $[A,B]=AB-BA$ kiu plidoni la \eroh{Jacobi}{Identajxo} \dm{[a[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[b,a]]=0}}
\ekz{Lie-a Algebro}\begin{itemize}\item[$\alg O$] estas la aro de ortogonalaj matricoj. Iu bazo estas donita per la sumo de la matricoj \dm{\epsilon^1=\left(\!\!\begin{array}{c c c}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{array}\!\!\right)\quad\epsilon^2=\left(\!\!\begin{array}{c c c}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}\!\!\right)\quad\epsilon^3=\left(\!\!\begin{array}{c c c}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{array}\!\!\right)}\end{itemize}\end{mat}
Por la \homo{Stone}-a teoremo oni povas uzi la bone notitaj operatoroj $P,L,H$ pro priskribi la simetri trasforma\v jon. 
 \\ \\ \ldots \\ \\
Oni kreas novan al\v gebron formatan da $\{\op {J_z},\op J_\pm\}$ kie $\op J_\pm := \op J_1 \pm \imath \op J_2$. $\op J_\pm$ ne estas Hermite-aj \v car $\op J_+\agx = \op J_-$\spa$[{\zz J},J_\pm] = \pm\hbar \op J_\pm$. $[\op J_k,\op J_l] = \imath\hbar\epsilon_{klm}J^m$\spa$[\op J_+,\op J_-] = \op {\zz J}$. Elektas oni bazo formata de memket de $\op {\zz J}$, $\ket m$, rilata al la memvaloro $m\hbar$\spa$m\in\R$\spa$\op {\zz J}\ket m=m\hbar\ket m$. La ket rilata de $\op {\zz J}$ donas per $\op J_\pm\ket m$ memket rilata de $\op {\zz J}$ koresponda al la memvaloro $(m\pm 1)\hbar$. Por \v ciu numero intera o duon intera ekzistas \ero{Prezento NeRedukebla} de Lie-a al\v gebro de la angulara momentoj en Hilbert-a spaco de $(2j+1)$ dimensioj kaj en tia spaco la spektro de observebla $\op J_k | k=1,2,3$ konstituas de la oplo $\{m\hbar|m=-j,-j+1,,j\}$\spa$\op {\zz J}\ket j = j\hbar\ket j$\spa$\op J_+ \ket j = 0$\spa$\op {\zz J}\op J_-^k\ket j=\hbar(j-k)\op J_-^k\ket j$. La bazo $\ket m$ estas definata per la ket $\ket j$ normagita tiel \noto{per $\braket jj =1$}\begin{displaymath}\ket{m-1} = \frac{J_-}{\sqrt{\hbar(j-m+1)(j+m)}} \ket m \end{displaymath}  $[\op J^2,\op J_k] = 0$\noto{$\op J^2=\op J_-\op J_++\hbar \op {\zz J}+\op {\zz J}^2$}. Ia Hilbert-a spaco prezenteblas per $\Hi = \bigoplus_{j\in\mathcal J}\Hi^{NR}_j$ tie $NR$ signifas ne redukebla. $\mathcal J = \mathbb N/2$\spa$k_j$ a\u u tovaloroj $j(j+1)\hbar^2$ de dimensio $dim\Hi^{NR}_j = 2j +1$. La memvaloroj de $\vet L$ estas $l = j$. Por determini $\mathcal J, n_j$ oni devas solvi la ekvacioj la\u u la memvaloroj \begin{equation}\Lkvar f_{l,m} = \hbar l(l+1)f_{l,m} \qquad \op {\zz L} f_{l,m} = \hbar mf_{l,m}\end{equation} Sciante ke $\op L_+ f_{l,l} = 0$\spa$\op {\zz L}f_{l,l} = \hbar lf_{l,l}$ por $l=m$ kaj $f_{l,m}\propto \op L_-^{l-m}f_{l,l}$ oni povas determini la sukcesioj $\{f_{-l},,f_l\}$ kiu estas la memfunkcio de en prezento $x$ de la memket $\{\ket{l,-l},\ket{l,l-1},,\ket{l,l}\}$, bazo kanona de $\Hi_{NR}$\spa$\Lkvar f_{l,l} = (\op L_-\op L_+\op L^2_3+\hbar \zz L)f_{l,l}=\hbar^2l(l+1)f_{l,l}$. En prezento $x$ oni eksprimas tiuj ekvacioj en  polaraj koordinatoj.\begin{equation}\op {\zz L} = -\imath\hbar\De{\phi} \qquad \op L_\pm \hbar e^{\pm\imath\phi}\Big(\imath \theta\De \phi \pm\De\theta\Big)\end{equation} La angularaj momentoj depenas sole de la angulara koordinatoj, sekve $r$ estas kostanto arbitra. Faktori\v gante $f_{l,l} = C_l(r)Y_l^l(\theta\phi)$\noto{$\|f_{l,l}\|^2=1$}\noto{$\int r^2|C_l(r)|^2\di r=1$}\noto{$\int|Y_l^l(\theta,\phi)|^2\sin\theta \di \theta \di \phi =1$} do $C_l(r)\in L^2\big((-\infty,\infty)\big)$ kaj \v ci tiu aro estas estas Hilbert-a spaco separebla. 
\subsection{Angulaj Momentoj Sumo} Oni povas konsideri egale la totala angulara momento tiel sumo de momento orbita kaj de spin a\u u sumo de la orbita momento de du partikloj. \noto{$\Hi^{(a)} =\bigoplus_{j_a\in\mathcal J_a}n_j^{(a)}\Hi^{(a)}_j$}
\begin{mat}{Tensora Produkto} Oni definas la Tensora Produkto tiel  \noto{$\vet J= \vet J_1+\vet J_2|\vet J\in\Hi^\otimes$}\begin{displaymath}\Hi^\otimes=\Hi^{(1)}\otimes\Hi^{(2)} = \bigoplus_{j_1\in\mathcal J_1}\bigoplus_{j_2\in\mathcal J_2}n_j^{(1)}n_j^{(2)}\Hi^{(1)}_{j}\otimes\Hi^{(2)}_j\end{displaymath} Sekvas ke \v ciu operatoro agas sur sia spaco kaj la operatoro de totala angula momento estas la tensora produkto de \v ciuj operatoroj separe sur iliaj spacoj neredukeblaj. \begin{ekzemplo}{Tensora Produkto}$\ket{j_1,m_1}\otimes\ket{j_2,m_2} = \ket{m_1,m_2}$\begin{displaymath}{\zz J}\ket{m_1,m_2} = \Big({\zz J}^{(1)}\otimes\id +\id \otimes{\zz J}^{(2)}\Big)\Big(\ket{j_1,m_1}\otimes\id +\id \otimes\ket{j_2,m_2}\Big) = \hbar\ket{m_1.m_2}\end{displaymath}\v Car $({\zz J}^{(1)}\ket{j_1,m_1})\otimes(\id\ket{j_2,m_2})+(\id\ket{j_1.m_1}\otimes{\zz J}^{(2)}\ket{j_2,m_2}) = (\hbar m_1\ket{j_1,m_1})\otimes(\id\ket{j_2,m_2})+(\id\ket{j_1,m_1}\otimes\hbar m_2\ket{j_2,m_2})$\end{ekzemplo} \\\marginpar{$\lhd$$\Jkvar$}$\Jkvar = \Jkvar_{(1)}\otimes\id+\id \otimes\Jkvar_{(2)}+2\sum J_k^{(1)}\otimes J_k^{(2)}$ \end{mat}
Se oni havu $J_1 =1$ angula orbita momento kaj $J_2=1/2$ angula momento de spin $\{\ket{1,1},\ket{1,0},\ket{1,-1}\}$ estas bazo de $\Hi^{NR}_1$ kaj $\{\ket{1/2,1/2},\ket{1/2,-1/2}$ de $\Hi^{NR}_2$ oni volas konstrui la bazo de $\Hi^\otimes$, $\ket{1,1}\otimes\ket{1/2,1/2}=\ket{1,1/2}$, $\ket{1,1}\otimes\ket{1/2,-1/2}=\ket{1,-1/2}$ kaj aliaj sekvinte la \v genera reglo \dm{ \Hi = \Hi^{(1)}_{j_1}\otimes\Hi^{(2)}_{j_2} =\bigoplus_{j = |j_1-j_2|}^{j_1+j_2}\Hi_j^{NR} \qquad D = D^{(1)}_{j_1}\otimes\Hi^{(2)}_{j_2} =\bigoplus_{j = |j_1-j_2|}^{j_1+j_2}D_j^{NR}} kiu estas \ero{Kompona Reglo de Angul Momentoj}. Do \begin{displaymath} Sp(\vet J^2)=\Big\{\hbar\nat j(\nat j +1)\Big|\nat j=|\nat j_1 -\nat j_2|\stackrel{++}\to\nat j_1+\nat j_2\Big\} \quad Sp(\zz J)=\Big\{\hbar m\Big|m=-\nat j_1-\nat j_2 \stackrel{++}\to j_1+j_2\Big\}\end{displaymath}\end{section}
