\begin{chapter}{Malvasta Relativeco}
\begin{section}{Introducio} Newton postulis tempo absoluta, omo\v gena kun energia konservado por isolata sistemo. Spaco absoluta, omo\v gena, isotropa kaj nevarianta per traslacio kiu konservas la angula momento. La le\v goj de la fiziko alprenas la sama formo en diversaj sistemoj de rilato kun rapideco relativa ne\v san\v ga. $\vet F = m\vet a$ per \ero{Rilato Inercia} $\vet x' = \vet x + \vet vt$\spa$t' = t$\spa$|\Delta \vet x| = ||\Delta\vet x|$. Le\v go de kompono de la rapideco: $\dot{\vet x'} = \dot{\vet x} + \vet v$ do ne eksistas absoluta rapideco kaj $\vet v + \vet c$ ne estas kotra\u udira. Si kontra\u udiras anstata\u e, kun la elektromagnetismo de Maxwell la\u kiu $\square\vet E(x,t) = 0$\spa$\square H(x,t) = 0$. La sistemo de rilato solidala kun la etero estas sekve elektita kaj traktas la rapidecoj de propagado de la ondoj en la sistemo de rilato de la ondoj en la sistemo de la etero. Michelson-Morley [1881-1897] 
\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,.5)\put(0,0){\vector(1,0){1}}\put(0,0){\vector(1,2){.5}}\put(.5,1){\vector(1,-2){.5}}\put(0,1){\line(1,0){1}}\multiput(.5,0)(0,.2){5}{\line(0,1){.1}}\multiput(.47,.145)(0,.2){5}{.}\put(.4,-.2){$v_0t$}\put(.55,.4){$l$}\put(0,.5){$ct$}\end{picture}} $v_0 \simeq 3\cdot10^2m/s$ $(ct)^2 = l^2 + (v_0t)^2$\spa$t = 2\frac{l}{c}\frac{1}{\sqrt{1 + v^2/c^2}}$ $t = \frac{l}{c +v}+\frac{l}{c + v'} = 2\frac{l}{c}\frac{1}{1 - v^2/c^2}$ $t_\perp - t_\parallel = 2\frac{l}{c}\big(\big(1 + \frac{v^2}{2c^2}\big) - \big(1 + \frac{v^2}{c^2}\big) + o(\frac{v^2}{c^2})$ \v car $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + o(x^2)$ $t_\perp - t_\parallel \simeq \frac{l}{c}\frac{v^2}{c^2}$ $\Delta\lambda = l\frac{v^2}{c^2}$ $n = \frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \frac{l}{\lambda}\frac{v^2}{c^2}$. [1887] $\Delta n = 0.01$ $l = 11m$. Nenia fazdiferenco. Fitzgerald (la braco en la direcio de la movo malgrandi\v gas) 
\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,-.5)\put(.2,0){\vector(0,1){.5}}\put(.2,0){\vector(1,0){.8}}\put(.2,.5){\vector(0,-1){.5}}\put(1,0){\vector(-1,0){.8}}\put(0,.5){\line(1,0){.4}}\put(1,-.2){\line(0,1){.4}}\put(.5,.3){$\vet v_0$}\put(.5,.2){\vector(1,0){.3}}\end{picture}} Michelson-Morley (etera translokado). se la longeco malgrandi\v gas de ia faktoro $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$. Konsiste, la\u u Lorentz, pro la malgrandi\v go de la longecoj sekvas la grandi\v go de la tempoj  kaj priskribas la le\v go per la \v san\v go de la spacakaj tempa koordinataj de la etero al rilata sistemo movade la\u ue \v gi kiu plutenas la movaj ekvacioj. En la 1905 Poincar\'e proponis ke, \v ciuj fizik le\v go estas nevarianta per trasformacioj kaj necessis ke, la le\v goj di trasforma\v jo estis tiuj de Lorentz. Poste Einstein eldonis la artikolo en kiu aperas la malvasta relativeco kaj malaperas la eter koncepto plutenas absoluta la rapideco de la lumo por \v ciuj rilat sistemo.\end{section}
\begin{section}{Aksiomoj de la Malvasta Relativeco} \begin{itemize}\item[$I)$] La spaco estas isotropa kaj la spactempo estas omo\v gena. \item[$\mathit{II)}$] Principo de Einsten-a relativeco: fizik le\v goj havas la sama formo en \v ciuj inerciaj rilatoj. \item[$\mathit{III)}$] La lum rapideco en la vakuo samas en \v ciuj inerciala rilatoj.\end{itemize} c estas absoluta kostanto kaj revokas iu dependeco inter spaco kaj tempo $|\Delta x|^2 = c^2|\Delta t|^2$\spa$|\Delta x|$ kaj $|\Delta t|$ estas ne nevarianta ne separe. La supono de la nevariateco de la spacaj intervaloj ne estas apriore pravigita en opera modo. Oni konsidearas ia stango rialata al $S$ kaj paralela al la rapideco de $S$ rilate $S'$. La mizura de la stango per metro la\u u $S$\spa$P'R'$ estas fotita de $S'$ dum la movo. 
