\begin{chapter}{Materia Strukturo}
Poste \v generala priskribo de la konceptoj de la kvantuma kaj statistika mekaniko oni volas spcifike priskribi la kazo en kiu trovi\v gas la natura elementoj kun \v cia proksima\v joj repetitaj. 
\begin{section}{Notacioj}
Kaze, oni povas voli marki\v gi plu la grandecaj ordoj ke la dimensionoj de la grandecoj kiuj estas ofte klaraj. Do nu introdukas la \ero{atomaj unecoj} la\u u kiuj
\begin{table}[h]\makebox[\textwidth]{  $c=\hbar=e=m_e=1$ \\ $\E_0 = \frac12 u \quad u = 27 eV$ \\ $\epsilon_0 = \frac1{4\pi}$}\end{table}\\
Por pli bone kompreni la grandecoj uzitaj oni eksprimas \v ciu valoro por sia koresponda energio (en la fekse\v gara uneco la $eV$) ekzistante \v ciam ia relacio kiu koniugas la duojn, tiel: 
\begin{table}[!h]\begin{center}\makebox[\textwidth]{ $\stackrel{[eV\cdot THz]}{4136}\nu\ENum h\nu=$ $\E$ $=\frac{hc}\lambda \ENum \stackrel{[eV\cdot nm]}{1240}/\lambda\qquad$ \nul $\qquad \E=k\T \ENum \stackrel{[eV/K]}{8.614\cdot10^{-5}}\T$ }\caption{Atomaj Kostantoj}\label{Atomaj Kostantoj}\end{center}\end{table} \\Por kompreni la grandeca ordo la lumo ru\v ga estas $\lambda\ENum 700[nm]$\spa$\E\ENum1.6[eV]$\spa$\nu\ENum500[THz]$\spa$\T\ENum 2'400 [K]$ kaj tia violkolora $\lambda\ENum 450[nm]$\spa$\E\ENum3.2[eV]$\spa$\nu\ENum667[THz]$\spa$\T\ENum 3'200 [K]$ 
\par Oni uzos la sekvantaj notacioj: ia ond funkcio de la idro\v gena modelo estas notagita per $\Psi(x,y,z)$. Tia solucio estas faktorigebla en \begin{displaymath}\Psi(x,y,z)=R_{\opl {\nat n},\opl {\inte l}}(\ra)Y_{\opl {\inte m}}^{\kar \opl {\inte l}}\pola\chi_{\opl {\sinte s}}\end{displaymath} kie $R_{\opl n,\opl m}$ estas la funkcioj radia depeno, $Y_{\opl m}^{\kar \opl l}$ la sfer armonikaj kaj $\chi$ estas fukcio de spin kaj povas esti $\uparrow$ ($\hbar/2$) a\u u $\downarrow$ (-$\hbar/2$). \par Iu atoma konfigurado estas priskribita per \begin{displaymath} \opl{\nat n}\rule{1ex}{0pt}\opl{\inte l}^{\nat e}\end{displaymath} a\u u la valoro de la lasta \v selo okupita (nobla gaso) plus la \v seloj ne plene okupitaj. $\nat n$ precipe numeras\footnote{skribita per naturalaj numeroj a\u u leteroj $K$, $L$, $M$ \ldots}, $\inte l$ estas la angulara momanta numero\footnote{skribita per $s$ {\it sharp}, $p$ {\it principal},$d$ {\it diffuse}, $f$ {\it fundamental}} kaj $\nat e$ numeras la elktronoj kiuj okupas numeron permesitan de la degenero de tiu stato. \par En la optikaj transicioj oni uzos la \ero{Notacio Spektroskopa} por multaj elektronaj atomoj en kiu oni konsideras sole la elektronoj de valento, tiu ke ne \v ceestas en \v selo plene okupita, kaj kalkulas la kopleksivaj numeroj tiel $\sinte S$ de spin-a multobleco $\nat L$ de angula momanto kaj $\sinte J$ de totala momanto $\nat L+\sinte S$ skribante \begin{displaymath} \nul^{2\sinte S+1}\nat L_{\sinte J}\end{displaymath}\end{section}
\section{Korektantaj Termoj (Maldisa Strukturo)} Ia modelo de la idro\v gena atomo devas konsideri diversaj termoj kiu korektas pli bone la konduto rilate al la esperimentaj valoroj.\par 
La unua aspekto ke oni volas konsideri estas la interacio spin-orbito.
