\begin{chapter}{Ondoj}
\section{\v Generalecoj} La \ero{Ondo} estas la solvado de la eliksa diferenciala ekvacio $\square\psi(\vet x,t) = 0$ kie $\square$ estas la \erof{DAlambert}{D'Alambert $\square$} ke oni povas konstrui sekvinte la priskribo de la ondo sur kordo. La tensio al la du kapoj de la kordo estas egala, se oni volas koni la vertikalan komponanton $\hat z$ ene intervalo $z,z+\Delta z$ oni scias ke la diferenco inter la forcoj estas \dm{\Delta F = T\sin\theta-T\sin\theta'\simeq T\Big(\De z\psi\Big|_{z+\Delta z} - \De z\Big|_z\Big) \simeq T\Dee z\psi\Delta z\qquad F\EHip m\ddot \psi} de tiu oni povas solvi separe la ekvacio la\u ue la tempo kaj la\u ue la spaco. \noto{$m=\mu\Delta z$}\dm{\Dee t\psi = \frac{T\Delta z}{m}\Dee x\psi \qquad \square\psi = \Big(\Dee t - \frac1{v^2}\Dee x\Big)\psi = 0} $\mu$ estas la denseco lienara de la kordo kaj $v$ la rapideco de la propagado. Anak\u u la presiona kaj la elektromagnetika ondo havas la saman [comportamento] dume la \homo{Schr\"odinger}-a ond ekvacio solvas la parabolan diferencialan ekvacion. La ond ekvacio $\square \psi=0$ estas solvita de \v ciuj ondoj de la formo $\psi(\vet x,t) = \psi(\vet kx\pm\omega t)$ kie $\omega$ estas la \ero{Pulsado} kaj $\vet k$ la \ero{Numero Onda} \dm{\omega \EDef \frac{2\pi}{T} \qquad |\vet k|\EDef \frac{2\pi}\lambda } kie $T$ estas la periodo de la ondo kaj $\lambda$ la ond longeco. Oni \v genere dividas la ondojn per siaj frekvencaj komponantoj. Sekvinte la \homo{Fourier}-a priskribo oni konstruas ia ondo per lineara kombino de sia armonik komponantoj \dm{\psi(\vet x,t) = \int\hat A(\vet k)e^{\vet k\vet x-\omega t}\di^3k} nomante $A(\vet x)$ la {\it amplitudo} de la ondo.
\begin{mat}{Fourier-a Bazo}{La \eroh{Fourier}{Sistemo} en $\mathcal{L}^2(0,1)$ estas komponita da la funkcioj \begin{displaymath}\eta_k(x) = e^{2\pi\imath kx} = \cos(2\pi kx) + \imath sen(2\pi kx), \qquad k = 0,\pm1,\pm2,\dots\end{displaymath}\v Ci tiu sistemo estas totalo, nomi\v gas \emph{bazo trigonometrika} pro tiu ia funkcio i\v gas priskribita en \emph{armonika sistemo}. Per tiu bazo oni povas malkomponi ia funkcio $\in \mathcal{L}^2(\R)$, a\u u se perioda $(\phi(t+T) = \phi(t))$, $\in \mathcal{L}^2(0,T)$, per la skalara produkto en \eroh{Fourier}{Bazo}\begin{displaymath}\eta_k(x) = T^{-\frac12}e^{2\pi \imath \omega_kx} \omega_k = k/t_0, k \in \mathbb{Z} \end{displaymath}\begin{displaymath} \phi(x) = \sum^{\infty}_{k = -\infty}(\eta_k,\phi)\eta_k(x), \qquad (\eta_k,\phi) = \int^{T}_0e^{-2\pi \imath \omega_kx}\phi(x)dx\end{displaymath} La \eroh{Fourier}{Transformata} de ia funkcio $\phi \in \mathcal{L}^2(\mathbb{T}^n)$ estas la vektoro $\hat\phi \in \mathcal{L}^2(\mathbb{T}^n)$ difinita per:\begin{displaymath}\hat\phi(k) = (\eta_k,\phi) = \int_{\mathbb{T}^n}\phi(x)e^{-2\pi\imath kx}dx .\end{displaymath} 
\subsubsection*{Ecoj} La sekvantaj ecoj valoras nediferencie por la trasformo kaj la funkcio.\begin{itemize} \item[-] Simetrio koniuga:Se $Im[x(t)] = 0 $ do $\hat x(\omega) = \hat x^*(-\omega)$ \item[-] Simetrio para: Se $x(t) = x(-t)$ do $\hat x(\omega)=\hat x(-\omega)$ \item[-] Simetrio nepara: Se $x(t) = -x(-t)$ do $\hat x(\omega) = - \hat x(-\omega)$ \item[-] Lineareco: $ax_1(t) + bx_2(t)\hat =a\hat x_1(\omega) + b\hat x_2(\omega)$\item[-] Dualeco: $\hat x(t) \hat = x(\omega)$\item[-] Skala \v san\v go: $x(at)\hat =\frac1{|a|}\hat x(\omega/a)$ \item[-] Tempa malfruo: $x(t-t_0) \hat = e^{-\imath \omega t_0}\hat x(\omega)$ \item[-] Diferencialo: $\di_tx(t)\hat = \imath\omega\hat x(\omega)$ \item[-] Konvoluo: $\int x(\tau)y(t-\tau)\di\tau\hat =\hat x(\omega)\otimes\hat y(\omega)$ \item[-] Integracio $[-\infty,t]$: $\int_{-\infty}^tx(\tau)\di\tau\hat =\frac{\hat x(\omega)}{\imath\omega}+\frac{\hat x(0)\delta({\omega})}{2}$\item[-] Integracio $[-\infty,\infty]$: $\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\di\tau=\hat x(0)$ \item[-] Norma konservo: $\int_{-\infty}^\infty |x(t)|^2\di t=\int_{-\infty}^\infty|\hat x(\omega)|^2\di\omega$ \eroh{Parseval}{Teoremo} \item[-] Operacia traslado: $\int_{-\infty}^\infty x(t)\widehat{\hat y(\omega)}\di t = \int^\infty_{-\infty}\widehat{\hat x(\omega)}y(t)\di t$ \end{itemize}}\end{mat}