\begin{section}{Angula Kompleta Bazo} Oni volas priskribi ia sistemo en la kompleta operatora bazo $\{\op H,\vet L^2,\op { L}_z\}$ kiu havas en sia spektro $\{\nat n,\nat l,\inte m\}$. Tia bazo estas tre utila kiale ofte aperas centralaj potencialaj kaj \v ciu operatoro komutas kun la Hamilton-a. En centra kampo Hamilton-a estas separebla kaj la ond funkcio faktori\v gebla en polaraj koordinatoj $f\pol = R_{\nat {nl}}(\sreal r)\sum_{\inte m}Y_{\nat l}^{\nat m}\pola$\spa$\kompl\psi_{\natu_1,\natu_2,\natu_3}=\real Ae^{-\real \alpha \ra^2}H_{\natu_1}(\real\alpha \xx x)H_{\natu_2}(\real\alpha \yy y)H_{\natu_3}(\real\alpha \zz z)$ Tie $H_\natu$ estas la \eroh{Hermite}{Polinomio}.\\ Oni povas priskribi $\X = \ra/2\sqrt{8/3\pi}(Y^1_1-Y_1^{-1})$\spa$\Y= \ra/2\sqrt{8/3\pi}(Y^1_1+Y_1^{-1})$\spa$\Z = \ra \sqrt{4/3\pi}Y_1^0$.\\ La memvaloroj de la energio estas $\nat \E_\natu=\hbar/\real\omega(3/2 + \natu)$ tie $\natu = \xx n+\yy n+\zz n$.\\ De ia bazo al la alia, pareco pluteni\v gas, do $(-1)^\natu=(-1)^{\nat l}$.\\ En Hilbert-a spaco vektoroj estas prezentigeblaj en $\kompl\psi(x,0)=\kompl c_\natu\kompl\psi^\natu(x)$\spa$\kompl c_\natu^2=\int\kompl\psi_n\kompl\psi(x,0)\di x$\begin{displaymath} \ket \natu=\sum_{\inte m=-\nat l}^{\nat l}\kompl c_{\inte m}\ket{\nat l\inte m} \qquad \kompl c_\intm =\braket{\nat l\inte m}{\natu}\end{displaymath} Oni povas kalkuli la probablo de la memstato $\inte m$ por ia ond funkcio kiu ne depenas sole por $\ra$ per la kvar sumo de \v ciuj rilataj koeficentoj kiuj multiplikas la sfer armonikaj $Y^\intm_{\nat l}$. $f(\X,\Y,\Z)=h_natu(\ra)\sum\kompl c_\intm Y_{\nat l}^\intm$\spa$Pr(\intm)= \kompl c_\intm^2/\sum\kompl c_\intm^2$ 
\subsection{Prezento Matrica de la Lie-a Algebro de la Angul Momantoj} Nun oni scias ke la operatoroj $J^2$ kaj $J_z$ agas sur siajn propr memfunkciojn tie:\dm{L^2\ket{l, m}=l(l+1)\ket{l, m} \quad\land\quad L_z\ket{l, m}=m\ket{l, m}} pluen oni scias la agon de la operatoroj $L_\pm$ sur la statoj $\ket{l m}$ \dm{L_\pm\ket{l, m}=\sqrt{l(l+1)-m(m\pm1)}\ket{l, m}\qquad L_\pm=L_x\pm\imath L_y} Nun oni volas konstrui la matrican prezenton per tiu operatoroj $D^{(l)}$ kalkulebla per \dm{\big(D^{(l)}_i\big)_{mm'}=\bra{l m}L_i\ket{l, m'}} Tiu oni donas la posiblecon de konstrui prezenton ne redukeblan sur kiu konstrui \v ciuj aliaj prezenton.\par
Kalkulinte oni obtenas \dm{D^{(1/2)}_1 = \frac\hbar2\left(\begin{array}{c c}0&1\\1&0\end{array}\right)\quad D^{(1/2)}_2 = \frac\hbar2\left(\begin{array}{c c}0&-\imath\\\imath&0\end{array}\right)\quad D^{(1/2)}_3 = \frac\hbar2\left(\begin{array}{c c}1&0\\0&-1\end{array}\right)} kiuj estas la \eroh{Pauli}{Matrico} kaj bazo de la algebro $S\alg U_2$. En tiu prezento oni havas gravaj ecoj en la termoj de la kostantaj strukturoj \dm{\{\sigma^i,\sigma^j\}=2\delta^{ij}\qquad [\sigma^i,\sigma^j]= \epsilon^{ijk}\sigma_k\qquad {\sigma^i}^*=-\sigma^2\sigma^i\sigma^2 \qquad -\tilde\sigma^i=\sigma^2\sigma^i\sigma^2 }La prezento por la memvaloro $l=1$ estas: \dm{D^{1}_1=\frac\hbar{\sqrt2}\left(\!\!\begin{array}{c c c}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{array}\!\!\right)\quad D^{1}_2=\frac\hbar{\sqrt2}\left(\!\!\begin{array}{c c c}0&-\imath&0\\\imath&0&-\imath\\0&\imath&0\end{array}\!\!\right)\quad D^1_3=\frac\hbar{\sqrt2}\left(\!\!\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{array}\!\!\right)}
Oni povas priskribi la sistemo en malegalan bazon. Oni devas eksprimi la vektoroj de unu bazo el tiuj de la alia. \v ciu vektoro estas la sumo de \v ciaj vektoroj de la alia bazo multiplikitaj per koeficentoj nomataj \eroh{Clebsh-Gordan}{Koeficentoj}.\begin{ekzemplo}{Clebsh-Gordan}{$l=1,s=1/2$} La vektoro \dm{\ket{j, m_j}=\sum_{l,s|l+s=j}c_{l,s}\ket{l, s}} do oni scias ke $\ket{3/2, 3/2}=\ket{1, 1/2}$ kiam $\ket{3/2, 1/2}=\alpha\ket{1, -1/2}+\beta\ket{0, 1/2}$. Sciante ke $J_-\ket{3/2, 3/2}=\sqrt3\ket{3/2, 1/2}$ oni povas serci $\alpha,\beta$ pro kiuj \begin{eqnarray*}J_\mp\ket{3/2, \pm3/2}=(L_\mp+S_\mp)\ket{1, 1/2}\qquad &\ket{3/2, 1/2}=\sqrt{\frac23}\ket{0, 1/2}+\sqrt{\frac13}\ket{1, -1/2}\\&\ket{3/2,-1/2}=\sqrt{\frac23}\ket{0, 1/2}+\sqrt{\frac13}\ket{-1,1/2}\end{eqnarray*} Pro la ortonormaleco \dm{\braket{3/2, 1/2}{1/2, 1/2}=0 \qquad \ket{1/2, 1/2}=\ket{3/2, 1/2}^\perp=\sqrt{\frac13}\ket{0, 1/2}-\sqrt{\frac23}\ket{1, -1/2}} Pluen \dm{\ket{-1,1/2}=\sqrt{\frac13}\ket{3/2,1/2}-\sqrt{\frac23}\ket{1/2,-1/2}}\par
Oni povas anka\u u eksprimi la koeficantoj de la bazo $\{L^2,L_z\}$ al la bazo $\{L_x,L_y\}$. Se $l=1$ kaj oni havas $L_z\ket m=m\ket m$ kaj $L_y\ket{m_y}=m_y\ket{m_y}$. $\ket{m_y}=\alpha\ket{1}_z+\beta\ket{0}_z+\gamma\ket{-1}_z$ \dm{L_y\ket m_y=L_y(\alpha\ket1_z+\beta\ket0_z\gamma\ket{-1}_z)=m_y(\alpha\ket1_z+\beta\ket0_z\gamma\ket{-1}_z)} $L_y=(L_+-L_-)/2\imath$. Kalkulinte \dm{\ket m_y=\frac1{2\imath}\ket{1}_z+\frac1{\sqrt2}\ket{0}_z-\frac1{2\imath}\ket{-1}_z}
Por obteni $\ket m_x$ oni povas rotigi:\dm{\espih{-L_z\pi}\ket m_y=\ket m_x=\frac12\ket1_z+\sqrt{\frac12}\ket0_z+\frac12\ket{-1}_z} Oni do volas montri anka\u u
\begin{figure}[!h]
\centering
\begin{tabular}{c |c c c c}
\multicolumn{5}{l}{$1/2\otimes1/2$}\\
&$\kett 11$&$\kett 10$&$\kett 00$&$\kett 0{-1}$\\
\hline$\kett{1/2}{1/2}$&1&&&\\
$\kett +-$&&$\sqrt{1/2}$&$\sqrt{1/2}$&\\
$\kett -+$&&$\sqrt{1/2}$&$-\sqrt{1/2}$&\\
$\kett --$&&&&1\\
\end{tabular}
\end{figure}
\end{ekzemplo}
\begin{section}{Ond funkcioj normaligitaj por idro\v gena atomo}
\begin{center}
$\rho=Z\ra/a_0$\spa$a_0=0.592$\AA\spa$A=(Z/a_0)^{3/2}$\\
\begin{longtable}{c c c c @{=} l c c c}
\multicolumn{8}{c}{OndFunkcioj} \endhead
\hline \multicolumn{8}{|r|}{{je la proksiman pa\v gon}} \\ \hline\endfoot
\hline\endlastfoot
\nat n & \inte l & \inte m & \multicolumn{2}{c}{}\\