\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,0)\linethickness{.075mm}\put(0,0){\vector(0,1){1}}\put(0,0){\vector(1,0){1}}\put(.3,.2){\vector(1,0){.8}}\put(.3,.2){\vector(0,1){.8}}\linethickness{.3mm}\put(.5,0){\line(1,0){.3}}\put(.5,.4){\line(1,0){.3}}\linethickness{.075mm}\multiput(.5,0)(0,.05){8}{\line(0,1){.025}}\multiput(.8,0)(0,.05){8}{\line(0,1){.025}}\put(.05,.8){$S$}\put(.3,.8){$S'$}\put(.4,-.2){$P'$}\put(.7,-.2){$R'$}\put(.4,.4){$P$}\put(.7,.4){$R$} \end{picture}}
\par{\large Aksiomaj Konsekvencoj}\\ Spontaneco relativa: \v ceestas $c$ absoluta kiu permetas de trasformi tempa koordinatoj en spaca koordinatoj. 
\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,0)\linethickness{.1mm}\put(0,-.1){\vector(0,1){1}}\put(-.1,0){\vector(1,0){1.2}}\put(.5,0){\line(1,1){.5}}\put(.5,0){\line(-1,1){.5}}\linethickness{.075mm}\multiput(.1,0)(0,.05){8}{\line(0,1){.025}}\multiput(.9,0)(0,.05){8}{\linethickness{.1mm}\line(0,1){.025}}\put(.05,.7){$ct$}\put(.9,.1){$x$}\put(.05,-.2){$A$}\put(.4,-.2){$O$}\put(.8,-.2){$B$}\put(.8,.8){$S$}\end{picture}} La trajektoroj de la lum radio estas al $\frac{\pi}{4}$ kaj $\frac{3\pi}{4}$ kun $A$,$O$,$B$ solidara al $S$. Simultaneco de la observo de la radio. Se $S$ movi\v gas kun rapideco $v$ rilate $S'$\spa$x' = x + vt$. Se la sistemo estas en movo la eventoj ne estas pli nedipenda. La direcio de la lumo estas la dusekcanto de la aksoj. Oni konsideras la trajektoro en $S$ de $O$\spa$x' - vt' = x_0$ kostanta en $S'$\spa$x = x_0$ en $S$ $\frac{x' - vt'}{x} = cost = \alpha$\spa$\alpha x = x' -vt'$. Pro la reciprokeco se oni \v san\v gas $S$ kun $S'$\spa$(x,t) \leftrightarrow (x',t')$ $v \to -v$\spa$\alpha x' = x - vt$\spa$t' = \frac{1}{\alpha}\big(t + \frac{1 - \alpha}{v}x\big)$. Trudinte la nevarianco de tempa intervalo $\alpha = 1$ do Galileo-a le\v go. Trudinte la kostanteco de la lum rapideco $x' = ct' \leftrightarrow x = ct$\spa$\alpha ct = ct' - vt'$\spa$\alpha ct' = ct + vt$ $\alpha^2 + c^2 = c^2 - v^2$\spa$\alpha = \pm \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$. Pro $v = 0$ $\alpha \simeq 1$\spa$\alpha = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ 
\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,0)\linethickness{.1mm}\put(.05,.85){$S$}\put(0,-.1){\vector(0,1){1}}\put(.8,.65){$ct$}\put(-.1,0){\vector(1,0){1.2}}\put(1.1,.05){$x$}\put(.5,0){\line(1,1){.7}}\put(.5,0){\line(-1,1){.5}}\multiput(.085,0)(.01,.03){10}{\tiny{.}}\put(.05,-.2){$A$}\multiput(.885,0)(.01,.03){21}{\tiny{.}}\put(.8,-.2){$B$}\multiput(0,.29)(.05,0){4}{\tiny{.}}\multiput(0,.59)(.05,0){22}{\tiny{.}}\multiput(1.08,.58)(.01,-.03){12}{\tiny{.}}\put(.2,.3){\line(3,1){.9}}\put(.8,.8){$S'$}\put(.5,0){\vector(1,3){.3}}\put(.05,.7){$ct'$}\put(.5,0){\vector(3,1){1}}\put(1.3,.4){$x'$}\put(.4,-.2){$O$}\end{picture}} \begin{displaymath} x' = \frac{x + vt}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \qquad \qquad \qquad t' = \frac{t - \frac{v}{c^2}}x{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}.\end{displaymath} Do $|\Delta x| \neq |\Delta t|$ sed $|c\Delta t|^2 - |\Delta x|^2 = |c\Delta t'|^2 - |\Delta x'|^2$\begin{equation} \gamma\Delta x' = \Delta x \qquad \qquad \qquad \Delta t' = \gamma\Delta t\end{equation}