\begin{elek}{Fourier-a Transformo Uzo}La distribuo de la intenso rilate la frekvenco estas esprimita por el kvadrato de la modulo de la \homo{Fourier}-a trasformata de $f(t)$: {\ero{Spektro Potenca} $\rho(\nu) = |\hat\phi(\nu)|^2$. Per la spektro potenca oni kiras la \ero{Autokorelacio} de la signalo \begin{displaymath} Corr[\phi,\phi](t) = \int_{\R}\phi(\tau + t)\phi(\tau)\di\tau\end{displaymath} a\u u la grado de a\u uto simileco de la signalo. \begin{legxo}{Wiener-Khinchin} Se $\phi\in\mathcal{L}$ estas realo, sekvas \begin{displaymath} \widehat{[Corr[\phi,\phi]]}(\nu) = |\hat\phi(\nu)|^2.\end{displaymath}\end{legxo} Por la numerika kalkulo oni uzas nur la \eroh{Fourier}{Trasformo Diskreta} \begin{displaymath}\phi^k=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j = 0}^{n - 1}\phi e^{-\imath 2\pi jk/n} \qquad k = 0,,n - 1 .\end{displaymath} Oni akiras al \ero{Speciamento} kiu epikas la solaj frekvencoj $\nu_j = \frac{j}{n\delta}$ per $j = -\frac{n}{2},,\frac{n}{2}$. La maksima, $\nu_c$, nomi\v gas \eroh{Nyquist}{Frekvenco Kritika} kaj estas inverse proporcia al la intervalo de speciamento. Se la potenca spetro havas maksima frenkvenco $\nu_{maks}$ oni eletki $\nu_c \cong \nu_{maks}$ por havi nenian perdon de informo. \ero{Aliaso} Se estas frekvenco ekster la intervalo $[-\nu_c,\nu_c]$ lia komponantoj estas reflektitaj kaj sumitaj al la propraj kun la efekto ke la trasformo en la domajno de la frekvenco havas pli grande intenso por la termoj al la ekstrema\v joj. Estante la Fourier-a trasformo globala eco, oni enkondukas la \eroh{Fourier}{Lokata Trasformo} kiu  estas la $\hat\phi(\nu,t)$ de ia $\mathcal{L}^2 \backepsilon \phi(x,t) = \psi^*(x - t)\phi(x)$ kun $\psi \in \mathcal{L}^2$ difinita per \begin{displaymath}\hat\phi(\nu,t) = \int_{\R}\psi^*(x - t)\phi(x)e^{-2\pi\imath\nu x}dx .\end{displaymath} Estas la ``versio loka'' de $\phi(x)$ en la subtenanto de $\psi$ kiu estu kompakta kaj egala al $[-\tau,0]$ intevalo pro ka\u uzeca kondico. $\psi$ nomi\v gas \ero{Funkcio Lokanta} a\u u {\it Fenestro} kiu agas kiel ia noto al la frekvenco $\nu$ en iu momento. Inverse: \begin{displaymath} \phi(x) = \frac{1}{\|\psi\|^{2}}\int\psi_{\nu,t}d\nu dt  .\end{displaymath} Oni konsideras da\u urige diversaj momentoj a\u u frekvencoj \v car ne povas \v san\v gi\v gi la precizeco de informo. Per \v ciu fenestro oni akiras g\v ia \begin{displaymath}baricentro: t_0 = \int_{\R}t|\psi(t)|^2dt \qquad nu_0 = \int_{\R}\nu|\hat\phi(\nu)|^2d\nu \end{displaymath}\begin{displaymath} norma devio: \tau^2 = \int_{\R}(t - t_0)^2|\psi(t)|^2dt \qquad \nu^2 = \int_{\R}(\nu - \nu_0)^2|\hat\psi(\nu)|^2d\nu \end{displaymath} Se $\psi(t) = \sqrt[4]{2a}e^{-\pi at^2}$, do $\hat\psi(\nu) = \sqrt[4]{2a}e^{-\pi\nu^2/a}$ kun $t_0 = \nu_0 = 0$ sekvas \begin{displaymath}\tau = \sqrt{1/4\pi a} \quad \nu = \sqrt{a/4\pi} \qquad \tau\nu = \frac{1}{4\pi}\end{displaymath} kaj \v genere oni esprimas la \ero{Nedetermina Principo}\begin{equation}\tau\nu \geqslant \frac{1}{4\pi}.\end{equation}}\end{elek}
\section{Oscilanta Sistemo} Oni volas montri la solvadon de du-grada diferenciala ekvacio kiu priskribas la solvon de iu sistemo oscilanta. Tiu sistemo estas priskribita per la ekvacio $\ddot x + \gamma\dot x + \omega^{2}_0 x = \frac{f(t)}{m}$ kie $\gamma$, $\frac{1}{CL}$ en la elekrtonika kazo, nomi\v gas \ero{Atenua Faktoro}, kaj $\omega_0$, difinita kiel $\frac{k}{m}$ en la mekanika kazo a u $\sqrt{\frac{R}{L}}$, nomi\v gas \ero{Propra Frekvenco}. La solvado de la omo\v gena asociita estas $x(t) = c_1 e^{-\frac{\gamma}{2}t+\sqrt{(\frac{\gamma}{2})^2 - \omega_{0}^2}t} + c_2 e^{-\frac{\gamma}{2}t-\sqrt{(\frac{\gamma}{2})^2-\omega_{0}^2}t}$. La solvado kiu nin interesas, de malgranda atenuo pro $\frac{\gamma}{2} < \omega_{0}$, havas termon elipsan $\omega = \sqrt{\omega^{2}_0 - (\frac{\gamma}{2})^2}$ kaj iperbolan $\frac{\gamma}{2}$, prefere \begin{equation}x = c_1e^{\frac{\gamma}{2}t}e^{i\omega t} + c_2e^{\frac{\gamma}{2}t}e^{-i\omega t}\end{equation} a\u u $\vet{x} = e^{\gamma t}\vek{c_1e^{\omega it} \\ c_2e^{-\omega it}}$ per $\dot{\vet x} = \vek{\dot x \\ \dot v}$, $\dot x = v$.