\subsection{Spin-orbito interacio} La rotanta elektrono vidas kampon \v generitan pro la rilata movo de la nukleo \v cirka\u ue $\vet B = \vet E\times\vet v /c$. $V(\vet r)$ estu la potencialo de centra kampo: $V(\vet r)=1/\vet r$ en atomaj unecoj. La kampo rizulta estas $\vet E(\vet r)=1/r\partial_rV(r)\vet r$. La energio de ia magnetik dipolo kun magnetik kampo estas $\E = -\vet \mu\cdot\vet B$ do \begin{displaymath}H_{SO} = -\frac12\vet \mu_S\cdot\vet B(\vet r)=\frac1 {2r} \frac{\partial V}{\partial r}\vet l\cdot\vet s\end{displaymath} kie la faktoro $1/2$ estas la relativeca korektado de Thomas. Oni devas kalkuli \begin{displaymath} \bra{\nat n',\inte l',\inte m',\inte s'}H_{SO}\ket{\nat n,\inte m,\inte l,\inte s}\end{displaymath} kiu dificile kalkulantas pro la ne komutatebleco inter $\vet l\cdot\vet s$ kaj $\vet l$ a\u u $\vet s$. Sed la kontribuo de tia termo ne kuntenas la kvant numeron $\nat n$, $\inte l$ \v car la korektado elportas la de\v genero de la kvant numeroj $\inte m$ kaj $\inte s$. Oni do priskribas la \homo{Hamilton}a kun la perturbata metodo. \begin{displaymath} \bra{\nat n',\inte l',\inte m',\sinte s'}H_{SO}\ket{\nat n,\inte m,\inte l,\sinte s}=\E'_{\nat n,\inte l} \bra{\inte m',\sinte s'}\vet l\cdot \vet s\ket{\inte m,\sinte s}\big|_{\nat n,\inte l}\end{displaymath} Pro idro\v genaj atomoj $1/\ra\partial_{\ra}V = Ze^2/2m^2c^2r^3$ do oni povas finfine kalkuli \begin{displaymath}\E_{SO} = \frac{\nat Z e^2}{2m^2c^2}\stackrel{|\vet s|}{(\hbar/2)}\stackrel{|\vet l|}{(\inte l\hbar)}\bra{\nat n,\inte m,\inte l}\frac1{r^3}\ket{\nat n,\inte m,\inte l}\end{displaymath} Sciante la mez valoro $\mez{r^{-3}}$ en la kvantuma sekcio oni povas obteni \begin{equation} \E_{SO} \simeq \frac{\inte Z^4e^2\hbar^2}{4m^2c^2a_0^3n^3(\inte l+\frac12)(\inte l + 1)} = |\E_n|\Big(\frac{Z^2}{2\nat n(\inte l+1)(\inte l+1/2)}\Big)\alpha^2\end{equation} kie $\alpha$ estas la kostanto de fina strukturo a\u u $e^2/\hbar c\ENum1/137$. $\E_{SO}$ estas do multe pli malgranda de $\E_n$ kaj permetas la perturbata priskribo. 