\hline \rule{0ex}{4ex}1&0&0& $\psi_{1s}$&$A$&\multicolumn{2}{c}{$e^{-\rho}$}$/\sqrt{\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}2&0&0 & $\psi_{2s}$&$A$&$(2-\rho)e^{-\rho/2}$&&$/\sqrt{32\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}2&1&0 & $\psi_{2p_z}$&$A$&$\rho e^{-\rho/2}$&$\cos(\theta)$&$/\sqrt{32\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}2&1&-1& $\psi_{2p_y}$&$A$&$\rho e^{-\rho/2}$&$\sin(\theta)\sin(\phi)$&$/\sqrt{32\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}2&1&1 & $\psi_{2p_x}$&$A$&$\rho e^{-\rho/2}$&$\sin(\theta)\cos(\phi)$&$/\sqrt{32\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}3&0&0 & $\psi_{3s}$&$2A$&\multicolumn{2}{c}{$(27-18\rho+2\rho^2)e^{-\rho/3}$}&$/81\sqrt{3\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}3&1&0 & $\psi_{3p_z}$&$2A$&$e^{-\rho/3}$&$\cos(\theta)$&$/81\sqrt{3\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}3&1&-1& $\psi_{3p_y}$&$2A$&$(6\rho-\rho^2)e^{-\rho/3}$&$\sin(\theta)\sin(\phi)$&$/81\sqrt{3\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}3&0&1 & $\psi_{3p_x}$&$2A$&$(6\rho-\rho^2)e^{-\rho/3}$&$\sin(\theta)\cos(\phi)$&$/81\sqrt{3\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}3&2&0 & $\psi_{3d_{z^2}}$&$A$&$\rho^2e^{-\rho/3}$&$(3\cos^2(\theta)-1)$&$/81\sqrt{6\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}3&2&-1& $\psi_{3d_{yz}}$&$\sqrt2A$&$\rho^2e^{-\rho/3}$&$\sin(\theta)\cos(\theta)\sin(\phi)$&$/81\sqrt{6\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}3&2& 1& $\psi_{3d_{xz}}$&$\sqrt2A$&$\rho^2e^{-\rho/3}$&$\sin(\theta)\cos(\theta)\cos(\phi)$&$/\sqrt{32\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}3&2&-2& $\psi_{3d_{xy}}$&$A$&$\rho^2e^{-\rho/3}$&$\sin^2(\theta)\sin(2\phi)$&$/81\sqrt{2\pi}$ \\
\rule{0ex}{4ex}3&2&2 & $\psi_{3d_{x^2-y^2}}$&$A$&$\rho^2e^{-\rho/3}$&$\sin^2(\theta)\cos(2\phi)$&$/81\sqrt{2\pi}$ \\
\end{longtable}
\end{center}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
{\Large Mez Valoroj}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
\mez{r}=n^2a_0\big(3/2 - \inte l(\inte l+1)/2n^2\big)/2\nat Z &\qquad& \mez{r^2}=n^4a_0^2\big(3/2 - \inte l(\inte l+1)/2n^2\big)/2\nat Z\\
\mez{r^{-1}}=\nat Z/a_0 \nat n^2&\qquad&\mez{r^{-2}}=\nat Z^2e^2/a_0^2\nat n^3(\inte l + 1/2)\\
\mez{r^{-3}}=\nat Z^3/a_0^3\natu^3(\inte l + 1/2)(\inte l+1)\inte l&\qquad&\mez{\V}=-\nat Z^2e^2/a_0 \nat n^2\\
\mez T=\nat Z^2e^2/2a_0\nat n^2&\qquad&\\\end{eqnarray*}\end{figure}\end{section}
\subsection{Libera Partiklo} La tri komponoj de $\op {\vet P}$ estas traslacia nevariantoj: $e^{\op{\vet P}\vet a/\imath\hbar}\op{\vet P}e^{-\op{\vet P}\vet a/\imath\hbar}=\op{\vet P}$ kiele por $\op H$, funkcio de $\op{\vet P}$. $H$ estas kvar proporcia al $\op{\vet P}$ do estas anka\u u rotacio nevarianta\begin{displaymath} e^{\vet w\op{\vet L}/\imath\hbar}\frac{\op{\vet P^2}}{2m}e^{-\vet w\op{\vet L}/\imath\hbar}=\frac{\op{\vet P^2}}{2m}\end{displaymath} Oni volas nun diagonali\v gi la bazo en la novaj koordinatoj a\u u malkovri \begin{displaymath}\kompl \psi_{\nat\E,\natu,\intm}\pol=\braket{\ra,\thetapi,\phidp}{\psi}\end{displaymath} Konitaj la ekvacioj, $[H\psi_{\nat\E,\natu,\intm}]\pol=\E\psi_{\nat\E,\natu,\intm}\pol$\spa$[\op{\vet L^2}\psi_{\nat\E,\natu,\intm}]\pol=\hbar^2\nat l(\nat l+1)\psi_{\nat\E,\natu,\intm}\pol$\spa$[\zz L\psi_{\nat\E,\natu,\intm}]\pol=m\hbar\psi_{\nat\E,\natu,\intm}\pol$, \noto{$\op P_{\ra}=-\frac{\imath\hbar}{\ra}\De \ra\ra$ Hermite-a} oni prezentas per la memvaloroj $\{\nat\E,\natu,\intm\}$ sciante ke $\op{\vet P^2}$ estas prezentigebla per $\op P_\ra^2+\op R^{-2}\op{\vet L^2}$ oni devas solvi la \ero{Radia Ekvacio} \begin{equation} \Big(-\hbar\frac1 \ra\Dee \ra\ra+\hbar^2\frac{\nat l(\nat l+1)}{\ra^2}-2m\real\E\Big)h_{\real\E\nat l}(\ra)=0\end{equation} $\intm$ nedepena pravige rotacia nedepeno. \end{section}
\section{Ka\u uza Evoluo} La ka\u uza evoluo estas priskribebla per uneca operatoro \dm{\op U(t)\EDef e^{\frac{\op Ht}{\imath\hbar}}} kie $\op H$ estas la \homo{Hamilton}-a operatoro. Oni povas vidi la ka\u uza evoluo kiel evolvado de la operatoro (\homo{Heisenberg}-a vidado), kiel evolvado de la ondfunkcio (\homo{Schr\"odinger}-a vidado) a\u u interado inter la duoj. 
\subsection{Schr\"odinger-a Vidado}La \homo{Hamilton}-a operatoro evolvagas la ond funkcion \dm{\ket{\psi(t)}=e^{\frac{\op Ht}{\imath\hbar}}\ket{\psi(0)} \qquad \hbar\imath\partial_t\ket{\psi(t)}=H\ket{\psi(t)} }
\subsection{Heisenberg-a Vidado}La evoluado \v san\v gas la operatoron \dm{\op U(t)\op O(0)\op U^{-1}(t)=e^{-\frac{\op Ht}{\imath\hbar}}\op O(0)e^{\frac{\op Ht}{\imath\hbar}}=\op O(t)\qquad \imath\hbar \partial_t\op O_H(t) = e^{\frac{\imath\op Ht}{\hbar}}[\op O_S,H]e^{-\frac{\imath \op Ht}{\hbar}}=[\op O_H,H] }
\subsection{Interad Vidado} Si oni havas \homo{Hamilton}-a tipe $H=H_0+V$ kie $H_0$ estas bone notita \homo{Hamilton}-a operatoro kies oni konas la solvado oni povas interadas inter la du vidadoj. Specifike la ond funkcio kaj la operatoro evoluas per \dm{\ket{\psi_I(t)}=e^{\frac{\op Vt}{\imath\hbar}}\ket{\psi(0)} \qquad  \op O_I(t)=e^{-\frac{\op H_0t}{\imath\hbar}}\op O_S(0)e^{\frac{\op H_0t}{\imath\hbar}}=\imath\hbar\partial_t\op O(t)=[\op O_I(t),\op H_0] }
\ekz{Temp dipenda Potencialo} Si $H = H_0 + V(t)$ kaj $V(t)$ estas malgranda oni povas proksimi\v gi la solvado tiel: \dm{\ket{\psi(t)}=e^{\frac{H_0t}{\imath\hbar}}\ket{\psi_I(t)} } pro la \homo{Schr\"odinger}-a ekvacio: \dm{\imath\hbar\partial_t\ket{\psi}=H_0e^{\frac{H_0t}{\imath\hbar}}\ket{\psi_I(t)}+\imath\hbar e^{\frac{H_0t}{\imath\hbar}}\partial_t\ket{\psi_I(t)}=(H_0+V)e^{\frac{H_0t}{\imath\hbar}}\ket{\psi_I(t)}}kune kun \dm{\imath\hbar\partial_t\ket{\psi(t)}=V_I(t)\ket{\psi_I(t)} } Nun oni povas solvi rikursive \dm{\psi_I(t)=\psi_I(t_0)-\frac{\imath}{\hbar}\int_{t_0}^{t}V_I(t')\psi_I(t')\di t'} tiel: \dm{\psi_I(t_1)=\psi_I(t_0)+\sum_{i=1}^\infty\Big(-\frac{\imath}{\hbar}\prod_{j=1}^i\big(\int_{t_0}^{t_j}\di t_iV_I(t_j)\big)\Big)\psi(t_0)}
\subsection{Matsubara Vidado} La \homo{Matsubara} vidado estas la unika ne uneca operatoro de evoluo kaj estas ofte uzita por porti la sistemon al la dezirita temperaturo. Tiu vidado estas simila al la \homo{Heisenbeg}-a kaj estas difinita per \noto{$\op K\EDef\op H+\mu\op N$ $\op K_0 \EDef \op H_0$} \dm{\op O_M(\tau) = e^{\op K\tau}\op O_S e^{-\op K\tau} \qquad \op O_M(\tau) = e^{\op K\tau}e^{-\op K_0\tau}\op O_I(\tau)e^{\op K_0\tau}e^{-\op K\tau} } kaj oni povas difini la operatoro de evoluo \dm{U_M(\tau_1,\tau_2) \EDef e^{\op K_0\tau_1}e^{-\op K(\tau_1-\tau_2)}e^{-\op K_0\tau_2} } Tiu difino portas al la perturbatan priskribon similan al la interad vidado.