\begin{figure}[!h]\centering\includegraphics[width = 7cm, height = 5cm,angle = 0]{SpacoTempo.eps}\end{figure}\\$S'$ estas en movo rilate $S$ kun rapideco $v$ $x' = \gamma(x - vt)$ kun $\gamma = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$\spa$t' = (t - \frac{v}{c^2}x)\gamma$\spa$x^{'2} - (ct')^2 = \gamma^2(x - vt)^2 - \big(ct - \frac{v}{c}x\big)^2 = \gamma^2\big(x^2 + \beta t^2 - c^2t^2 -v^2/c^2 x^2\big) = x^2 + c^2t^2$ ke ne estas plusa definita fakte $x^2 - c^2t^2 > 0$ esta de spaca tipo, $x^2 - c^2t^2 < 0$ de tempa kaj $x^2 - c^2t^2 = 0$ lume. Longeco kaj tempo estas relativaj al rilata sistemo, la unika absoluto estas la ima\v go spacotempa, prefere, la universa linio de ob\v gekto. Spacotempo de la  sprango. \\ \v Ciuj observantoj konkordas pri spacotempa mizurosen ne pri la divido en \v giaj komponoj. Sprando $\overline{x_A'x_B'}$ in $S'$\spa$t = \gamma(t' - \beta x')$\spa$t_A = t_B \Rightarrow t_A' - t_B' = \frac{v}{c^2}(x_B' - x_B')$\spa$x_B - x_A = \gamma(x_B'+ vt_B) - (x_A' + vt_A')\gamma = (x_B' - x_A')\gamma/\gamma^2 = \frac{1}{\gamma}(x_B' - x_A') < |x_B' - x_A'|$. Temp dilatado. $\Delta x = 0$\spa$t_B - t_A = \gamma(t_B' - t_A' - v/c^2 (x_B - x_A))$.\ekz{Defalo} Partiklo meza $\pi^0\to \gamma + \gamma$. Piono kiu defala en du fotonoj. $\pi^0$ havas meza vivo en sia rilato $\tau$\spa$\de{t}N = -\frac{N}{\tau}$\spa$N = N_0e^{-t/\tau}$\spa$N_0 = N(0)$\spa$\langle \tau\rangle = \int^{+\infty}_{0}e^{-t/\tau}\mathit{d}t/\int^{+\infty}_{0}e^{-t/\tau}\mathrm{d}t$ por \v ciuj partikloj rimarkitaj. Oni havas ia $\pi^0$ kiu movi\v gas kun rapideco $v$ rilate la laboratorio, oni indikas per $S$ la rilato solidara a $\pi^0$ kaj per $S'$ tiu de la laboratorio. En $S'$ la longeco de la kamino perkurita de  $\pi^0 \simeq L = \theta t = \gamma \theta t$\spa$t' = \gamma \tau$\spa$L = \beta c \gamma \tau$.  En ia akcelaratoro $\beta \simeq 0.99995$\spa$\gamma \simeq 10$\spa$\tau_{\pi^0} = 2\cdot 10^{-8}s$\spa$L = 400m$. Se ne valoru la temp dilato $t = \tau$\spa$L = c\beta\tau \simeq 6m$.\end{section}
\begin{section}{Lorentz-aj Trasformoj} 
\subsection{Legxo de Distanca Kumpreno}$\vet v = \de{t}\vet x $ en $S$\spa$\vet v = (v_x,v_y,v_z)$\spa$v_x' = \de{t}x' = \gamma(\mathrm{d}x - v\di t) \cdot 1/\gamma(\di t - v/c^2 \di x) = (v_x - v_0)/(1 - v_0v_x/c^2) $ \begin{equation} v' = \frac{v_x - v_0}{1 - \frac{v_0v_x}{c^2}}\end{equation} \v car la diferencialaj $\di x' = \gamma(\d x - v \d t)$ kaj $\di t' = \gamma(\di t - v/c^2 \d x)$; $v_y' = \de{t'}y' = \de{t} y/\gamma(\di t - v/c^2\di y) $ \begin{equation} v' = \frac{v_y}{\gamma(1- \frac{v_0v_x}{c^2})}.\end{equation} En aproksimo ne relativeca per $\beta\to 0$\spa$\gamma \to 1$, se $v_x = c$\spa$v+x' = c$.
\subsection{Evento} Evento estas fenomeno kiu okazas en ia spaca punkto en ia rilato $s$ per Cartesio-aj koordinatoj $(x_1,x_2,x_3)$ kaj en ia momento priskribita en rilato $S'$ en koordinato $x^0$ deskribita per $ct$\spa$(x^0,x^1,x^2,x^3) = x^\mu$. Donata du eventoj A kaj B kun Cartesio-aj koordinatioj en $S'$\spa$x^\mu_A,x^\mu_B$ oni nomas intervalo spac tempa inter $A$ kaj $B$ la grando $s_{AB}$  tiu ke $s^2_{AB} = \Delta^2x^0 - \Delta^2x^1 - \Delta^2x^2 - \Delta^2x^3$. Se $A$ kaj $B$ estas tra luma trajektoro $s_{AB} = 0$ dume se $A$ kaj $B$ estas tra trajektoro de masa partiklo $|\vet v| < c \Rightarrow s^{2}_{AB} >0$ \v ciam. La trajektoro estos en la luma kono \begin{legxo}La spac tempa intervalo estas ne varianta per trasformo inter rilatoj alprenante c kostanta.