\begin{mat}{Solvadoj per Laplace}Pro la rilato \begin{displaymath}\La\Big[\int_{0}^{t}f(\tau)d\tau\Big](s) = \frac{1}{s} \big[\La (f)\big](s) \Rightarrow \big[\La (f')\big](s) = s \La (f) - f(0)\end{displaymath} sekvas ke, por la du grada sistemo $a\ddot y + b\dot y + cy = f(t)$ oni akiras \begin{displaymath}a\big(s^2\La (y) - sy(0) - y(0)\big) + b \big(s\La (y) + y(0)\big) + c\La (y) = \La f(t)\end{displaymath}\begin{displaymath}\La (y) = \frac{ay_0s+ay_1+by_0}{as^2+bs+c} + \frac{\La f(t)}{as^2+bs+c}\end{displaymath} a\u u $\La [y] = \La [h] + \La [f]\La [g]$ per ia funkcio $h$ kaj $g$. $y$ estas do \begin{displaymath}y = h + f\ast g.\end{displaymath} Pro la ecoj de la trasformo de Laplace oni obtenas $h$ per $\La (h) = \frac{A}{s - s_1} + \frac{B}{s - s_2}$ kie $s_1$, $s_2$ estas la nuloj de $as^2+bs+c = 0$ kaj $A$, $B$ parametroj dekovrintaj. Nia solvo estas sekve: \begin{displaymath}h(t) = Ae^{s_1t} + Be^{s_2t}\end{displaymath} a\u u $\La (h) = \frac{M}{s - s_1} + \frac{N}{(s - s_1)^2}$, $h(t) = Me^{s_1t} + Nte^{s_1t}$ se la nulo estas duobla. Ni do kondukas la kalkulojn al la faktori\v go de la denominatoro. Estas tre utila skribi la problemon per sumo de denominatoroj separitaj en ilin faktori\v goj. Per la resiuduoj oni povas dekomponi la denominatoron. Por ekzemplo si oni havas funkcion kun du poloj oni povas reskribi \begin{eqnarray*}F(s)=\frac1{(s+1)(s+2)^2}=\frac{1}{(s+2)}\Big|_{s=-1}\frac1{(s+1)}+\frac{2}{(2-1)!}\de s\Big(\frac1{s+1}\Big)\Big|_{s=-2}\frac1{s+2}+\\+\frac1{(2-2)!}\frac{\di^0}{\di s}\frac1{s+1}\Big|_{s=-2}\frac1{(s+2)^2}=\frac1{(s+1)}-\frac1{(s+2)}-\frac1{(s+2)^2}\end{eqnarray*} Si oni volas do kalkuli la \homo{Laplace} trasforma\v vo oni obtenas \dm{f(t)=e^{-t}u(t)-e^{-2t}u(t)-te^{-2t}u(t)} Simile \dm{\frac1{s(s^2+1)}=\frac1s-\frac1{2(s+\imath)}-\frac1{2(s-\imath)}\stackrel{\La}{\to} u(t)-\frac12(e^{\imath t}+e^{-\imath t})=u(t)-\cos t}\end{mat}
\begin{elek}{Gajno Kalkulita per Poloj}{En Elekrtoniko oni konsideras la funkcion transiran pro ia cirkvito estas $A_\vo(\nu) = \frac{\vo_{for}}{\vo_{en}} = \frac{Z_{\Delta\vo_{for}}}{Z_{\Delta\vo_{en}}} $, kie $Z_C = \frac{1}{sC}$ estas la kondensatora impedanco kaj $Z_L = Ls^2$ la indukta, $A_\vo(\nu) =  \frac{Z_{\Delta\vo_{for}}}{Z_{\Delta\vo_{en}}} = \frac{Z_1}{Z_1 + Z_2} = \frac{1}{1 + Z_2/Z_1} = $ en la kazo de [pasa] basa filtrilo $= \frac{1}{1 + 1/\imath 2\pi\nu RC} = \frac{1}{1 - \imath \nu_{suba}/\nu}$ kie $\nu_{suba} = \frac{1}{2\pi RC}$ estas la frekvenco je $3Db$ suba \v car $\big|A_\vo(\nu_{suba})\big| = \frac{1}{\sqrt{1+(\nu_{suba}/\nu)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. 