\subsection{Fermi-a Aurea Reglo} La Fermi-a aurea reglo uzitas por kalkuli la probablon de transiro inter du statoj al la unua aproksimeco.\par
Oni havas ne perturbitan staton al tempo $t=0$. Si oni [accende] perturba\v jon oni volas koni la probablon de transiro inter du memstatoj a\u u la efekto de la perturba\v jo sur la sistemo.\par
Je $t=0$ la partiklo \v ceestas en la stato $\ket i$, oni volas nun koni la probablo ke tiu partiklo transiras, ekzemple, al la stato $\ket f$ do \dm{c_f(t)=\braket{f(t)}{\psi(t)}=\bra fe^{-\frac{E_ft}{\imath\hbar}}\ket{\psi(t)}=\bra fe^{-\frac{H_0t}{\imath\hbar}}\ket{\psi(t)}=\braket f{\psi_I(t)}} kie $\psi_I$ estas la ond fukncio en la interada vidado. \par 
Estinte per la unua ordo en $V_I$ \dm{\ket{\psi_I(t)}=\ket{\psi_I(0)} + \int_0^t\di t' V_I(t')\ket{\psi_I(0)}} do la koeficanto $c_f(t)$ estas kalkulebla per \dm{c_f(t)=\braket{f}{\psi_I(t)}=\braket fi + \int_0^t\di t'\bra f\espm{H_0t}{\imath\hbar}V(t')\espp{H_0t}{\imath\hbar}\ket i=\int_0^t\di t' \bra{f}V(t')\ket i \espp{(\E_i-\E_f)t'}{\imath\hbar}} do la denseco probablo estas \dm{\Pro_{fi}(t)=|c_f(t)|^2=\frac1{\hbar^2} \Big|\int_0^t\di t'\bra fV(t')\ket i \espih{(\E_i-\E_f)t'}\Big|^2}
\begin{ekzemplo}{Kostanta Potencialo} $V(t)=V$ \dm{\Pro=\frac1{\hbar^2}\big|V_{fi}\big|^2\Big|\frac{\espih{(\E_i-\E_f)t}-1}{\frac{\E_i-\E_f}{\hbar\imath}}\Big|=\frac1{h^2}\big|V_{fi}\big|^2t^2\mathrm{sinc}\big(\frac{\omega_{fi}}2t\big)} La funkcio $\mathrm{sinc}(\omega)\EDef\mathrm{sen}(\omega)/\omega$, kiel supren notita, havas alta [picco] por $\omega=0$ a\u u $\E_f=\E_i$ kaj havas largecon $4\pi/t$ la aliaj [picchi] dekreskas tiel $(\E_f-\E_i)^2$ kaj havas largecon $2\pi/t$.\end{ekzemplo} Pro tiu, per $t$ granda la funkcio $\mathrm{sinc}$ estas simila al la simbola funkcio de la $\delta(\E_i-\E_f)$.
\begin{ekzemplo}{Armonika Perturbado}Ia potencialo \dm{V(t)= V_0^*(r)e^{\imath\omega t}+V_0^*e^{-\imath\omega t}} interadas kun la atomo donante probablon de transiro al la elektono. \dm{\Pro_{fi}(t)=\frac1{\hbar^2}\Big|V_{fi}e^{\imath\frac{\omega_{fi}-\omega}2t}t\mathrm{sinc}(\frac{\omega_{fi}-\omega}2t)+V^*_{fi}e^{\imath\frac{\omega_{fi}+\omega}2t}t\mathrm{sinc}(\frac{\omega_{fi}+\omega}2t)\Big|^2}la ``mista'' termo estas ``traskurebla'' kaj oni povas vidi kiel supren ke la probablo de la transiro depenas de la frekvenco $\omega$ en la formo \dm{W_{fi}(\omega)=\frac{2\pi}\hbar\Big(|\bra fV_0\ket i|^2\delta(\E_f-\E_i-\hbar\omega)+|\bra fV_0^*\ket i|^2\delta(\E_i-\E_f+\hbar\omega)\Big)} La unua termo montras la adsorb proceson kiam la dua montras la elmiton stimuligitan pro la fotono.\end{ekzemplo}
\section{Perturbadoj}Si oni havas bone konita \homo{Hamilton}-a $H_0$ pli ia malgranda termo $\lambda V$ kiu oni ne scias solvi oni skribas la perturbataj ond funkcioj kiel sumo de la termoj de la neperturbataj. La \homo{Hamilton}-a estas $H=H^0+\lambda V$ kaj iliajn solvadoj $H_0\ket{\phi_n^0}=\E_n^0\ket{\phi_n^0}$ kaj $H\ket{\phi_n}=\E_n\ket{\phi_n}$ kaj oni volas skribi la perturbata energio kiel sumo de la $\lambda$ potencoj de la neperturbata energio\dm{\E_n=\E^{(0)}+\sum_{i=1}\lambda^i\E^{(i)} \qquad \ket{\phi_n}=\sum_{n=0}\lambda^n\ket{\phi^{(n)}}} $(\E_n-H^0-\lambda V)\ket{\phi_n}=0$\spa$(\E_n -H^0)\ket{\phi_n}=\lambda V\ket{\phi_n}$\spa$\ket{\phi_n}=(\lambda V)/(\E-H^0)\ket{\phi_n}$. Oni volas elekti normaliga\v jon kiu permetas $\braket{\phi^0_n}{\phi_0^n}=1$ kaj $\braket{\phi_n^0}{\phi_n}=1$ mode ke \noto{$\ket{\phi_n}=\sum_i\lambda^i\ket{\phi_n^{(i)}}$}\dm{\ket{\phi_n}=\ket{\phi_n^0}\braket{\phi_n^0}{\phi_n}+\sum_{m\neq n}\ket{\phi_m^0}\braket{\phi_m^0}{\phi_n}=\ket{\phi^0}+\sum_{m\neq n}\Big(\bra{\phi_m^0}\frac{\lambda V}{\E-H^0}\ket{\phi_n}\Big)\ket{\phi_m^0}}$\sum_{m\neq n}\bra{\phi_m^0}\frac{\lambda V}{\E-H^0}\big(\ket{\phi_n^0}+\sum_{l\neq n}\bra{\phi_l^0}\frac{\lambda V}{\E-H^0}\ket{\phi_n}\big)$ do rikorsive:\noto{$\E_i-\E_n^0=\E_i^0-\E_n^0+\lambda V+\lambda^2\ldots=$\\$=(\E_i^0-\E_n^0)\Big(1+\frac{\lambda V+\lambda^2\ldots}{\E_i^0-\E_n^0}\Big)\simeq$\\$\simeq\E_i^0-\E_n^0$}\dm{\ket{\phi_n^0}=\ket{\phi^0}+\sum_{k=1}\frac{\lambda^k \bra{n^0}V^k\ket{n^0}}{(\E-H^0)^k}\ket{\phi^0_n}} La memvaloroj de la energio estos: \noto{$\bra nV^k\ket n=(\bra nV\ket n)^k$}\dm{\E_n=\E_n^0+\lambda\bra{n^0}V\ket{n^0}+\sum_{m\neq n}\lambda^2\frac{(\bra{m^0}V\ket{n^0})^2}{\E_m^0-\E_n^0}+\ldots}
\section{Variacioj Linearaj} Si oni havas interado inter la partikloj, kaze de \homo{Coulomb}-a interadoj inter elektronoj kaj nukleoj, oni povas serci la solvadon kiu minimigas la \homo{Hamilton}-a. \dm{H= \sum_i\Big(-\frac{\hbar\nabla_i}{2m}+V_{ekst}(r_i)\Big)+\frac1\alpha\sum_{i,j|i\neq j}\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0|\vet r_1-\vet r_2|^2}} La \ero{Teoremo Variacionala} oni diras ke por iu ajn stato $\ket \psi$ \dm{ \frac{\bra\psi \op H\ket\psi}{\braket\psi\psi} \geq \E_0} La egaleco valoras sole en la fundamenta stato. Sekvinte la \eroh{Hartree}{Proksimado} oni priskribas la ond fukcion totalan de la sistemo $\ket \Psi$ kiel faktorig\v go de singlaj ond funkcioj \dm{\Psi_{\opl \sigma}(\opl {\vet r})=\opl\psi_\sigma(\vet r)= \opl\psi(\vet r)\opl\xi(\sigma) } Nun oni scias ke la ond funkcio de la fundamenta stato minimigas la \homo{Hamilton}-a mez valoro kiu povas esti reformulita per la nuligo de la variacio de la fundamenta energio $\delta\E_0^H=0$ per \v ciu variacio de la ond fukcio $\delta\phi$. Pluen oni volas poni \homo{Lagrange}-an moltiplikatoron kiu petas la ortonormaleco de la ond fukncio \dm{\delta\Big(\E^H-\sum_{ij}\lambda_{ij}\Big(\int\di^3r\psi^*_{n_i}(\vet r)\psi_{n_j}(\vet r)-\delta_{ij}\Big) \Big)=\\= \delta\Big(\E^H-\sum_{i}\lambda_{i}\Big(\int\di^3r\psi^*_{n_i}(\vet r)\psi_{n_i}(\vet r)-1\Big) \Big) =0} Kie oni havas farita trasformon unecan kiu alportas al diagonala prezento. En la anta\u ua ekvacio oni sobsituas la ond funkcion kun suma variacia termo $\psi\to\psi+\alpha\delta\psi$ kaj plitenas sole la linearaj termoj. \dm{\alpha\Big(\int\di^3r\delta\psi^*_{n_k}(\vet r)\Big(\Big(-\frac{\nabla^2}{2}+\V_{ekst}(\vet r)\Big)\psi_{n_k}+\\+\sum_{j\neq k}\int\di^3r'\psi^*_{n_j}(\vet r')\frac1{|\vet r-\vet r'|}\psi_{n_k}(\vet r)\psi_{n_j}(\vet r) - \E_k\psi_{n_k}\Big)\Big) =0} Tiu valoru por \v ciu $\delta\psi^*$ prefere \dm{\Big(-\frac{\nabla^2}{2}+\V_{ek}(\vet r)+\sum_{j\neq i}\int \di r\frac{\phi_j^*(\vet r)\psi_j(\vet r')}{|\vet r-\vet r'|}\Big)\psi_i(\vet r)=\E_i\psi_i(\vet r) }
\section{Kampa Kvantigo} Oni volas, en tiu sekcio, priskribi sistemon kiel senfina produkto de memstatoj de ia \ero{Hamilton}-a kiuj povas esti okupitaj de partikloj. Oni devas do trovi la operatorojn de kreo kaj detruo kiuj ponu la partikloj en iu memstato. Do oni havos 