\end{legxo} Dim: Per ininitezimaj intervaloj $\di s^2 = (\di x^0)^2 - (\di x^1)^2 - (\di x^2)^2 - (\di x^3)^2$. Pro la kondico de omo\v geneco de la spac tempo oni havas la linereco de la trasformacioj de koordinatoj en $S'$\spa$x^{'\mu} = \De{x^\mu}f^\mu\di x^{'\mu}$. Pro la omo\v geneneco ne povas dipeni de la punkto $x \Rightarrow \De{x^\mu}f^\nu(x) = \Lambda^\mu\nu$ Jacobi-a nedipenda de $x$. $\di x^{'\mu} = \sum_\nu \Lambda_\nu^\mu\di x^\nu\to x^{'\mu} = \sum _\nu\Lambda^\mu_\nu x^\nu + a^\mu$\spa\noto{$\mu = 0,1,2,3$}\noto{$i = 1,2,3$} $\di s^{2'} = (\di x^{0'})^2 - (\di x^{1'})^2 - (\di x^{2'})^2 - (\di x^{3'})^2 = \sum_\nu(\Lambda_\rho^0\Lambda_\nu^0 - \Lambda^i_\rho\Lambda^i_\nu) = \sum_{\nu\rho} g_{\nu\rho}\di x^\nu\di x^\rho$\spa$g_{\nu\rho} = \Lambda^0_\nu\Lambda^0_\rho - \sum_i\Lambda^i_\nu\Lambda^i_\rho$. $4\times 4 = 16$ kostantoj. \par Per simetrio $\di x^\nu\di x^\rho = \di x^\rho\di x^\nu$\spa$g_{\nu\rho} = g_{\rho\nu}$ \par \ekz{Luma Radio} Propagi\v gas es $S$ tra $x$ do: $\di x^2 = \di x^3 = 0$\spa$(\di s')^2 = 0 = g_{00}(\di x^0)^2 + 2g_{01}\di x^0\di x^1 = g_{11}(\di x^0)^2$. Aldone: $\di x^0 = c\di t = \di x^1$\spa$c = \de{x^1}x^0(g_{00} + 2g_{01} + g_{11})(\di x^0)$. \par \ekz{Luma Radio Kontraxue} $\di x^1\to -\di x^1$\spa$0 = (\di s')^2 = g_{00}\di s^2 + \sum_{ij} \di x^i \di x^j$ per luma radio $g_{ij} = 0$ pro $i\neq j$ \begin{displaymath}\Rightarrow\left(\begin{array}{c c c c}g_{00}&0&0&0\\0&-g_{00}&0&0\\0&0&-g_{00}&0\\0&0&0&-g_{00}\end{array}\right) = g_{\nu\rho}\end{displaymath} $(\di s')^2 = g_{00}(\di s)^2$\spa$g_{00}$. Per la omo\v geneco de la spac tempo ne dipenda de $x$ sed de la relativa rapideco $\vet v$ inter la rilatoj $S$ kaj $S'$ sed ne de la direciode $\vet v$ estante la spaco isotropa, sed nur de sia modulo $|\vet v|$\spa$(\di s)^2 = g_{00}(|'\vet v|)(\di s)^2$ \v san\v gante $s$ kun $s'$\spa$\vet v\to - \vet v$\spa$g_{00}^2(|\vet v|) = 1$\spa$\vet v = \vet 0$\spa$g_{00}(|\vet v|) = 1 \Rightarrow g_{00} = 1$\begin{equation}G = g_{\nu\rho} = \left(\begin{array}{c c c c}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}\right)\qquad (\di s)^2 = (\di s')^2\end{equation}
\subsection{Grupo Lorentz Poincar\'e-a}
\begin{mat}{Grupo} La \ero{Grupo} estas ia aro $G$ donita de \begin{itemize}\item[-]Le\v go de interna asocia kompono\item[-]Inversa ene en $G$ por \v ciu elemento de $G$\spa$g_1,g_2\in G$\spa$g_1 quadratino g_2 = \imath \in G$. '\item[-] $\exists l \in G \quad | \quad g\cdot l = l\cdot g = g, \forall g\in G$\item[-] $\forall g \in G \quad \exists g' \in G \quad | \quad g^{-1}g = gg^{-1} = l$\end{itemize} \ero{Matrica Notacio} \begin{displaymath} g_{\mu\nu} = G\quad x^\mu = \vek{x^0\\x^1\\x^2\\x^3}\quad \nul^tx^\mu = (x^0,x^1,x^2,x^3)\quad  \Lambda = \Lambda^\mu_{\kar\nu} = \left(\begin{array}{c c c} \Lambda^0\karb{0} & \Lambda^0_{\kar 1} & \ldots \\ \vdots && \ddots\end{array}\right)\end{displaymath} Konvencio Einstein-a: si du leteroj estas repetita en la sama membro oni obtenas la \ero{Indicoj Saturitaj} \v car oni agas la sumo malaperigante tiu termon. \begin{displaymath}G = g_{\mu\nu} \quad  G^{-1} = g^{\mu\nu} \quad(GG^{-1})^\mu\karb\nu \quad g^{\mu\rho}g_{\rho\nu} = \sum_\rho g^{\mu\rho }g_{\nu\rho} = \delta^\mu\karb\nu \end{displaymath}\end{mat}