\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(-1.5,.1)\linethickness{0.075mm}\newsavebox{\imp}\savebox{\imp}(0,0){\multiput(-.2,-.1)(0,.2){2}{\line(1,0){.4}}\multiput(-.2,-.1)(.4,0){2}{\line(0,1){.2}}}\newsavebox{\impR}\savebox{\impR}(0,0){\multiput(-.1,-.2)(0,.4){2}{\line(1,0){.2}} \multiput(-.1,-.2)(.2,0){2}{\line(0,1){.4}}}\put(0,1){\circle*{.1}}\put(0,1){\line(1,0){.1}}\put(.3,1){\usebox{\imp}}\put(.50,1){\line(1,0){.5}}\put(1,1){\circle*{.1}}\put(.7,1){\circle*{.1}}\put(.7,.7){\line(0,1){.3}}\put(.7,.5){\usebox{\impR}}\put(.7,0){\line(0,1){.3}}\put(.7,0){\circle*{.1}}\put(0,0){\circle*{.1}}\put(0,0){\line(1,0){1}}\put(1,0){\circle*{.1}}\put(.61,.42){$Z_1$}\put(.22,.92){$Z_2$}\put(-.05,.1){\line(1,0){.1}}\put(0,.4){\vector(0,-1){.3}}\put(-.2,.5){$\vo_{en}$}\put(0,.6){\vector(0,1){.3}}\put(-.05,.9){\line(1,0){.1}}\put(.95,.1){\line(1,0){.1}}\put(1,.4){\vector(0,-1){.3}}\put(.85,.5){$\vo_{for}$}\put(1,.6){\vector(0,1){.3}}\put(.95,.9){\line(1,0){.1}}\end{picture}} Pri sola stadio al la altaj frekvencoj agas nur unu polo. \begin{displaymath}\lim_{\nu\to\infty} A(\nu) = \frac{A_0}{1 + \imath \nu/\nu_{polo}} = \frac{A_0}{1 + \imath \frac{2\pi\nu}{2\pi\nu_{polo}}} = \frac{A_0}{1 + \frac{s}{2\pi\nu_{polo}}}\end{displaymath}do\begin{displaymath}A(s) = \frac{A_0 2\pi\nu_{polo}}{s - (-2\pi\nu_{polo})} = \frac{A_0}{s - s_{p_0}}\end{displaymath} kie $\nu_{polo} = \frac{|s_{p_0}|}{2\pi}$ nomi\v gas \ero{Frekvenco pola}. A\u u \v genere por pli stadoj \begin{displaymath}A(s) = k\frac{(s - s_{n_1})\ldots(s - s_{n_i})}{(s - s_{p_1})\ldots(s - s_{p_j})}\end{displaymath} kun $s_{n_\cdot}$ nuloj de la funkcio kaj $s_{p_\cdot}$ poloj. Se $\nu_{p_i} > 4\nu_{p_j}$ pro iu $i,j$ $\nu_{p_i}$ nomi\v gas \ero{Polo Dominanta}. }\end{elek}Ni reskribas la (\ref{DGrSol}) trigonometre kun frekvenca kaj faza termo. \begin{displaymath}x = Ae^{-(\gamma/2)t}\cos(\omega t + \phi) =^{a\breve{u}} \Re\big(Ae^{\imath\phi}e^{\imath\omega t}e^{-\frac{\gamma}{2}t}\big).\end{displaymath}Por kalkuli la mezuma energio, sciante ke la energio  sin disipa termo $\gamma$ estas konserva, oni obtenas \dm{\mathcal{E} = \frac12 m\dot x^2 + \frac12 m\omega_{0}^2x^2 = \frac12 m\omega_{0}^2A^2\big(sen^2(\omega_0t + \phi) + cos ^2(\omega_0t + \phi)\big) = \frac12 m\omega_{0}^2A^2} ne dependa de t. Se la disipa termo estas $\gamma << \omega_0$ valoras malmulto en la periodo do $\langle U(t)\rangle = \frac12 m\omega_{0}^2A^2e^{-\gamma t}$. \\ $\gamma$ estas la frakcio de energio staplita kiu perdi\v gas en la tepunuo $-\de{t}\langle U\rangle\frac{1}{\langle U\rangle} = \gamma$ kaj $\tau = \frac{1}{\gamma}$ estas \ero{Tempo Defala} de la oscilatoro, tempo en kiu la energio malkreskas de $\tau$ faktoro.
\subsubsection*{Resonanco} La resonanco montri\v gas kiam eksterna periodika forco $\vet F=\vet F(\omega)$ agas sur armonika sistemon \dm{\ddot x = -\gamma \dot x - \omega_0^2 x + F\cos(\omega t)} kie $\gamma$ estas la atenua faktoro kaj $\omega_0$ la propra frekvenco de la sistemo.\\ Ia \ekz{Resonanca Kesto} a\u u sonkesto valoras pro tiu longeco nature pluroba de la ondofrekvenco la\u u la rilato $d = (2\mathbb{N} + 1)\frac{\lambda}{4}$ tial ia ondo necesas de nodo, kiu estas la fundo de la kesto, kaj ia kavito tam longe konteni kresto a\u u gor\v go ke previgas la termo $\frac{1}{4}$.
\section{Onda Formo}
\subsubsection*{Normaj Modoj} Oni uzas la scion pri la solvado de diferencialaj ekvacioj por priskribi kompleksaj sistemoj. Se oni havas du oscilatoroj parigitaj oni povas priskribi la sistemo se libera kaj ne estingita) per \begin{displaymath}\vek{\ddot x_1 \\ \ddot x_2} = \big(\begin{array}{c c}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\big)\vek{x_1 \\ x_2} = A\vet x\end{displaymath} kun $a_{21}$, $a_{12}$ parigaj termoj, kiu provizi solvadojn trigonometrajn 
\section{Ondaj Parametroj}Nun oni priskribas la parametrojn kiuj difinas la ecojn kaj la formon de la ondoj \\ 
\par{\large Osciloj:}\\ Oni konsideras omo\v gena \v snuro ligata je la ekstremoj, ni priskribas la funkcion $\psi(z,t)$, lokmovo del la \v snuro transverse \v car \v gia la\u ulonga kompono nulas. La koordinato $w$ priskribas la ago de $(x,y)$ la du komponantoj de la polarizo.
\par{\large Disuzaj:}\\\ero{Ondo Disusa} kiam la rilato inter onda nombro $k$ kaj pulsado $\omega$ estas ne proporcia. Ia Ondo formata de du komponantoj de sama fazo kaj sama amplitudo kies formo estas $\psi(z,t) = A\cos(\omega_1t - k_1z) + A\cos(\omega_2t - k_2z)$ a\u u $\omega_0 = \frac{\omega_2 + \omega_1}{2}$, $\omega = \frac{\omega_2 - \omega_1}{2}$, $k_0 = \frac{k_2 + k_1}{2}$, $k = \frac{k_2 - k_1}{2}$ do $\psi(z,t) = 2Acos(\omega t - xz)cos(\omega_0t -k_0z)$. 