\begin{itemize} \item[-] \homo{Hamilton}-a $H$ de la sistemo \item[-] Ond funkcio $\psi(\opl{\vet x})$ ond funkcio de la sistemo faktorigebla en ond funkcioj de singla partiklo $\phi_i(\vet x_i)$ \dm{\psi(\opl{\vet x})=\sum_i^Nc(\oplo \E i ,t)\oplo{\phi_\E}i(\vet x)} Tiu funkcio sub la operatoro de inter\v san\v go $\op P$ priskribu sistemon de \homo{Bose}-oj $(+)$ a\u u \homo{Fermi}-oj $(-)$ \dm{\op P_{ij}\psi(\oplo{\vet x}{ij})=\pm \psi(\oplo{\vet x}{ji})} \item[-] Unu operatoro de kreo $\op a\agx$ kaj unu de detruo $\op a$ kiuj sekvas la sekvantaj al\v gebraj relacioj \dm{[\op a_i,\op a\agx_i]_\pm=\delta_{ij} \qquad [a_i,a_j]_\pm=[a\agx_i,a\agx_j]_\pm=0} Pluen oni povas difini \homo{Hermite}-a operatoro $\op N$ kies memfunkcioj estas la ond funkcioj de singla partiklo. \dm{\op N\agx=\op N\EDef\op a\agx \op a \qquad \op N_i\phi_{\E_n}(\vet x_n)=\op N\ket n=n\ket n}\end{itemize} La kampa kvantigo estus kreita per formado de novaj operatoroj \dm{\op O=\sum_{i,j=1}^\infty a\agx_i\bra i O \ket j a_j}
\subsubsection{Simetrika, Kontra\u usimetrika} Oni havas $N$ partikloj ke oni volas priskribi per faktori\v go de la singlaj ond funkcioj. \dm{\psi(\opl{\vet x},t)=\sum_{\opl \E}c(\opl\E,t)\opl\phi_{\E}(\vet x)} Si oni parolas de \homo{Fermi}-onoj oni devas konsideri ke la memstato $\ket{\E_i}$ povas esti a\u u ne esti okupita kaj la totala ond funkcio $\psi(\opl{\vet x},t)$ devas esti komplete antisimetrika. \par 
\Unu Per la \homo{Bose}-oj la ond funkcio devas esti kompleksive simetrika. Se la memstato $\ket{\E_i}$ havos numero de okupado $\inte n_i$ do la koeficanto $c(\opl\E,t)$ estu egala pro la $1/N!$ inter\v san\v go de partikloj. Se la nivelo $\E_i$ estas okupita por $\inte n_i$ partikloj, kiuj havas la saman ond funkcio, la kalkulo de la multopleco de la koeficanto $c(\opl\E,t)$ estas do:\dm{\sum_{\opl \E @\opl n}^N 1=\frac{N!}{\opl {n}!}} Do noi povas eksprimi $c(\opl\E,t)$, anstata\u u ke per la ebla energioj $\opl E$ per la okupadoj de tiuj niveloj\dm{\sum_{\opl\E} |c'(\opl\E,t)|^2=\sum_{i@\oplo n i}^\infty|c(\opl n,t)|^2\frac{N!}{\opl {n!}}} Si oni volas trovi ond funkcion komplete antisimetrika oni povas vidi ke \dm{\phi_{\opl n}(\opl x)\EDef \sqrt{\frac{\opl {n!}}{N!}}\sum_{\opl\E i @\opl ni}\opl\Phi_{\E_i}(\vet x)\qquad (\phi_{\oplo \E i}(\opl{\vet x}),\phi_{\oplo \E j}(\opl{\vet x}))=\delta_{ij} \qquad \psi = \sum_{\opl ni}^\infty f(\opl n,t)\phi_{\opl n}(\opl{\vet x})} \par 
\Du Per la \homo {Fermi}-oj la stato povas esti sole okupita a\u u ne okupita sed la kalkulo farita supro plitenas \v car $\sum_i\oplo{n!}i=1$. Nun la ondfunkcioj devas esti komplete antisimetrika do si \dm{\psi = \sum_{\opl n}^1c(\opl n,t) \sqrt{\frac{\opl{n!}}{N!}} \sum_{\opl E}-^P\opl\phi_\E(\vet x)=\sum_{\opl n} c(\opl n,t) \phi_{\opl n}(\opl {\vet x})} oni kreas la komplete kontra\u usimetrika funkcio $\phi_{\opl n}(\opl{\vet x})$ kiel \dm{ \phi_{\opl n}(\opl{\vet x})= \sqrt{\frac 1{N!\opl{n!}}}\left|\begin{array}{c c c}\phi_{\E_1}(\vet x_1)&\ldots&\phi_{\E_1}(\vet x_N)\\\ldots&&\ldots\\\phi_{\E_N}(\vet x_1)&\ldots&\phi_{\E_N}(\vet x_N)\end{array}\right|}
\subsubsection{Kampa Operatoroj} Kun la opearotoj de kreo $\op a \agx$ kaj detruo $\op a$ oni povas poni  $n_i$ partikloj en la stato $\E_i$ \dm{\frac{(a\agx_i)^{n_i}}{\sqrt{n_i!}}\ket{\opl 0}=\ket{0_1,,n_i,,0_N}} La operatoro $N_i=a_i\agx a_i$ estas do la operatoro numero departikloj en la nivelo $\E_i$ do $N=\sum_in_i$. La \homo{Hamilton}-a operatoro devas esti fukncio de $a,a\agx$. Nur la ondfunkcioj devenas operatorojn dume la operatoroj skalarojn a\u u diferencialaj kiu komutas kun la kampa operatoroj. \dm{\op\psi(x)=\sum_i\phi_{\epsilon_i}(x)\op a_i \qquad \op\psi(x)\agx=\sum_i\phi^*_{\epsilon_i}(x)\op a_i\agx } La \homo{Hamilton}-a devenas \dm{\op H = \sum_{ij} a_i\agx\bra iT\ket ja_j+\frac12\sum_{ijkl}a\agx_ia\agx_j\bra{ij}V\ket{kl}a_la_k } prefere \dm{\op H = \int\di^3x\op\psi\agx(x)\Big(-\frac{\nabla^2}{2m}+U(x) \Big)\op\psi(x)+\frac12\int\di^3 x\di^3 x'\op\psi\agx(x)\op\psi\agx(x')V(x,x')\op\psi(x)\op\psi(x') } \v Genere si oni volas skribi vektoron en kvampa kvantigo formo oni operas tiel \dm{J(\vet x) \mapsto \sum_{ij}\bra i J\ket j a\agx_ia\agx_j = \sum_{ij}\int\di^3x\psi^*_i(x)J(x)\psi_j(x)a_i\agx a_j}La variablo $x$ povas prezenti la vektoro $\vet x$ a\u u la kvar vektoro $(\vet x,t)$. En la sekvanta priskribo la traktado de la kvarvektoroj ne sekvas la relativeca metriko \v car oni traktos de malrapidaj partikloj. Si oni volas priskribi la ka\u uzan evoluon oni uzas pli bone la \homo{Heisenberg}-a vidado la\u u kiu \dm{\imath\partial_t\op\psi^H(x,t)=\op H\op\psi^H(x,t) \qquad \op\psi^H(x,t) = \espih{-H}\psi^H(x,t)\espih{H} }
\begin{mat}{Green-a Funkcio} Si oni havas diferencialan ekvacion de kiu oni ne konas la solvado $\phi(x)$ por solvi la sekvanta ekvacio \dm{L(\partial_x)\phi(x)=f(x) } kie $L(\partial)$ estas diferenciala operatoro, oni uzas la \homo{Green}-a funkcio difinita per \dm{L(\partial_x',\partial t')G(x',t') = \delta(x')\delta(t') } Ofte oni povas transformi la \homo{Green}-a funkcio en la spaca frekvenca domino por trasformi la diferencialan operatoron $\partial$ en la produkto kun $k$. Finfine por solvi la diferencialan ekvacion oni devas inverti la \homo{Green}-an funkcion. \par Oni povas anka\u u difini la \homo{Green}-a funkcio kiel \dm{ \imath G_{\alpha\beta}(\vet xt,\vet x't')=\frac{\bra{\psi_0}T[\op\psi_{H\alpha}(\vet xt)\op\psi_{H\beta}\agx(\vet x't')]\ket{\psi_0}}{\braket{\psi_0}{\psi_0}} } La \homo{Green}-a funkcio estas tre utila \v car permetas d kalkuli la mez valoron de la operatoro, la fondamentalan  energion kaj la spektro de la ekscito. \v ciu operatoro estas kalkulebla per la \homo{Green}-a. La $\op T$ operatoro estas la operatoro de tempa ordo ke signifas ke la kampa operatoroj devas esti skribita en la korekta tempa ordo, formule \dm{\op T[\op\psi(\vet x,t)\agx\op\psi(\vet x',t')] = \op\psi\agx(\vet x,t')\psi(\vet x',t')\theta(t-t')\pm\psi(\vet x',t')\psi\agx(\vet x,t)\theta(t'-t)} kie $\pm$ [distinguas] inter \homo{Bose}-aj kaj \homo{Fermi}-aj. Si oni havas operatoron $\op j(\vet x)$ de singla partiklo sia koresponda en kvampa kvantigo estas $\op J_{\alpha\beta} =\sum_{\alpha\beta} \op\psi_\beta\agx(\vet x)j_{\alpha\beta}\psi_\alpha(\vet x)$. Uzinte la \homo{Green}-a funkcio oni skribos \dm{\mez {\op J} &=& \frac{\bra{\Psi_0}\op J\ket{\Psi_0}}{\braket{\Psi_0}{\Psi_0}} = \lim_{\vet x'\to\vet x}\sum_{\alpha\beta}j_{\alpha\beta}(\vet x)\frac{\bra{\Psi_0}\op\psi_\beta\agx(\vet x')\op\psi_\alpha(\vet x)\ket{\Psi_0}}{\braket{\Psi_0}{\Psi_0}} \\ &=& \lim_{t'\to t^+}\lim_{\vet x'\to\vet x}\sum_{\alpha\beta}J_{\alpha\beta}G_{\alpha\beta}(\vet xt,\vet x't') =  \pm \imath \lim_{t'\to t}\lim_{\vet x'\to \vet x}tr(J(\vet x)G(\vet xt,\vet x't')) }\end{mat} 