Condico de lineari\v go de la trasformoj. $\hat x^{\mu} = \Lambda^\mu\karb\nu x^\nu + \alpha^\mu$\spa$\hat x = \Lambda x + a$\spa$\trasp \hat x = \trasp x\trasp \Lambda + \trasp a$\spa$\di \hat x = \Lambda \di x$\spa$ \di \trasp \hat x = \\di\trasp x \trasp\Lambda$\spa$\di \hat s^{2} = g_{\mu\nu}\di x^\mu\di^\nu$\spa$\di\hat s^2 = g_{\mu\nu}\di\hat x^\mu \di\hat x^\nu = g_{\mu\nu}\di x^{\mu}\di x^\nu = \di s^2$. $\di \trasp \hat x G\di x = \di\trasp \hat x G\di \hat x = \di \trasp x G \di x = \di\trasp x \trasp \Lambda G \Lambda \di x \Rightarrow \trasp\Lambda G\Lambda = G$. La trasformoj kiuj [lascia] nevariata $\di s^2$ estas $ \hat x = \Lambda x + a$ kun $ a \in \R^4$\spa$\Lambda\in M_{4x4}$, kiu [soddisfa] $\trasp\Lambda g\Lambda = G$ ke kun suma le\v go kreas grupo de la trasformoj spac tempaj. La kuplo $\{\Lambda ,a\}$ definas la \ero{Grupo Poincare-a} kun kompono le\v go $\{\Lambda_1,a_1\}\circ\{\Lambda_2,a_2\} = \{\Lambda_1\Lambda_2,\Lambda_1a_2,a_1\}$ \v car $\hat x = \Lambda_2  x + a_2$\spa$ \hat{\hat{x}} = \Lambda_1 \hat x + a_1 = \Lambda_1 (\Lambda_2 x + a_2 ) + a_2 = \Lambda_1 + \Lambda_2 x + \Lambda_1a_2 + a_1$. Por [dimostrare] ke estas le\v go de kompono oni devas [dimostrare] $\trasp \Lambda_1 G\Lambda_1 = G$\spa$ \trasp \Lambda_2 G \Lambda_2 = G$ do $\trasp(\Lambda_1\Lambda_2)G \Lambda_1\Lambda_2 - \trasp\Lambda_2G\Lambda_2 = G$. Associeco: $ e = \{\mathbb{1},0\}\{\Lambda_1,a_1\}\{\mathbb{1},0\} = \{\Lambda_1,\Lambda_1\cdot 0 + a_1\}$; $\{\Lambda_{-1},\Lambda^{-1} a_1\}\{\Lambda,a\} = \{\Lambda^{-1}\Lambda\Lambda^{-1}a - \Lambda^{-1} a_1\} = \{\id,0\}$. Ponante $\Lambda = \id$ en la Poincare-a grupo $\mathcal{P}$ oni obtenas la grupo de la trasformoj nomita Lorentz-a $\mathcal{L}$. Oni observas ke por $\Lambda \in\mathcal{L}$\dm{\mathnormal{det}G = \mathnormal{det}\trasp \Lambda g\Lambda = \det\trasp \Lambda\det G\det\Lambda = \det\nul^2\Lambda\deg G = -\det\nul^2\Lambda \Rightarrow \det\nul^2\Lambda = 1} Se $\det(\Lambda) = 1$ kaj $\Lambda \in\Lo \Rightarrow \Lambda \in \Lo_+$, se $\det \Lambda = -1 \Rightarrow \Lambda \in \Lo_-$. $1 = g_{00}$\spa$(\Lambda g_{00})^2 - \sum_1\Lambda^i\karb 0 \Lambda ^i\karb 0 $\spa$(\Lambda^0\karb 0)^2 = 1 + \sum_i \Lambda^i\karb 0 \Lambda^i\karb 0 \neq 1$\spa$1 <= \Lambda^0\karb 0 \in \Lo^{\uparrow}$, se $1 \neq \Lambda^0\karb 0 \in \Lo^{\downarrow}$. La propra Lorentz-a grupo estas $\Lo_+^\uparrow$\spa$\Lambda \in \Lo$\spa$\det\Lambda = 1$\spa$\Lambda^0\karb 0 \neq 1$. La grupoj $\Lo_+^\uparrow$\spa$\Lo_+^\downarrow$\spa$\Lo_-^\uparrow$\spa$\Lo_-^\downarrow$. $\Lambda$ havas dusek parametroj se pro $\trasp \Lambda G \Lambda = G$ sek estas simetraj kaj kvar sul la diagonalo,; dek estas nedipenda, tri korespondas al la rotacioj $yz,zx,xy$, tri al la rotacioj $xt,yt,zt$. La matrico $\lambda$ rilativa al $xt$ reprezenti\v gas per \begin{displaymath} \Lambda = \left(\begin{array}{c c c c}\gamma&-\beta\gamma&0&0\\-\beta\gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\end{displaymath} $\hat x = \Lambda x$\spa$ \hat x^0 = \gamma x^0 - \beta\gamma x^1$\spa$ \hat x^1 = -\beta\gamma x^0 +\gamma x^1$\spa$\hat x_2 = x^2$\spa$\hat x^3 = x^3$. La rotacioj kaj trasformoj de Loretz longe $x,y,z$ kreas $\Lo^\uparrow_+$.La funkcioj en la grupo $\Lo^\uparrow_\pm$ estas obteneblaj de trasformoj de $\Lo^\uparrow_+$ kiel \begin{ekze}{Pareco} $\in \Lo^\uparrow_+$\begin{displaymath}P = \left(\begin{array}{c c c c } 1&&&\\&-1&&\\&&-1&\\&&&-1\end{array}\right)\end{displaymath}\end{ekze}a\u u $\in \Lo^\downarrow_+$\begin{ekze}{Tempa Nevariacio}\begin{displaymath}T = \left(\begin{array}{c c c c } -1&&&\\&1&&\\&&1&\\&&&1\end{array}\right)\end{displaymath}\end{ekze} tiu ke $PT = -\id$, kaj $\Lo^{\uparrow\downarrow}_{\pm} = \mathcal{C}^{\uparrow\downarrow}_{\pm}$.\\ Jare [1957] estis dekovrita la violacion de la pareco Lee-Young-a pro $n \to p + e + \nu$. La fizikaj le\v goj estas nevarianta sub la le\v goj de la Poincare-a propra grupo.