\begin{figure}[!h]\centering\label{Batado}\input{Batado.tex}\caption{Batado}\end{figure}
Tiu ondo estas preska\u u armonika en la termo de la dua faktoro $\omega_0$ kiu estas la pli granda kaj nomi\v gas portanto, propagas kun \ero{Rapideco Faza} $v-f = \omega_0/k_0$, rapideco de la malgrandaj krestoj kiuj aperas al la komenco de la paketo kaj malaperas fine. La \ero{Rapideco Grupa} estas la rapideco de la pli granda amplitudo tiu ke $d(\omega t - kz) = 0$ kaj sekvas \begin{displaymath}v_g = \de{t}z = \frac{\omega}{k} = \frac{\omega_2 - \omega_1}{k_2 - k_1} \quad a\breve{u} \quad \hat{g}enere \quad v_g = \de{k}\omega.\end{displaymath} \ekz{akvo disiganta} en la akvo la disiga relacio estas $\omega^2 = kg \tanh(kh)$ kie $h$ estas la profundeco. Pro profunda akvo la proksimuma rilato $\omega^2 = kg$ montras ke la faza rapideco $v_f = \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}$ rilatas kun la grupa rapideco per $v_g = \de{k}\omega = \frac12 v_t$ tial la akvo estas tre disiga medio. Finfine oni difinas la faza rapideco kiel la rapideco de iu frekvenco $v_f = \frac{\omega}{k} = \lambda\nu$ kaj la grupa rapideco per $v_g = \de{k}\omega$. Oni difinas \ero{Indico Rifrakta} la rej\v so inter la rapideco en la vakuo kaj medie $\nu(\omega) = \frac{c}{v_f(\omega)}$. \\ Sekvas: \begin{itemize}\item[Le\v go] de Snell-Descartes: La surfac tan\v ga komponanto koservi\v gas en la transiro inter du medioj $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ \item[Indico] rifrakta dependas far la ondfrekvenco \emph{do} travidebla medio disigas la lumon en \v giaj komponantoj. \item[Ondo] inter du medioj reflekti\v gas kaj rifrakti\v gas\end{itemize}
\begin{par}{\large Reflekto kaj Refrakto}\\ Iu ondo incidanta sur ia medio, priskribita per $\vet E_i(\vet r,t) = \vet E_{0i}e^{\imath(\omega_it - \vet k_i\cdot\vet r)}$, trasformi\v gas en du komponantoj, rifrakta (a\u u transira) kaj refleksa kiuj havas la saman ekvacion. \begin{displaymath}\vet E^{\parallel}_{0i}e^{\imath(\omega_it - \vet k_i\cdot\vet r_i)} + \vet E^{\parallel}_{0r}e^{\imath(\omega_rt - \vet k_i\cdot\vet r_i)} = \vet E^{\parallel}_{0t}e^{\imath(\omega_tt - \vet k_i\cdot\vet r_i)}\end{displaymath} La projekcio sur la surfaco samu \v cie kaj \v ciam \emph{do:}\\ per $r = 0$ \v ciuj pulsacioj samu,\\ per $t = 0$ ia kompono nuli\v gas $(ekz:\, k_{rx}x + k_{tx}x = 0)$ kaj alia sami\v gas $(ekz:\, k_{ty} = k_{ry} = k_{iy})$.\\$|k_i|\sin(\theta_i) = |k_t|\sin(\theta_t) = |k_r|\sin(\theta_r)$, $|k_i| = \frac{n_1}{c}\omega, |k_t| = \frac{n_2}{c}\omega$. $k^2 = k_{\perp}^2 + k_{\parallel}^2$, $k_{t\perp}^2 = \frac{\omega^2}{c^2}(n_{2}^2 - n_{1}^2\sin^2\theta_i)$ ke per totala reflekso $(\theta_i > \arcsin\frac{n_2}{n_1} \quad | n_2 > n_1)$ estas ima\v ga \emph{do:} $\vet E = \vet E_0e^{\imath(\omega t - k_{ty}r_y - \imath k_{tz}r_z)} = \vet E_0e^{-|k_{tz}|r_z}e^{\imath(\omega t - k_{ty}r_y)}$ tio estas la amplidudo malaperas kun eksponenciala le\v go tial ke se ni metas alia medio de pli granda indico oni reprenas ia amplitudo.\end{par}
\section{Ondaj Ecoj de la Lumo}
\par{\large Interfero}\\ Oni volas konsideri la amplitudo de lumo, kiu pasas inter du fendoj, sur l'ekrano $E$. \v Gia formo estas sur la punkto $P$, $E(P) = \frac{A_1}{r_1}\cos(\omega t - kr_1 + \phi_1) + \frac{A_2}{r_2}\cos(\omega t - kr_2 + \phi_2)$ tiu ke $E^2(P) = \big(\frac{A_{1}^{2}}{r_{1}^{2}} + \frac{A_{2}^{2}}{r_{2}^{2}} + 2\frac{A_1}{r_1}\frac{A_2}{r_2}\cos(\phi_2 - \phi_1 - k(r_2 - r_1))\big)\cos^2(\omega t + \alpha)$ dume $\langle E^2(P)\rangle = \frac{A_{1}^{2}}{r_{1}^{2}} + \frac{A_{2}^{2}}{r_{2}^{2}} + 2\frac{A_1}{r_1}\frac{A_2}{r_2}\cos(\phi_2 - \phi_1 - k(r_2 - r_1))$ prefere:
\marginpar{\setlength{\unitlength}{2cm}\begin{picture}(-1.5,.1)\linethickness{0.075mm}\put(.4,0){\line(0,1){.3}}\put(.4,.4){\line(0,1){.2}}\put(.4,.7){\line(0,1){.3}}\put(.42,.45){$\theta$}\put(.35,.38){\vector(0,1){.24}}\put(.35,.62){\vector(0,-1){.24}}\put(.2,.45){$d$}\multiput(.33,.38)(0,.24){2}{\line(1,0){.04}}\linethickness{.3mm}\put(1,0){\line(0,1){1}}\linethickness{0.075mm}\put(1.05,.8){$E$}\multiput(.4,.5)(.1,0){6}{\line(1,0){.05}}\multiput(.45,.49)(.1,0){6}{\tiny{.}}\put(1.1,.5){$O$}\put(1.1,.2){$P$}\put(1.01,.35){$x$}\multiput(1.03,.25)(0,.25){2}{\line(1,0){.05}}\put(0,.35){\line(1,0){.4}}\put(0,.65){\line(1,0){.4}}\put(.4,.35){\line(6,-1){.6}}\put(.4,.65){\line(3,-2){.6}}\multiput(.4,.35)(.01,.015){14}{\tiny{.}}\end{picture}}\begin{displaymath}I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(\phi_2 - \phi_1 - k(r_2 - r_1)).\end{displaymath}