\subsection*{Jelea Modelo} Oni havas elektronoj kaj ionoj de [opposta] \v sar\v go. La elktronoj movi\v gas multe pli facile de la ionoj en ia kubo de lato $L$ en kiu oni uzas la ecojn de traslacia rotacia nevarianco kaj periodik bordaj kondicoj separinte la ond funkcio kiel sumo de la singlaj. \dm{\psi_{{\vet k},\lambda}(\vet x)=V^{-\frac12}e^{\imath\vet k\vet x}\eta_\lambda \qquad \eta_1=\vek{1\\0} \qquad \eta_2=\vek{0\\1} } La \homo{Hamilton}-a estas komponita de kvar partoj: elektrona kinetika termo, interada inter elektronoj, inter elektronoj kaj plusa \v sar\v ga \fremd{bulk}-o kaj la energio de la plusa kontinua [background] \dm{H &=&\sum_{i=1}^N\frac{p_i^2}{2m}+\frac12 e^2\sum_{1\neq j}^N\frac{e^{-\mu|\vet r_i-\vet r_j|}}{|\vet r_i-\vet r_j|}-e^2\sum_{i=1}^N\int\di^3x\frac{\no(\vet x)e^{-\mu|\vet x -\vet r_i|}}{|\vet x-\vet r_i|} \\&+&\frac12e^2\int\di^3x\di^3x'\frac{\no(\vet x)\no(\vet x')e^{-\mu|\vet x-\vet x'}}{|\vet x-\vet x'|} } Oni enmetas la $\mu$ pro elmeti konvergaj problemoj kaj fine oni povas malaperigi tiu parametro en la limito $\mu\to0$ kaj $L\to\infty$ mode ke $L>>\mu$. Pro la traslacia nevarianteco oni kalkulas sur $\vet z = |\vet x-\vet x'|$ kalkulinte la dupla integralo separe kaj de la uniformo distribuo $n(\vet x)=N/V$ oni facile kalkulas la lastaj du termoj
\dm{H_b = \frac12e^2\frac{N^2}{V}\frac{4\pi}{\mu^2} \qquad H_{b-el}=-e^2\frac{N^2}{V}\frac{4\pi}{\mu^2} } Por la unua dua termoj oni devas diverse skribi la operatoroj en kvampa kvantiga formo.  La kinetika esta simpla \dm{\bra{\vet x_1\lambda_1}H_k\ket{\vet k_2\lambda_2}=\frac1{2mV}\int\di^3xe^{-\imath\vet k_1\vet x_1}(-\hbar^2\nabla^2)e^{\imath\vet k_2\vet x_2}\eta_{\lambda_2} = \\ = \frac{\hbar ^2k_2^2}{2mV}\delta_{\lambda_1,\lambda_2}\int\di^3e^{\imath(\vet k_1-\vet k_2)\vet x} = \frac{\hbar^2k_2^2}{2m}\delta_{\lambda_1,\lambda_2}\delta_{\vet k_1,\vet k_2} } La operatoro devenas do \dm{\op H_k = \sum_{\vet k,\lambda}\frac{\hbar^2k^2}{2m}a\agx_{\vet k\lambda} a_{\vet k\lambda} } Por la interada potencialo la kalkulo estas pli longa sed sostance egala kaj pportas al la rezulto: \dm{\op H_el=\frac{e^2}{2V}\sum_{\opl{\vet k},\opl\lambda} \delta_{\lambda_1\lambda_3}\delta{\lambda_2\lambda_4}\delta_{\vet k_1+\vet k_3,\vet k_2+\vet k_4}\frac{4\pi}{(\vet k_1-\vet k_3)^2+\mu^2}a\agx_{\vet k_1,\lambda_1}a\agx_{\vet k_2,\lambda_2}a_{\vet k_4,\lambda_4}a_{\vet k_3,\lambda_3} } Kie $a\agx$ kaj $a$ estas la operatoroj de kreo e detruo \v car la partiklo de momanto $\vet k_1$ kun \fremd{spin} $\lambda_1$ poste la interado havos momanton $\vet k_3$ sine \v san\v go de \fremd{spin} ($\delta_{\lambda_1,\lambda_2}$) dume la $\vet k_2$-a havos $\vet k_4$-on. Kun la le\v go de konservo de la momanto oni renomas la variablojn \dm{\vet q+\vet k\EDef\vet k_1 \quad \vet k\EDef  \vet k_3 \quad \vet p - \vet q \EDef \vet k_2\quad \vet p\EDef\vet k_4} kaj reskribas \dm{\frac{e^2}{2V}\sum_{\vet k\vet p\vet q} \sum_{\lambda_1,\lambda_2} \frac{4\pi}{q^2+\mu^2}a\agx_{\vet k+\vet p,\lambda_1}a\agx_{\vet p-\vet q,\lambda_2}a_{\vet k_4,\lambda_2}a_{\vet k_3,\lambda_3} } Si oni [izolas] la sumon kiu havas $\vet q=0$ (inter\v san\v go de nula momanto) oni povas, uzinte la antikomuta reglo de la \homo{Fermi}-oj riformuli \dm{\frac{e^2}{2V}\frac{4\pi}{\mu^2}\sum_{\vet p,\vet k,\lambda_1,\lambda_2}a\agx_{\vet k,\lambda_1} a_{\vet k,\lambda_1}(a\agx_{\vet p,\lambda_2}a_{\vet p,\lambda_2}-\delta_{\vet k\vet p}\delta_{\lambda_1\lambda_2}) = \frac{e^2}{2V}\frac{4\pi}{\mu^2}(\op N^2-\op N) }$\op N$ estas la operatoro numero de partikloj kiu aldonas c-numero kiu estas en la unua termo egala kaj oposa al la valoro de la kontribuo al la energia donita de la [background] dume la dua nuligas en la termodinamika limito de kiu oni parolis supre.  Oni do volas kalkuli la mez valoron de la energio de la sistemo kiu ne estas analize kalkulebla. Oni do volas elkti la perturbad variablo la\u u kiu devolvigi la proksimado de la kalkulo. Oni do definos \dm{r_0 \EDef \Big(\frac{3V}{4\pi N}\Big)^{1/3}\qquad a_0\EDef\frac{\hbar^2}{me^2} \qquad r_s\EDef\frac{r_0}{a_0} } kiuj estas la media longeco per partiklo, la \homo{Bohr} radio kaj la nedimensia variablo de la devolvo. Oni do reskribas \dm{\op H= \frac{e^2}{a_0r^2_s}\Big(\sum_{\vet k,\lambda}\frac12(r_0\vet k_0)^2a_{\vet k,\lambda}\agx a_{\vet k,\lambda} +\frac{r_s}{2V}\sum_{\vet p\vet k\vet q}^{'}\sum_{\lambda_1\lambda_2}\frac{4\pi}{(r_0\vet q)^2}a_{\vet k+\vet q,\lambda_1}\agx a_{\vet k+\vet q,\lambda_1}\agx a_{\vet p,\lambda_2}a_{\vet k\lambda_1}\Big) } Kie $\sum^{'}$ memorigas ke oni ne sumas plu sur $q=0$. Oni do kalkulos la mez valoro de tiu operatoro sur la baza stato de la sistemo.\\ \ldots \\
Kiel bone konita oni povas kalkuli la mez valoron de operatoro per la interad vidado sur devolvo de ne perturbata stato. \dm{\frac{\bra{\Psi_0^\lambda}\op O_H(t)\ket{\Psi_0^\lambda}}{\braket{\Psi_0^\lambda}{\Psi_0^\lambda}} = \frac1{\bra{\Psi_0^0}U(-\infty,\infty)\ket{\Psi_0^0}}\bra{\Psi_0^0}\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\int_{-\infty}^\infty\di\opl te^{-\lambda\opl t^2}T[\op {\opl H}(t)\op O_I(t)]\ket{\Psi_0^0} } kie oni difinas \dm{\ket{\Psi_H^\lambda}=\ket{\Psi_I^\lambda(0)}=e^{-\lambda|t|}\ket{\Psi_0^0}=\op U_{\lambda}(0,\infty)\ket{\Psi^0_0} } prefere la memstato $\ket{\Psi_0^\lambda}$ estas la fundamenta $\kar_0$ stato de la perturbata \homo{Hamilton}-a $H_\lambda=H_0+\lambda H_1$ dume $\ket{\Psi_0^0}$ estas la memstato de la neperturbata. Je la tempo $t=0$ la perturbado komencas dume malaperas en la limito $\pm\infty$. Kiel supre skribita oni volas kalkuli la \homo{Green}-an funkcion de kiu oni povas kalkuli \v cion mankanta. En la interad vidado oni priskribas la \homo{Green}-an funkcion kiel \dm{\imath G_{\alpha\beta}(\kvet x,\kvet y) = \sum_n(-\imath)^n\frac1{n!}\int_{-\infty}^{\infty}\di\oplo tn \frac{\bra{\Psi_0^0}T[\oplo {\op H_1}n(t)\op\psi_\alpha(\kvet x)\op\psi\agx_\beta(\kvet y)]\ket{\Psi_0^0}}{\bra{\Psi_0^0}U(-\infty,\infty)\ket{\Psi_0^0}} } de kiu si oni volas kalkuli la unajn du termojn oni devas kalkuli \dm{\imath G_{\alpha\beta}(\kvet x,\kvet y)&\simeq&\bra{\Psi_0^0}T[\op\psi_\alpha(\kvet x,\kvet y)]\ket{\Psi_0^0}-\imath\sum_{\nu\nu'\mu\mu'}\int\di^4x_1\di^4x_1'U(\kvet x_1,\kvet x_1')_{\nu\nu'\mu\mu}\cdot\\&&\cdot\frac{\bra{\Psi_0^0}T[\op\psi\agx_\nu(\kvet x_1)\op\psi\agx_\mu(\kvet x_1')\op\psi_{\mu'}(\kvet x_1')\op\psi_{\lambda'}(\kvet x_1)\op\psi_\alpha(\kvet x)\op\psi\agx_\beta(\kvet y)]\ket{\Psi_0^0}}{\bra{\Psi_0^0}U(-\infty,\infty)\ket{\Psi_0^0}} } Tiu kalkulo estis pli simple kalkulebla per la \homo{Wick} {teoremo}. 