\subsection{Relativeca Unua Korektado} Oni havas alian termon kiu formovi la degeneron de la $\natu$ statoj kiu aperas de relativeca konsidero. Kiel supren $\E^2 = p^2 +m^2$\spa$T = \E-m=\sqrt{m^2+p2}-m=m(1+p^2/m^2)-m=m(1+p^2/2m^2-p^4/8m^4+\ldots)-m=p^2/2m-p^4/8m^3$. Nu oni kalkulas $\mez{p^4/8m^3}$ \noto{$\frac{\op p^2}{2m}=\op H_0 + \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0\op r}$} \begin{displaymath}\bra{\psi_\natu}-\frac{\op p^4}{8m^3}\ket{\psi_\natu}=-\frac1{2m}\bra{\psi_\natu}\Big(\frac{\op p^2}{2m}\Big)^2\ket{\psi_\natu}=-\frac1{2m}\bra{\psi_\natu}\Big(\op H_0+\frac{\nat Z}{\op r}\Big)^2\ket{\psi_\natu}=\end{displaymath}\begin{displaymath}\nul\qquad=-\frac1{2m}\Big(\E_n^2+2\nat Z\mez{1/r}+\nat Z^2\mez{1/r^2}\Big)=-\E_n(\nat Z\alpha)^2\Big(\frac34-\frac\natu{l+1/2}\Big)\end{displaymath} kaj $\alpha^2\ENum 1/137^2$ montras la perturbata aprosimebleco.
\section{Atoma Vektora Modelo}
La\u u la vektora modelo oni volas priskribi la statojn de la totala angula momanto $\sinte J$ kosiderinte la sumon de \v ciam angula momanto \v ceestas en la atomo. Oni povas sumi du orbit momentoj angulaj obteninte $\vet l_1+\vet l_2=0,1,2\hbar$
\marginpar{\begin{bildo}\put(.2,0){\vector(0,1){.5}}\put(0,.6){$\vet l_2$}\put(.2,.5){\vector(0,1){.5}}\put(0,.1){$\vet l_1$}\put(.3,0){\vector(0,1){1}}\put(.3,.6){$\vet L$}\put(.8,0){\vector(-1,2){.2}}\put(.6,.1){$\vet l_1$}\put(.8,0){\vector(1,2){.2}}\put(.9,.1){$\vet l_2$}\put(.6,.4){\vector(1,0){.4}} \put(.75,.5){\vector(0,1){.5}}\put(.55,.7){$\vet l_1$}\put(.85,1){\vector(0,-1){.5}}\put(.9,.7){$\vet l_2$}\end{bildo}} dume pro la angula momantoj de spin $\vet s_1+\vet s_2= 0,1\hbar$ 
\marginpar{\begin{bildo}\put(.2,.3){\vector(0,1){.25}}\put(0,.6){$\vet s_2$}\put(.2,.55){\vector(0,1){.25}}\put(0,.4){$\vet s_1$}\put(.3,.3){\vector(0,1){.5}}\put(.3,.6){$\vet S$}\put(.75,.25){\vector(0,1){.25}}\put(.55,.35){$\vet s_1$}\put(.85,.5){\vector(0,-1){.25}}\put(.9,.35){$\vet s_2$}\end{bildo}} 
La kvanta numero $\sinte J$ karakteri\v gas la subnivalaj multoblaj statoj. La numero de la subnivela multoblo estas la natura numero kiu alportas $|\inte L-\sinte S|$ al $\inte L+\sinte S$ a\u u $2\sinte S + 1$ si $\sinte S$ estas la pli granda. 