\begin{figure}[!h]\centering\input{Paketo.tex}\label{Paketo}\caption{Paketo}\end{figure} Se la faza termo konstantas (ekz: se la fonto estas la sama per amba\u u la lumoj) la termo $(r_2 - r_1)$ determinas la maksimumojn kaj minimumojn de la amplitudo. Simple $(\phi_2 - \phi_1) = 0$ do $I_{maks} = \{I(r_2,r_1) | r_2 - r_1 = 2\mathbb{Z}\pi\}$ kaj $I_{min} = \{I(r_2,r_1) | r_2 - r_1 = (2\mathbb{Z} + 1)\pi\}$. Pli simple se la ekrano longas (kiel se oni interponas lenson) oni povas konfuzi la sinuso kun la tan\v ganto. La anta\u ua rilato i\v gas $\frac{x}{l}d = 2 n\frac{\lambda}{2}$ a\u u $n = \frac{x}{l\lambda}$.\\ \v Ceestas kondi\v coj en kiu, pli simple, oni vidas interferajn fenomenojn tiu estas kiam la lumo renkontas ian medion kun indico pli granda \v car refrakti\v gas kaj refleksi\v gas. La koeficiento de reflekso estas \v genere malgranda (ekz: 0.04 aere) kaj estas \v genere du a\u u tri la termoj kiuj interferi\v gas. 
\marginpar{\setlength{\unitlength}{2cm}\begin{picture}(-1.5,.1)\linethickness{0.1mm}\put(0,0){\line(1,0){1}}\put(0,.3){\line(1,0){1}}\linethickness{0.075mm}\put(.4,.3){\line(1,1){.4}}\put(.4,.3){\line(-1,1){.4}}\put(.4,.3){\line(1,-3){.1}}\put(.5,0){\line(1,3){.1}}\put(.6,.3){\line(1,1){.4}}\put(.2,.5){\vector(1,-1){.1}}\put(.6,.5){\vector(1,1){.1}}\put(.42,.24){\vector(1,-3){.02}}\put(.53,.09){\vector(1,3){.02}}\put(.8,.5){\vector(1,1){.1}}\multiput(.4,.3)(0,.05){8}{\line(0,1){.025}}\multiput(.5,0)(0,.05){6}{\line(0,1){.025}}\multiput(.58,.28)(-.02,.02){6}{\tiny{.}}%\linethickness{.025mm}\multiput(0,0)(.1,0){8}{\line(1,1){.3}}\put(0,.1){\line(1,1){.2}}\put(0,.2){\line(1,1){.1}}\put(.8,0){\line(1,1){.2}}\put(.9,0){\line(1,1){.1}}
\put(.8,.1){$(2)$}\put(.4,.7){$(1)$}\put(.30,.4){$i$}\put(.5,.2){$r$}\put(0,.1){$d$}\put(.1,0){\vector(0,1){.3}}\put(.1,.3){\vector(0,-1){.3}}\put(.275,.15){$A$}\put(.40,-.15){$B$}\put(.575,.15){$C$}\end{picture}} La vojo de la dua radio rilate la unuan estas pli granda de $\overline{ABC} = 2d\tan(r)\sin(i)$ kaj la faza malfruo $\overline{ABC} - \overline{AC} = 2d\tan(r)n_2/n_1\sin(r) - nd/\cos(r)$. Do se tia vojo estas $\lambda/2(2\mathbb{N})$ oni obtenas nove la detruan interferencon kaj se $\lambda/2(2\mathbb{N} + 1)$ la deviga (\v car en la pasa\v go inter medio de grand rifracia indico kaj malgranda la redio fazi\v gas de $\pi$, $\Delta = 2dkn_2/n_1\cos(r) + \pi$). Oni vidas ke la relacio dependas de $\lambda$ kaj $i$ \v car $r = i \arcsin(n_1/n_2)$. Tial:\begin{equation}2d\frac{n_2}{n_1}\cos(r) = \vek{(\mathbb{N} + 1/2)\lambda  \\ (\mathbb{N})\lambda} \quad \begin{array}{c} maks \\ min \end{array}\end{equation}
\begin{par}{\large Paketo}\\ La interferenco estas uzata anka\u u por mezuri la frekvencon kaj la koheran tempon. \v Ciu ondo, nature, estas produkta en finita tempo (ekz: pro la transiro inter du atomaj niveloj) kaj devas formi \ero{Paketo}n, konsistanta el diversaj frekvencaj ($\Delta\nu$ bando de frakvencoj) kaj amplitudoj tion akiras la Fourier-a malkompono. La tempo en kiu la paketo estas formata nomi\v gas \ero{Tempo Kohera} kaj la rilato ku la bando de frekvecoj estas $\Delta T\Delta\nu = 1$ a\u u $\Delta k\Delta x = 2\pi = \Delta\omega \Delta t$ kiel rezulto de $\hat\psi(x) = \Psi(k)$. \end{par}
\begin{mat}{Nedermineco}{\nul$\psi(x)$ estas la onda paketo difinita per $\psi(x) = \psi_0\cos(k_0x)$ kun $-\frac{\Delta x}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\Delta x}{2}$ kaj $\psi(x) = 0$ per $|x| > \frac{\Delta x}{2}$. La ondo estas terma kosinusa kaj per la ortonormaleco de la Fourier-a bazo \begin{displaymath}\Psi(k) = \frac{1}{\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\psi(x)\cos(kx)dx = \frac{\psi_0}{2\pi}\int^{\Delta x/2}_{-\Delta x/2}\cos(k_0x)\cos(kx)dx \end{displaymath}\begin{displaymath} \Psi(k) = \frac{\psi_0\Delta x }{2\pi}\frac{\sin(k - k_0)\Delta x/2}{(k - k_0)\Delta x/2}\end{displaymath} ke pro $k \simeq k_0$ kaj $\frac{-\pi}{2} < (k - k_0)\frac{\Delta x}{2} <\frac{\pi}{2}$ sekvas \ref{Heisenberg1}.}\end{mat}