\begin{mat}{Wick-a Teoremo, Dyson-a Ekvacio}Oni ne volas paroli pri la demonstron de la teoremo sed oni volas diri ion pri \v gi konsekvencoj. Si oni kalkulas la mez valoron de grandeco oni volonte uzas la \homo{Green}-a funkcio kiu havas kiel denominatoro $\bra{\Psi_0^0}U(-\infty,\infty)\ket{\Psi_0^0}$. La kalkulo de tiuj matricaj elementoj egalas \v ciuj \homo{Feynman} diagramojn dekoneksajn kiuj simpli\v gas kun la dekoneksaj diagramoj de la numeratoro al \v ciu ordo. La kalkulo de la \homo{Green}-a funkcio estas la sole kalkulo de la kontrahi\v go $U--V$ de la operatoroj de kreo $\op\psi^-\ket{\Psi_0^0}$ kaj detruo $\op\psi^+\ket{\Psi_0^0}=0$. La kontrahi\v go eksprimeblas en la diferanco inter la $T$ produkto kiu ordigas la operaratooj poninte ilin en la temp kreskanta ordo kaj la $N$ produkto kiu ordigas al la dekstro la detru operatorojn por nuli\v gi la termo $\bra{\Psi_0^0}N[\op U\op V]\ket{\Psi_0^0}\EDefR0$. De la difino de kontrahi\v go $U--V=T[UV]-N[UV]$ oni povas vidi ke la sekvantaj operatoroj nuli\v gas \dm{\op\psi^{+}--\op\psi^-={(\op\psi^+)}\agx--{(\op\psi^-)}\agx={(\op\psi^+)}\agx--\op\psi^-=\op\psi^+--{(\op\psi^-)}\agx=0 } \v car la rezulto de la $T$ kaj $N$ produkto egalas. Multaj kongtrahi\v gioj nuligas \v car la rezulta \homo{Green}-a funkcio estas la sumo de \v ciaj eblaj kontrahi\v goj. La kontrahi\v go de du operatoroj valoras ne perturbitan \homo{Green}-an funkcion \dm{\op\psi^+(x)--{(\op\psi^+)}\agx(y) \qquad \stackrel{t_x>t_y}{=}\imath G^0(x,y) \qquad \stackrel{t_y>t_x}= 0 \\\op\psi^-(x)--{(\op\psi^-)}\agx(y) \qquad \stackrel{t_x>t_y}{=}0 \qquad \stackrel{t_y>t_x}= \imath G^0(x,y) } Oni havas $n!$ eblaj koneksaj diagramoj kiuj valoras egale \v car ne estas grava la etiketo kiu oni donas al la variabloj ekzepte por la ekstremaj punktoj kiuj ne povas \v san\v gi. La lineo de interado $U(\kvet x,\kvet y)_{\lambda\lambda'\mu\mu'}= V(\vet x,\vet y)_{\lambda\lambda'\mu\mu'}\delta(t-t')$ estas prezentita per onda lineo kaj por \v ciu punkto oni havas enirantan momenton $\kvet k$ kaj eliranta $-\kvet k'$  dume la interado havos $\kvet k''=\kvet k - \kvet k'$. De la alia parto oni havos $\kvet q'' = \kvet k'' = \kvet q -\kvet q'$ en la eniro de la interad lineo. Por kompreni la kalkulo de la \homo{Green}-a funkcio sekvinte la \homo{Wick}-a teoremo oni montras la rezulto de funkcio \v gis la unua ordo \dm{G^{(1)}_{\alpha\beta}(\kvet x,\kvet y)&=&\imath\int\di^4 x_1\int\di^4 x_1'\Big((-1)G^0_{\alpha\lambda}(\kvet x,\kvet x_1)U_{\lambda\lambda'\mu\mu'}(\kvet x_1,\kvet x_1')G^0_{\lambda'\beta}(\kvet x_1,\kvet y)G^0_{\mu'\mu}+\\&&+G^0_{\alpha\lambda}(\kvet x,\kvet x_1)U_{\lambda\lambda'\mu\mu'}(\kvet x_1,\kvet x_1')G^0_{\lambda'\mu}(\kvet x_1,\kvet x_1')G^0_{\mu'\beta}(\kvet x_1',\kvet y)\Big) } En la momenta prezento la \homo{Green}-a funkcio trasformi\v gas en\dm{G^0_{\alpha\beta}(\vet k,\omega)=\delta_{\alpha\beta}G^0(\vet k,\omega)=\delta{\alpha\beta}\Big(\frac{\theta(|\vet k|-k_F)}{\omega-\omega_{\vet k}+\imath\eta}+\frac{\theta(k_F-|\vet k|)}{\omega-\omega_{\vet k}-\imath\eta}\Big) } kaj \v ciu interado kerespondas al la faktoro $U_{\lambda\lambda'\mu\mu'}(\kvet q)=\V_{\lambda\lambda'\mu\mu'}(\vet q)$ si $U$ depenas sole de la diferenco inter la variabloj $U(\kvet x,\kvet y)=U(\kvet x-\kvet y)$. Kiel oni povas vidi en la lasta ekvacio, se la \homo{Hamilton}-a ne depenas de la \fremd{spin} variablo, a\u u oni povas saturi\v gi \v gin oni srribos la ekzakta \homo{Green}-a funkcio per \dm{G_{\alpha\beta}(\kvet x,\kvet y)=G^0_{\alpha\beta}+\int \di^4x_1\int\di^4x_1'G^0_{\alpha\lambda}(\kvet x,\kvet x_1)\Sigma_{\lambda\mu}(\kvet x_1,\kvet x_1')G^0_{\mu\beta}(\kvet x_1',\kvet y) }ke difinas la mem energion $\Sigma$ kaj separas la ekstremaj punktoj de la \homo{Green}-a funkcioj de la aliaj kun kiuj oni ne devas gardi al la \v san\v go inter la punktoj sed sole al la formo de la digramoj kaj la rotacio de la operatoroj kiuj \v san\v gas la signo al plusa termo. De la difino supren donita sole la propraj, prefere la termoj kiuj oni ne povas separi [tagliando] sola partikla lineo, estas gravaj. Diagramoj de tiu tipo nomi\v gas \ero{Mem Energio Propra} $\Sigma^*$ kaj utilas por skribi la mem energion kiel sumo de diversaj ordoj de la mem propra energio. En la prezento de la momentoj  \dm{G(\kvet k)=G^0(\kvet k) + G^0(\kvet k)\Sigma(\kvet k)G(\kvet k) } kiu permetas skribi la \homo{Green}-a funkcio kiel \dm{G(\kvet k)=\frac{1}{(G^0(\kvet k))^{-1}-\Sigma^*(\kvet k)} }kiu estas la \eroh{Dyson}{Ekvacio} kie oni scias ke la inverso de la \homo{Green}-a estas \dm{(G^0(\kvet k))^{-1}=\omega-\omega_{\vet k}^0 } en la \fremd{spin} ne dependa kazo. Oni povas simile difini la \erof{Polarizagxo Propra}{Polariza\v go Propra} $\Pi^*$ kiu estas la \v ciuj diagramoj kiuj ne separigas tran\v cinte interad lineon kaj finas en du interad lineoj. La kompleta interado estas do la sumo de la diversaj ordoj de la propra polariza\v go $\Pi^* = \Pi^{*0}+\Pi^{*1}+\ldots$. Dum la eksakta interado skribi\v gas per la sekvanta \homo{Dyson}-a ekvacio \dm{\V(\kvet q) = \frac{U_0(\kvet q)}{1-\Pi^*(\kvet q)U_0(\kvet q)} } \end{mat} 
Nun estas grava introduki la \eroh{Lehman}{Prezento}n kiu eblas skribi la \homo{Green}-a funkcio en pli simpla formo \v car oni substituas la deriva\v gojn kun la reciprokoj de la tempo kaj la distanco per la \homo{Fourier}-a trasforma\v go. \dm{ \op{\vet P} \EDef \sum_\alpha\int\di^3\op\psi_\alpha\agx(-\imath\hbar\nabla)\op\psi_\alpha(\vet x)=\sum_{\vet k\lambda}\hbar\vet kc\agx_{\vet k\lambda}c_{\vet k\lambda} \qquad -\imath\partial_t\hat = \omega} Oni do trasformas la \homo{Green}-a funkcio en \homo{Heisenberg}-a vidado \noto{$\hbar\omega_n\EDef \E_n-\E$ $\Delta t\EDef t-t'$}\dm{\imath G_{\alpha\beta}(\vet xt,\vet x't') &=& \sum_n \Big(\theta(t-t')e^{-\imath\omega_n\Delta t}e^{\imath\vet P_n(\vet x-\vet x')}\bra{\Psi_0}\op\psi_\alpha(0)\ket{\Psi_n}\bra{\Psi_n}\op\psi_\beta\agx(0)\ket{\Psi_0} +\\&&- \theta(t'-t)e^{\imath\omega_n\Delta t}e^{-\imath\vet P_n(\vet x-\vet x')}\bra{\Psi_0}\op\psi_\beta\agx(0)\ket{\Psi_n}\bra{\Psi_n}\op\psi_\alpha(0)\ket{\Psi_0}\Big) } en la formo trasformita \dm{G_{\alpha\beta}(\vet k,\omega)&=&V\sum_n\Big(\frac{\bra{\Psi_0}\op\psi_\alpha(0)\ket{n\vet k}\bra{n\vet k}\op\psi_\beta\agx(0)\ket{\Psi_0}}{\omega-\omega_h+\imath\eta}+\\&&+\frac{\bra{\Psi_0}\op\psi_\beta\agx(0)\ket{n-\vet k}\bra{n-\vet k}\op\psi_\alpha(0)\ket{\Psi_0}}{\omega+\omega_n-\imath\eta} \Big)} Tiu prezento estas tre grava \v car montras la ecoj de la sistemo. Oni difinas \dm{\omega_n = \E_n(N+1)-\E(N+1)+\E(N+1)-\E(N) \EDefR \E^{ek}_n(N+1) - \mu} kiu pli klare montras la energio de ekscito de la sistemo de $N+1$ partikloj al la nivelo $n$ $\E^{ek}_n(N+1)$ kaj la \v hemia potencialo $\mu$ kiu estas la energio aldonita al la sistemo si oni enmetas partiklo de tiu speco. Oni kosideras la \v hemia potencialo preska\u u egala tamen se $\mu(N+1)=\mu(N) + O(N^{-1})$ kaj oni scias ke je la nula temperaturo pro la \homo{Pauli} principo la \v hemia potencialo egalas la \homo{Fermi} energio. $G$ estas a $2\times 2$ matrico kaj oni povas eksprimi \v gin en termoj de la \homo{Pauli} matricoj $\vet \sigma$. En tiu formo oni povas priskribi la unuan termon de la \homo{Green}-a funkcio  kiel la $N+1$ partiklo sur la $\E_F$ nivelo de $N$ partikloj kiu havas energio de ekscito $\E^{ek}_k-\E_F=(k^2-k_F^2)/2m$. La matrico elemento havas do formo \dm{\bra{\Psi_0}\op\psi_\alpha(0)\ket{n\vet k}\bra{n\vet k}\op\psi\agx_\beta(0)\ket{\Psi_0}\to \frac{\delta_\alpha\beta}\theta{k-k_F}{V} } La dua termo prezentas anstata\u ue sistemon de $N-1$ partikloj, prefere ke truo pasas sub la $\E_F$ nivelon kiu donas diferenco de energia nivelo de $(k_F^2-k^2)/2m$ kaj matrica elemeto $\theta(k_F-k)$. En tiu formo la \homo{Green}-a funkcio estas meromorfa funkcio kun la diferenca energio inter la \v hemia potencialo e la energio de la ekscito kiel poloj. 