\marginpar{\begin{bildo}\put(.5,0){\vector(-1,1){.3}}\put(.1,.1){$\vet S$}\put(.8,.6){\line(-1,1){.3}}\put(.5,0){\vector(1,2){.3}}\put(.7,.1){$\vet L$}\put(.2,.3){\line(1,2){.3}}\put(.5,0){\vector(0,1){.9}}\put(.52,.4){$\vet J$}\qbezier(.2,.3)(.5,.2)(.8,.3)\qbezier(.2,.3)(.5,.4)(.8,.3)\qbezier(.2,.6)(.5,.5)(.8,.6)\qbezier(.2,.6)(.5,.7)(.8,.6)\end{bildo}}
\subsection{Parigo}La parigo orbito-spin alportas fenomenon de precesiono \v car sole $\sinte J$ kaj $\inte M_{\sinte J}$ estas la unikaj vektoroj fiksaj sine magnetik kampo. De $\op H_{so}=\xi_{\inte L\sinte S}\op L \cdot\op S$\spa$-\partial_{\theta}\op H_{so}=-\xi\partial_\theta|\op L||\op S|\cos\theta=\xi|\op S||\op L|\sin\theta=\xi\op S\times\op L$ kaj $\op L\times\op L=\op S\times\op S=0$ do \begin{displaymath}\op {\dot L}=\xi\op J\times\op L \qquad \op{\dot S}=\xi\op J\times\op S\end{displaymath} Pro la parigo spin--spin $c_{12}\op s_1\op s^2=c_{12}(\op S^2 - \op s_1^2 - \op s_2^2)/2 = c_{12}\big(\sinte S(\sinte S+1)-6/4\big)/2$ Dume por la orbitaj $b_{12}\op l_1\op l^2=c_{12}(\op L^2 - \op l_1^2 - \op l_2^2)/2 = c_{12}\big(\inte L(\inte L+1)-\inte l_1(\inte l_1 +1) - \inte l_2(\inte l_2+1)\big)/2$ Do \begin{displaymath}\xi_{\inte L\sinte S}\op L\cdot\op S=\xi_{\inte L\sinte S}/2 \big(\sinte J(\sinte J +1)-\inte L(\inte L+1)-\sinte S(\sinte S+1)\big)\end{displaymath} Do la diseco inter su statoj \v san\v gas de la kvanteco \begin{displaymath}\Delta = \xi_{\inte L\sinte S}(\sinte J + 1)\end{displaymath}nomata \ero{Lande-a Regla de la iIntervalo}. 
\subsection{Sub Magnetika Kampo}
Si oni ponas iu magnetika kampo pro la movo de la \v sar\v go la totala angula momanto devas precedi \v cirka\u ue la direkcio de la magnetik kampo. Oni volas do serci la a\u utovaloroj de la magnetik kampo a\u u la akcio de la operatoro $\op \mu_J\cdot\op B$ kie $\mu_J$ estas la koresponda dupola momanto de $J$ prefere $\op \mu_J=-M_Bg\op J$. $\op \mu_L=-M_B\op L$\spa$\mu_S=-2M_S\op S$. 
\marginpar{\begin{bildo}\put(.5,0){\vector(-1,1){.3}}\put(.1,.1){$\vet S$}\put(.8,.6){\line(-1,1){.3}}\put(.5,0){\vector(1,2){.3}}\put(.7,.35){$\vet L$}\put(.2,.3){\line(1,2){.3}}\put(.5,0){\vector(0,1){.9}}\put(.52,.4){$\vet J$}\qbezier(.2,.3)(.5,.2)(.8,.3)\qbezier(.2,.3)(.5,.4)(.8,.3)\qbezier(.2,.6)(.5,.5)(.8,.6)\qbezier(.2,.6)(.5,.7)(.8,.6)\put(.5,0){\vector(2,3){.6}}\qbezier(.5,.9)(.85,.5)(1.3,.3)\qbezier(.5,.9)(1.05,.7)(1.3,.3)\put(.8,.7){$\vet B$}\end{bildo}}
\begin{displaymath}\mu_J=\Big(\mu_L\cos(\widehat{LS}) + \mu_S\cos(\widehat{LS})\Big)\frac{-\vet J}{J}\end{displaymath} $\cos(\widehat{LJ})=\big(\inte L(\inte L+1)+\sinte J(\sinte J+1) - \sinte S(\sinte S+1)\big)/(2\sqrt{\inte L(\inte L+1)}\sqrt{\inte J(\inte J+1)}$\spa$\cos(\widehat{SJ})=\big(\inte S(\inte S+1)+\sinte J(\sinte J+1) - \sinte L(\sinte L+1)\big)/(2\sqrt{\inte S(\inte S+1)}\sqrt{\inte J(\inte J+1)}$ do \begin{displaymath}g =1+\frac{\sinte J(\sinte J+1)+\sinte S(\sinte S+1)-\inte L(\inte L+1)}{2\sinte J(\sinte J+1)}\end{displaymath} Kie $g$ estas la \ero{Land'e Faktoro}.