\begin{wrapfigure}{r}{7cm}\input{Sinc.tex}\caption{$\mathnormal{sinc}(x)$}\label{sinc}\end{wrapfigure} 
Nu, oni povas a\u utointerferi ia ondo \v gin farinta perkuri du diversajn vojojn, ia pli longe de la alia. Oni povas malkovri maksimumaj kaj minumaj de la amplitudo \v gis vidi la du ondojn disigiataj al la fino de la tempo a\u u spaco kohera.\\ 
\par{\large Difrakto}\begin{legxo}Principo de Huygens-Fresnell: oni povas konsideri \v ciu ponkton de la radio kiel fonto kaj akiri al la onda fronto per envolvi\v go de \v ciuj fontoj\end{legxo} Kiam ia eletktomagneta ondo $E = e^{\imath(\omega t - \vet x\vet k)}$ enkontras fendon longan kelkajn multoblojn entierajn de sia ond longeco lumas anka\u u la zono de geometria ombro \v car oni devas konsideri sian ondan konduton. Oni kalkulas la kampo pluen:
\marginpar{\setlength{\unitlength}{2cm}\begin{picture}(0,0)\linethickness{0.7mm}\put(.4,0){\line(0,1){.3}}\put(.4,.7){\line(0,1){.3}}\linethickness{0.075mm}\put(0,.3){\line(1,0){.4}}\put(0,.7){\line(1,0){.4}}\put(.4,.3){\line(2,1){.6}}\put(.4,.7){\line(2,1){.6}}\multiput(.38,.7)(.01,-.02){17}{\tiny{.}}\multiput(.4,0)(0,.05){20}{\line(0,1){.025}}\multiput(.4,.5)(.05,0){12}{\line(1,0){.025}}\multiput(1,.5)(0,.05){6}{\line(0,1){.025}}\multiput(.4,.5)(.03,.015){20}{\tiny{.}}\put(.25,.45){$d$}\put(.35,.3){\vector(0,1){.4}}\put(.35,.7){\vector(0,-1){.4}}\put(.42,.36){$\theta$}\put(.85,.35){$L$}\put(1.02,.6){$\xi$}\end{picture}}\begin{displaymath}E(\theta) = A e^{i\omega t}\int_{-d/2}^{d/2}e^{-\imath kx\sin(\theta)}\mathrm{d}x = d A e^{\imath\omega t}\mathrm{sinc}(k\cdot d/2\sin(\theta)).\end{displaymath} Prenante la realan parton $E(\theta) = Ad \mathrm{sinc}(k\cdot d/2\sin(\theta))\cos(\omega t)$ oni kvadratigas kaj mezumigas sur la periodo por akiri la intenso \begin{equation}I = A^2d^2/2\mathrm{sinc}^2(k\cdot d/2\sin(\theta))\end{equation} En aproksimo de granda longeco $\sin(\theta) = \xi/L$ kie $L$ estas la distanco de la fendo kaj $\xi$ la distanco de la piedo de ortanto. La difrakto per cirkla fendo estas priskribita per la Bessel-aj funkcioj. Kiam ia ondo enkontas korpoj kun dimensioj kompareblaj kun sia ond longeco vibrigas \v gin kiel agas ia fortanto sur oscilanta sistemo de propra frekvenco $\omega_0$. Tiu \v ci korpoj agas kiel resonataj fontoj kaj elmetas siavice kun la sama frekvenco $\omega_0$ nedipenda de la ondo frekvenco $\omega$. $\omega_0$ dipenas do de la dimensioj kaj interdistanco de la korpoj. Fakte la \v cielo estas lazura tage kaj ru\v ga sunsubire \v car alta\v je la particeloj estas pli distancataj kaj la amplitudo de la elektrik kampo estas proporcia al $\omega^2$, kiel estas la akcelo $(\ddot x(t) \propto D^2(\cos(\omega t))) \propto \omega^2$, tial la intenso al $\omega^2$. 
\marginpar{\setlength{\unitlength}{2cm}\begin{picture}(0,1)\linethickness{0.3mm}\multiput(.4,0)(0,.2){5}{\line(0,1){.18}}\linethickness{0.075mm}\put(.4,.2){\line(2,1){.6}}\put(.4,.4){\line(6,2){.6}}\put(.4,.6){\line(6,1){.6}}\put(.4,.8){\line(1,0){.6}}\multiput(.25,.4)(0,.2){2}{\line(1,0){.1}}\put(.25,.45){$a$}\end{picture}}La termoj ru\v gaj estas preska\u u dek fojoj munusaj krom al la sunsubiron kiam la lumo pasas pli da tempo en la densa atmosfero. La difrakto de tioma da incoheraj fontoj estas nomata \ero{Difuzo} dume oni povas konsideri la kazo pli priskriebla de $N$ koheraj fendoj. La rezulta kampo estas la sumo de la termoj de \v ciu fonto $\sum_{i = 1}^{N - 1}E_f(\theta)e^{i\imath\phi}$, kie $\phi$ estas $\phi = ka \sin(\theta) = 2\pi/\lambda\sin\theta$ diferenco de optik vojo, kiu oni povas esprimi \begin{displaymath}E = E_f\frac{e^{\imath N\phi} - 1}{e^{\imath\phi - 1}} = Ad\mathrm{sinc}(k\cdot d/2\sin(\theta))\frac{\sin(N\phi/2)}{\phi/2}e^{\imath(\omega t + (N - 1)\phi)}.\end{displaymath} Oni akiras la intenson per \begin{equation}\langle \Re(E)^2 \rangle = I(\theta) = I_f(\theta)\frac{\sin^2(Nka\sin\theta/2)}{\sin^2(ka\sin\theta/2)}\end{equation} dependo de la elmeta intenso pro la angulo. 