\section{Ringa Proksimado} La kalkulo de intera\v ganta sistemo estas \v ciam dificila sed oni povas fari proksimadon kiu bone plivaloras la sperimentalan daton. Oni faros pesajn proksimadojn kiuj estas: \Unu sistema ond-funkcio faktorigebla en sigla partiklo ond funkcio (\homo{Hartree-Fock} proksimado) \Du Potencialo isotropa, \fremd{spin}a kaj tempa nedependa kaj depenanta de la sola diferenco de koordinatoj $\V(\kvet x,\kvet x') = \V(\vet  x-\vet x')\delta(t-t')$ \Tri La potencialo estas malgranda \v car grandas kiel la kupla\v go kostanto $\epsilon$. \par
De tiu oni povas skribi la mez valoron de la potencialo kiel \dm{\mez\V&=&\frac12\int\di^3\di^3x'V(\vet x-\vet x')\mez{\op\psi_\alpha\agx(\vet x)\op\psi_\beta\agx(\vet x')\op\psi_\beta(\vet x')\op\psi_\alpha(\vet x)}\\&=&\frac12\int\di^3x\di^3x'\V(\vet x-\vet x')(\mez{\op n(\vet x)\op n(\vet x')} -\delta(\vet x-\vet x')\mez{\op n(\vet x)}) } kiu al ni sugesti de difini funkcion \noto{$\tilde n(\vet x)\EDef \op n(\vet x)-\mez{\op n(\vet x)}$}\dm{\imath D(\kvet x,\kvet x')=\frac{\bra{\Psi_0^\lambda} T[\tilde n(\kvet x)\tilde n(\kvet x')]\ket{\Psi_0^\lambda}}{\braket{\Psi_0^\lambda}{\Psi_0^\lambda}} } kiu estas la polariza\v ga operatoro kiu estas utila por kalkuli \dm{\mez{\op\V}=\bra{\Psi_0^0}\op\V\ket{\Psi_0^0}+\frac12\int\di^3x\di^3x'\V(\vet x-\vet x')[\imath D(\kvet x,\kvet x')-\imath D^0(\kvet x,\kvet x')] } La energio de la sistemo estas priskribebla per la perturbata proksimado. Oni konsideras la \homo{Hamilton}-a kiel $H\EDef H_0+\lambda\V$ de kiu la variado de la energio estas \noto{$\braket{\Psi_o^\lambda}{\Psi_0^\lambda}\EKon 1$} \dm{\partial_\lambda \E =\E\partial_\lambda(\braket{\Psi_0^\lambda}{\Psi_0^\lambda}) +\bra{\Psi_0^\lambda}\partial_\lambda\op\V\ket{\Psi_0^\lambda} = \bra{\Psi_0^\lambda}\partial_\lambda\op\V\ket{\Psi_0^\lambda} } kiu oni donas la formulo \dm{\E - \E_0 = \int_0^1\frac{\di\lambda}{\lambda}\bra{\Psi_0^\lambda}\lambda\op\V\ket{\Psi_0^\lambda} } La dekstra parto de la ekvacio oni nomi\v gos \ero{Energio Korrelada} kiu eksprimos en \homo{Fourier}-a prezento\dm{\E_{kor}=\frac12\frac{V}{(2\pi)^4} \int\frac{\di\lambda}{\lambda}\int\di^4q\lambda\V(\vet q)[\imath D^{\lambda}(\kvet q)-\imath D^0(\kvet q)] } Oni povas vidi ke la polariza\v ga propagatoro al la nula diagramas en du partiklaj lineoj klusas inter ilin. \dm{D^0_{\alpha\beta}(\kvet x,\kvet x')=-\imath G^0_{\alpha\beta}(\kvet x,\kvet x')G^0_{\alpha\beta}(\kvet x',\kvet x) \qquad D^0_{\alpha\beta}(\kvet q)=-\frac{\imath}{(4\pi)^4}\int\di^4qG^0_{\alpha\beta}(\kvet k)G^0_{\beta\alpha}(\kvet q+\kvet k)} kiu estas egala al la polariza\v go $\Pi^*$. \par 
De tiu oni povas kalkuli la mez valoro de la \homo{Coulomb}-a potencialo en la sekvantaj pasoj. Oni povas vidi ke al la unua ordo la \v ciuj interad lineoj kiuj ne portas momenton nulas \v car $\V(\kvet q=0)=0$ kaj ne portas momenton la lineo kiu konktigas la \homo{Fermi}-a ringoj $G^0(\kvet x,\kvet x^+)$. La aliaj termoj estas la ringa termo al la dua ordo \dm{\E_2^r=\frac12\frac V{(2\pi)^4}\int_0^1\frac{\di\lambda}\lambda\int\di^4[\lambda U_0(\kvet q)\Pi^0(\kvet q)] } kaj la unua ordo propraj polariza\v goj kiuj oni povas vidi kiu estas finitaj. La ringa energio estas en la {\it ringa proksimado} $\Pi^*=\Pi^0$ \noto{$\sum_{n=2} x^n = x^2\sum_{n=0}x^n=\frac{x^2}{1-x}$ per $x<1$} \dm{\E_r&=& \sum_{n=2}^\infty\E_n^r=\frac12\frac{V}{(2\pi)^4}\int_0^1\frac{\di\lambda}\lambda\int\di^4q\frac{(\lambda \V_0(\kvet q)\Pi^0(\kvet q))^2}{1-\lambda\V_0(\kvet q)\Pi^0(\kvet q)}} kiu kompligi la skribon sed forpreni la diver\v gencon al $\kvet q=0$. Oni devus nun kalkuli la polariza\v jon kiel konvoluo de du \homo{Green}-aj funkcioj en \homo{Fourier}-a prezento \dm{\Pi^0(\kvet q)=\frac2{(2\pi)^3}\int\frac{\theta(|\vet q+\vet k|-k_F)\theta(k_F-k)}{q_0+\omega_{\vet k}-\omega_{\vet q+\vet k}+\imath\eta} - \frac{\theta(k_F-|\vet q+\vet k|)\theta(k-k_F)}{q_0+\omega_{\vet k}-\omega_{\vet q+\vet k}-\imath\eta} \di^3k} kiu estas longa kaj laborema kalkulo. Oni volas nur diri ke tiu kontribuo donas kontribuo al la energio \dm{\frac{\E_{korr}}{N}= \frac{e^2}{2a_0}\Big(\frac2{\pi^2}(1-\ln 2)\ln r_s - 0.094+O(r_s\ln r_s)\Big) \qquad r_s\to 0} Si oni havus farita la \v ciujn kalkulojn oni havos obtenita per la \v jelea modelo \dm{\frac{\E}{N}\stackrel{r_s\to0}=\frac{e^2}{2a_0}\Big(\frac{2.21}{r_s^2}-\frac{0.916}{r_s} + \frac2{\pi^2}(1-\ln 2)\ln r_s - 0.094 + O(r_s\ln r_s)\Big) }