\subsection{Metriko Pseud Euclide-a} $\di s^2={\di x^0}^2-{\di x^1}^2-{\di x^2}^2-{\di x^3}^2$ povas esti nega. En $\R^4$ la metriko pse\u ud Eclide-a estas donita de la Minkovskij-a spaco. $x^4\EDef \imath x^0$\spa$\di s^2=-\sum_{i=1}^4(\di x^i)^2$, trasformante $x^2=x^3=0$\spa${x^4}'=x^4 \cos\xi+x^1\sin\xi$\spa$\xi\EDef\imath\psi$\spa$\psi\in\R$. Tensora kalkulo: necesa por la ne Euclide-a metriko, la Poincar\'e-a grupo priskribas la spaco-tempajn trasforma\v jojn. Por izolita sistemo la fizik le\v goj devas havi la sama formo en \v ciuj sistemoj. $\vet x'=R\vet x +a$\spa$\vet x\EDef\trasp(x^1,x^2,x^3)$ por $\vet A=\vet B$\spa$\vet A' =R\vet A$\spa$\vet A'=\vet B'$\spa$R\vet A=R\vet B$, la le\v goj ekprimitaj en vektora formo havas la saman formon en \v ciuj rototraslacia sistemoj. $\sum V^iV^j$ de la $\sum R'VRV$ ne relativeca al $\sum  R^iR^jVV$ relativeca. Trasforma\v joj inter inerciaj rilatoj. Vektoro $A^\mu$\noto{$/mu =0,1,2,3$}\spa$\{\Lambda,a\}\in\mathcal P$. Traslacioj ${A^\mu}'=\Lambda^\mu_{\kar\nu}A^\nu$. $x^4$ ne estas kvar vektoro \v car ${x^\mu}'=\Lambda^\mu_{\kar\nu} x^\nu+a^\nu\neq \Lambda^\mu_{\kar\nu}x^\nu$. $\di x^\mu$ estas kvar-vektoro \v car ${\di x^\mu}'=\Lambda^\mu_{\kar\nu}\di x^\nu$. Kvar-skalaro $(A | \trasp A=A)$. $\di s^2$ estas kvar-vektoro. Alternanta kvar-vektoro $A^\mu\mapsto {A^\mu}'=\Lambda^\mu_{\kar\nu}A^{\nu}$\spa$A_\mu=g_{\mu\nu}A^\nu$. Konta\u uvarianta kvar-vektoro (indicoj subaj) ${A^\mu}'=\Lambda^\mu_{\kar\nu}A^\nu$\spa$g_{\mu\nu}'=g_{\mu\nu}$\spa'?$A'_\mu=g_{\mu\nu}A^\nu=g_{\mu\rho}\Lambda^\nu_{\kar\rho}= $?'$A^\nu=(G^{-1})^{\nu\rho}A_\rho=g_{\mu\nu}A^\nu_{\kar\rho}=g_{\mu\nu}\Lambda^\nu_\rho g^{\rho\sigma}A=\hat\Lambda_\mu^{\kar\sigma}A_\sigma$\spa$A_\mu'=\hat\Lambda_\mu^\sigma A_\sigma$. $A^0=A_0$ kovarianta, $A^i=-A_i$ kontra\u uvarianta. Oni devas difini la komponoj kovariantaj kaj kontra\u uvariantaj. \par Kontra\u uvariantaj vektoroj $A^\mu$\spa$\{\Lambda,a\}$\spa$A^\mu\mapsto A^\mu_\nu A^\nu$. Kovariantaj vektoroj $A_\mu=g_{\mu\nu}A^\nu$\spa$\{\Lambda,a\}$\spa$A_\mu\mapsto\hat\Lambda_\mu^\nu A_\nu$\spa$\hat\Lambda_\mu^\nu=g_{\mu\nu}\Lambda^\rho_\sigma g^{\sigma\nu}$. De la ekvacio $\trasp\Lambda G\Lambda=G$ multiplikita dekstre per $G^{-1}$\spa$G\Lambda G^{-1}=\trasp\Lambda^{-1}$\spa$(G\Lambda G^{-1})_\mu^\nu=g_{\mu\rho}\Lambda^{\rho}_{\kar\sigma}g^{\rho\nu}=\hat\Lambda_\mu^{\kar\nu}$\spa$\hat\Lambda=\trasp\Lambda^{-1}$\spa$\{\Lambda,a\}$:$A^\mu B^\nu\mapsto \Lambda^\mu_{\kar\rho}\Lambda^\nu_{\kar\sigma}A^\rho B^\sigma$. \par Tensora al\v gebro $A^\mu$, $B_\mu$\spa$A^\mu B_\mu=A_\mu B^\mu$ estas nevarianto sub Poincare-a trasforma\v joj, estas kvar-skalaro. ${A^\mu}'{B_\mu}'=\Lambda^\mu_{\kar\nu}A^\nu\hat\Lambda_\mu^{\kar\rho}B_\rho=\Lambda^\mu_{\kar\nu}(\Lambda^{-1})^\rho_{\kar\mu}A^\nu B_\rho$\spa$(\Lambda^{-1})^\rho_{\kar\mu}\Lambda^\mu_{\kar\nu}=\delta^{\rho}_{\kar\nu}$\spa${A^\mu}'{B_\mu}'=B_\rho\delta_\nu^{\kar\rho}A^\nu=B_\nu A^\nu=A$ \begin{itemize}\item[-] Duobla tensoro kontra\u uvarianta $\{\Lambda,a\}:T^{\mu\nu}\mapsto\Lambda^\mu_{\kar\rho}\Lambda^\nu_{\kar\sigma}T^{\rho\sigma}$\item[-] Duobla tensoro kovarianta $\{\Lambda,a\}:T_{\mu\nu}\mapsto\hat\Lambda_\mu^{\kar\rho}\hat\Lambda_\nu^{\kar\sigma}T_\rho$ \item[-] Duobla tensoro miksa $\{\Lambda,a\}:T_\mu^{\kar\nu}\mapsto\hat\Lambda_\mu^{\kar\rho}\Lambda^\nu_{\kar\sigma}T_\rho^{\kar\sigma}$ \item[-] Pse\u udotensoro de I speco $\{\Lambda,a\}:T^{\mu\nu}\mapsto(\det\Lambda)\Lambda^\mu_{\kar\rho}\Lambda^\nu_{\kar\sigma}T^{\rho\sigma}$ \item[-] Pse\u udotensoro de II speco $\{\Lambda,a\}:T^{\mu\nu}\mapsto\sgn(\Lambda^\mu_{\kar\rho})\Lambda^\nu_{\kar\sigma}T^{\rho\sigma}$\end{itemize} 
\begin{mat}{Tensora Algebro} \nul $A_\mu B^\mu=A^\mu B\mu$ estas nevarianta per \homo{Poincare}-aj trasforma\v joj, estas kvarskalara. ${A'}^\mu{B'}_\mu=\Lambda^\mu_{\kar\nu}A^\nu\hat\Lambda_\mu^{\kar\rho}B_\rho = \Lambda^\mu_{\kar\nu}(\Lambda^{-1})^\rho_{\kar\mu}A^\nu B_\rho$\spa$(\Lambda^{-1})^\rho_{\kar\mu}A^\mu_{\kar\nu}=\delta^\rho_{\kar\nu}$\spa${A'}^\mu B_\nu'=B_\rho\delta_\nu^{\kar\rho}A^\nu=B_\nu A^\nu=AB$\end{mat}
$T^{\mu\nu\rho}_{\kar\alpha\beta\gamma}$ triobla tensoro kontra\u u varianta. $T^{\mu\nu\rho}_{\kar\mu\beta\gamma}=T^{\nu\rho}_{\kar\beta\gamma}$ indicaj kuntri\v go. Kontra\u uvarianta miksta de ordo sek kuntri\v gita en duobla konkta\u uvarianta.\par Tensoroj \Unu $g_{\mu\nu}$ duobla kovarianta \Du $g^{\mu\nu}$ duobla kontra\u uvarianta \Tri $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}=g$ se du indecoj egalas. $\vet A\times\vet B=\vet C_i=e^{ijk}A_jB_k$. $e^{ijk}$ nulas pro du egalaj indecoj, egalas 1 pro permuta\v joj para, -1 pro nepara. 
\begin{mat}{Ricci-a Tensoro} \nul $e^{\mu\nu\rho\sigma}\mapsto{\epsilon'}^{\mu\nu\rho\sigma}=\det(\Lambda) \Lambda^\mu_{\kar\alpha}\Lambda^\nu_{\kar\beta}\Lambda^{\rho}_{\kar\gamma}\Lambda^{\sigma}_{\kar\delta}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$\spa$\det(M)\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}=M^\mu_{\kar\alpha}M^\nu_{\kar\beta}M\MKon\rho\gamma M\MKon\sigma\delta$ kun $M$\spa$4\times 4$. \noto{$M=\Lambda\det\nul^2\Lambda=1$} ${\epsilon'}^{\mu\nu\rho\sigma}=\det\Lambda\det\Lambda\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ \end{mat}
\subsection{Tensoraj Kampoj} \v generigado de la vektoraj kampoj $\vet x=\trasp(x^0,x^1,x^2,x^3)$\spa$\phi(x)$\spa$\{\Lambda,a\}$\spa$\phi(x)=\phi'(x')$\spa$x'=\Lambda x+a$\spa$x=\Lambda^{-1}(x'-a)$\spa$\phi(\Lambda^{-1}(x'-a))=\phi'(x')$\spa$\phi(\Lambda^{-1}(x-a))=\phi'(x)$. Vektora kampo kontra\u uvarianta $A^\mu(x)$\spa$\{\Lambda,a\}$\spa${A'}^\mu(x')=\Lambda\MKon\mu\nu A^\nu(x)$ prefere: $A'_\mu(x)=\hat\Lambda\MKo\mu\nu A_\nu(x)$. \ekz{Tensora Kampo} $\phi$ skalara $\partial_{x^\mu}\phi=\partial_\mu\phi$ estas kontra\u uvarianta kampo vektora. $\partial_\mu\phi$ nomi\v gas kvar gradianto de $\phi$. De la ekvacio $\phi'(x')=\phi(x)$ derivante la\u ue $x'_\mu$ \dm{\De{x'_\mu}\phi'(x')=\partial'_\mu\phi'(x')=\De{x'_\mu}\phi(x)=\De{x^\nu}\phi(x)\De{x'_\mu}x'=(\Lambda^{-1})\MKo\mu\nu\partial_\nu\phi(x)=\hat\Lambda\MKo\mu\nu\partial_\nu\phi(x)} La