\section{Interadoj}
\subsection{Elektromagnetika Ondo}
\dm{\frac{e}{m}\vet A(r,t)\cdot\vet p}
$\vet A$ estas skribebla kiel:\noto{$\hat\epsilon\cdot\vet k=0$}\noto{$A_0^2(\omega)=\frac{2I(\omega)}{\epsilon_0c\omega^2}$}\dm{\vet A(\ra,t)=A_0(\omega)\frac{\hat \epsilon}2\Big(e^{\imath(\vet k\vet\ra - \omega t)}+e^{-\imath(\vet k\vet\ra-\omega t)}\Big) \qquad \vet p=-\imath\hbar\nabla} Oni povas kalkuli \dm{|V_{ba}|^2=\frac{e\hbar^2}{m^2}|\bra be^{\imath\vet k\vet \ra}\hat \epsilon \nabla\ket a|^2\frac{A_0^2}4} Sciante ke $\vet p=m\dot \ra=m\imath/\hbar[H_0,\ra]$ oni povas eksprimi \dm{\bra b\nabla\ket a=-\frac\imath\hbar\bra b\op p\ket a=-\frac{m}{\hbar^2}\bra bH_0\ra -\ra H_0\ket a=-\frac m{\hbar^2}\bra b\E_b\ra-\ra\E_a\ket a=\frac{m\omega_{ba}}{\hbar e}\bra b\op D \ket a} kie \noto{$\op D$ dipola momanto}\dm{\omega_{ab}\EDef\frac{\E_a-\E_b}{\hbar}\qquad \op D\EDef-e\ra} \par
La grandeco de tiuj koeficantoj estas \dm{w_{ba}=\frac{2\pi}{\hbar^2}\Big(\frac {e\hbar}m\frac{A_0}2\Big)^2|\bra b e^{\imath\vet k\vet r}\hat\epsilon\nabla\ket a|^2\delta(\omega_{ba}-\omega)} $M^*_{ba}=\bra b e^{-\imath\vet k\vet r}\hat\epsilon\nabla\ket a=-M_{ab}$ do $w_{ab}=w_{ba}$. La pasa\v jo inter la \v stato $a\to b$ estas nomata {\bf Radiado de Elmito Stimulita} tiam la pasa\v jo de la \v stato $a$ al la $b$ per la radiado estas la {\bf Probableco de Adsorbo}. Se la lumo estas polarigita la koeficanto havas termon $\cos^2(\widehat{\epsilon\vet A})$ [altimenti] $1/3$ per \v ciu direkcio.\par 
La {\bf Koeficanto de Elmito Nature} estas \dm{w_{ba}^{nat}=\frac{32\pi^3\nu_{ab}^3}{3c^3\hbar}|M_{ba}|^2} Tiuj tri koeficantoj estas la \eroh{Einstein}{Koeficanto}-j\par
Pluen, oni povas difini la \ero{Urta Sekcio de Adsorbo} \dm{S_{ba}=\frac{w_{ba}}{\no(\omega)c}=\frac{w_{ba}}{I(\omega)}\hbar\omega=\frac{4\pi^2}{m^2c}\frac {e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac1\omega|M_{ba}|^2\delta(\omega_{ba}-\omega)}
Nun oni povas solvi tia ekvacio kun diversaj proksima\v j gradoj.