\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,1)\linethickness{0.025mm}\put(.5,0){\line(0,1){1}}\put(0,.5){\line(1,0){1}}\linethickness{0,1mm}\put(.5,.5){\vector(1,0){.5}}\put(.6,.2){$\phi_{maks}$}\end{picture}}\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,1)\linethickness{0.025mm}\put(.5,0){\line(0,1){1}}\put(0,.5){\line(1,0){1}}\linethickness{0,01mm}\put(.5,.5){\vector(1,0){.5}}\put(.5,.5){\vector(0,1){.5}}\put(.5,.5){\vector(2,1){.45}}\put(.5,.5){\vector(1,2){.225}}\put(.6,.2){$\phi_{ajn}$}\end{picture}}\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,1)\linethickness{0.025mm}\put(.5,0){\line(0,1){1}}\put(0,.5){\line(1,0){1}}\linethickness{0,1mm}\put(.5,.5){\vector(1,0){.5}}\put(.5,.5){\vector(0,1){.5}}\put(.5,.5){\vector(-1,0){.5}}\put(.5,.5){\vector(0,-1){.5}}\put(.6,.2){$\phi_{min}$}\end{picture}} La\u ue la anta\u ua rilato, la maksimo kongruas al la valoroj de $\phi = 2\pi n$ a\u u $a\sin(\theta) = n\lambda$ per kiuj $I = N^2I_f(\theta)$ kiam la $I_f$ estas faze. $\phi_{maks}$ estas $2\pi n$ kaj $\phi_{min} = 2\pi/N$. La diferenco inter maksimumo kaj minimumo estas $\Delta\phi = 2\pi a/\lambda(\sin\theta_{min} - \sin\theta_{maks}) = 2\pi/N$ a\u u $\sin(\theta_{maks}+\Delta\theta) - \sin(\theta_{maks}) = \lambda /Na$ do $\Delta\theta \simeq \lambda/Na$. Oni volas akiri al \ero{Distinga Kapablo} ser\v cante ia diferenco de ond longeco $\delta\lambda $. $\theta \simeq \sin\theta = n\lambda/a$ do $\delta\theta = \delta\lambda n/a$, $(n/a)\delta\lambda \geqslant \lambda/(Na)$ kie $\delta\lambda$ estas la pli malgranda diferenco videbla kaj \begin{displaymath}\frac{\lambda}{\delta\lambda} = nN\end{displaymath} estas la distinga kapablo de la difrakt reto.
\section{Muziko}
Oni difinas la \ero{Tono} la frekvenco de la noto kaj \ero{Timbro} la sono karakteriza de \v cio strumento. Oni scias ke la frekvenco de srumento estas $\nu=vl$ kie $l$ estas la lungeco de la kordo a\u u de resonanta [tubo] kaj $v$ estas la rapideco kiu por la kord strumentoj depenas de la lineare denseco $\mu=m/\Delta z$ kaj de la tensio de la kordo $\rho$ sekvante la le\v go $v=\sqrt{T/\mu}$. Por la aer strumentoj la rapideco depenas de la presiono kaj de la denseco de la medio $v=\sqrt{\partial \Pre/\partial \rho}$. Fakte la presiono ne estas grava kiel la tensio \v car la resonanta kavo de la strumento ampligas la fundamenta frekvenco kaj \v giaj armonikaj sur \v ciuj.\par
Poste la noto oni parolas pri la [akordo] kiu estas la superpono de du, tri a\u u pli notoj. La superpono de du notoj donas diversan efekton al la [askolto], si la du frekvencoj havas interan [rapporto]n inter ilin $n/m$ ciu $n$ osciloj de la unua noto la dua faros $m$ osciloj kaj la amplitudo de la sumo estas periodika kaj donas sono de frekvenco $\nu_{\sum}=n\nu_1=m\nu_2$ plue la frekvenco de la aliaj notoj. Si la frekvencoj ne havas interan [rapporto] la sono estas neperiodika kaj male \v satas al la [askolto]. Pli la rapporto havas malgrand interajn numerojn pli la suma sono donas [sensazione] de stabileco. La \ekz{Diada Akordo} kiu havas [rapporto]n pli malgrandan el \v ciuj estas $2/3$, prefere \v ciu du osciloj de la \ero{Fundamenta La} $440[Hz]$ oni havas noto pli alta $3/2\cdot 440[Hz]$ \v gin faris tri foje. La Grekoj inventis modon por konstrui notojn irante de la raportoj kun la fondamentalo. La akordado estas la defino de frkvencoj kiu elektas la notojn [\mbox{do re mi fa sol la si do}] \eroh{Pitagora}{Akordado} konstrui la sekvencon de notoj la\u ue [\mbox{1 \ldots 2/3  \ldots 2}] \v car la\u ue \homo{Pitagora} la numero kvin ne estas perfekto kial la perfektaj numeroj staras en la dek pukntaj triangulo. Eksistos anka\u u la \eroh{Tolomeo}{Akordado} kiu elektis la [raportoj] [\mbox{1 \ldots 2/3 \ldots 7/8 2}]. En la fino de la \fremd{barok}-a periodo oni inventis la \ero{Akordo Temperata} kiu elektas dekdu fiks intervalojn inter la notojn [\mbox{1 13/12 7/6 5/4 4/3 17/12 3/2 19/12 5/3 7/6 11/6 23/12 2}]
%\begin{figure}
%\lilypondfile[quote,nindent]{Skalo.ly}
%\end{figure}
\end{chapter}