\subsubsection{Dupola Proksima\v jo} 
\dm{e^{\imath\vet k\vet \ra}=\sum_n \frac{(\imath\vet k\vet \ra)^2}{n!}} haltigante al la unua korektado $e^{\imath\vet k\vet \ra}\stackrel{\text{dup}}{=}1$ oni devas kalkuli $\bra b\hat \epsilon\op D\ket a$ por obteni \noto{$\E_0=\frac{e\hbar}{m}\frac{A_0}{2}$}\dm{w_{12}=\frac\pi{2\hbar^2}(\E_0\bra f-e\vet \ra\ket l)^2\delta(\omega_{21}-\omega)}Nun oni volas kalkuli la matrica elemento  de la eletrik dipolo kaj trovi la \ero{Reglo Selekcia Dupola}. La\u u la radia termo la integralo donas \dm{\bra m\sum_lq_l\ra_l\ket n=\int\psi^*_m\sum_lq_l\ra_l\psi_n\di V\neq0 \quad \Rightarrow \quad \Delta n\neq0} Oni devas kalkuli la angulajn termojn \dm{\int_0^\pi\int_0^{2\pi}{Y^*}_{l_2}^{m_2}\begin{array}{c}\sin\theta\cos\phi\\\sin\theta\sin\phi\\\cos\theta\end{array}Y_{l_1}^{m_1}\di\cos\theta\di\phi} a\u u\begin{eqnarray*}\bra{l_2m_2}\frac x\ra\ket{l_1m_1}&=&\bra{l_2,m_2}\sin\theta\ket{l_1m_1}\bra{m_2}\cos\phi\ket{m_1}=\delta_{l_2,l_i\pm1}\delta_{m_2,m_1\pm1}\\ \bra{l_2m_2}\frac y\ra\ket{l_1m_1}&=&\delta_{l_2,l_1\pm1}\delta_{m_2,m_1\pm1}\\\bra{l_2m_2}\frac z\ra\ket{l_1m_1}&=&\delta_{l_2,l_1\pm1}\delta_{m_2,m1} \end{eqnarray*} de kiuj la regla selekcio $\Delta l=\pm1$\spa$\Delta m=0,\pm 1$.
\subsubsection{Kvarpola Proksima\v jo}
\dm{H'_{rad}=\frac{\hbar e}{mc}\nabla\vet A_0\vet k\cdot\vet\ra}
Estas solvebla kun la komponantoj de ia tensoro kiu havas termojn de la angula momanto ($-\imath\hbar (x_i\partial_{x_j}-x_j\partial_{x_i})$) kaj duplaj valoroj ($-ex_ix_i$). La unuaj termoj estas similaj al tiuj de la interado kun la magnetik kampo priskibita per la hamiltona termo $H_{mag}=-\vet\mu\cdot\vet B$ kaj donas la selekcian reglon havebla por la uzo de la operatoroj $L_x$, $L_y$ kaj $L_z$ sur la ond funkcio de la idro\v gena atomo ($\Delta l=0, \Delta m=0,\pm1$). La efekto estas de la ordo de \dm{\frac{eE\bra f r\ket i}{\frac{eB}{2mc}\bra fL\ket i}=\frac{a_0E}{\frac\hbar{mc}B}\ENum0.5\cdot10^{-6}}La duaj estas ekspimeblaj per la \homo{Hamilton}-a termo $H=1/2\nabla\vet E$ kiu havas termon $e\vet \ra\vet\ra$. Notante ke la operatoro de kvarpolo estas para sub inversio de la koordinatoj oni povas obteni la aliaj regloj de selekcio ($\Delta l=0,\pm2$ kaj $\Delta m=0,\pm 1,\pm2$). La ordo de tiu interado estas kvantigebla en \dm{\frac{eE\bra f\ra\ket i}{2\pi/\lambda Ee\bra f\ra\ra\ket i}\simeq\frac\lambda{a_0}\frac1{2\pi}\ENum10^{-7}\text{pro}\lambda\ENum500[nm]} La magnetik dupola a\u u elektik kvarpola estas pli favorita en la ionigitaj atomoj \v car estas frekvence vidi tiujn transirojn en la nebuloj kaj en la [aurora boreale].
\subsubsection{Largeco Riga}
\subsection{Magnetika Interado}
\subsection{Interado kun Libera Partiklo}

\end{chapter}