ekvacioj en formalismo tensora diri\v gas kontra\u uvarianta al vido. $X^\mu(\tau)$\spa$X^{\mu}(\tau+\Delta\tau)$\spa$\di X^\mu=X^\mu(\tau+\di\tau)-X^\mu(\tau)$\spa$\di s^2=\di x^\mu\di x_\mu\geq 0$ do oni povas subrakigigis \dm{\di s=\sqrt{\di x^\mu\di X_\mu}= \sqrt{c^2\di t^2-\di {x^i}^2} = c\di t \sqrt{1-\beta^2}} $\di s$ estas nevarianta per \homo{Poicar\'e} prefere estas skalara tiom $\di t$. Oni povas konsideri le trajektoro kvartemporala de punkto a\u u sia universa linio kun $s(\tau_0)$. \ero{Kvar Rapideco} $u^\mu=\di_sx^\mu$ estas kvarvektoro \v car $\di x^\mu$ tio estas kaj $\di s$ skalaras. \dm{c\vet u=\frac cc \frac{\di x}{\di t\sqrt{1-\beta^2}}=\gamma\vet v \qquad cM^0=\frac{\di x^0}{c\sqrt{1-\beta^2}\di t}=\frac{c^2}c\gamma\frac{\di t}{\di t}=\gamma c} La kvar komponoj de $x^\mu$ ne estas nedepenentaj \v car $u^\mu u_\nu=\di_sx^\mu\di_sx_\mu=\di_{s^2}s^2=1$. \ero{Kvar Akcelo} $w^\mu=\di_s u^\mu=\di^2_{s^2}x^\mu$\spa$c^2\vet w=c\di_s\vet w=c/c\gamma\di_t(\gamma\vet v)$\noto{$u^\mu   u_\mu=1$}\dm{\de su^\mu u_\mu=2\de su^\mu u_\mu+u_\mu\di   su^\mu}$w^\mu u_\mu=0 \Rightarrow$ kvar rapideco kaj kvar akcelo ortogonalas. \ero{Kvar Impulso} $m$ ripoza maso $p^\mu=mcu^\mu$\spa$\vet p_{rel}=mc\vet u=\gamma m\vet v\stackrel{\beta\mapsto 0}{\longrightarrow} mv$\spa$p^0=mcu^0=\gamma mc$\dm{cp^0=   \frac{mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}}\stackrel{Taylor}=mc^2\Big(1+\frac12\frac{v^2}{c^2}+O(v^2)\Big)=mc^2+\frac12mv^2}. $cp^0$ diferigas de la energio pro la termo $mc^2$. \dm{p^\mu=\trasp\Big(\frac\En{c},\vet p_{rel}\Big)}$p^\mu p_\mu=m^2c^2$\spa$u^\mu u_\mu = (mc)^2+{p^0}^2=m^2c^2+\vet p^2$\spa$\E_{rel}=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$\spa$\vet v/c=\vet p/p^0$\spa$p_0^2>{p^0}^2$  \noto{ $\frac{\vet v}{c}<1$\spa$m>0$} Por partikloj sine maso $\vet v/c = 1$. La partikloj kun maso havas $v<c$, tiuj kun nula maso $v=c$. E\v c estinte la energio difinita por kostanto adicia oni ne povas poni $\E =cp_0=mc^2$\v car ne estas la kompono de kvar vektoro de estas nevarianta sub la trasfotma\v goj de \homo{Poincar\'e} kaj \v car en la procesoj kiu alvenas en la sistemoj izolitaj konservi\v gas la energio relativeca. $mc^2$ povas esti trasformita en energio \v car estas relativeca. \v Ciu korpo havas energion egala al $mc^2$. $\E_{rel}=cp_0=\gamma mc^2$\spa$p_{rel}=\gamma m\vet v$. Oni povas defini mason tiel $m(\vet v)=\gamma(\vet v)m_0$ sed $m(\vet v)$ ne estas skalaro relativeca.\ero{Kvar Forco} \noto{nerelativeca:$\vet F\de t\vet p_{nrel}$} $g^\mu=\di_sp^\mu$\spa$\vet g=\gamma\vet F_{rel}$\dm{g^\mu\de sp^\mu} $g^\mu=mcu^\mu$\spa$g^\mu u_\mu=0$ \v car $w^\mu u_\mu=0$. Le\v go de povo por $\vet F_{rel}$\spa$\vet g=\gamma \vet F$ kvar forco $\gamma g_0=\gamma/c^2 \vet F_{rel}\vet p$\spa$g_0=\di p^0 \gamma/c^2=\gamma\di_t\E$\spa$\di_t\E=\vet F_{rel}\cdot\vet v$\spa$g^0=\di_sp^0$\spa$g^\mu u_\mu=0$.\end{section}
\begin{section}{Procesoj en Relativeca Mekaniko}  
\subsection{Kvar impulso}  \Parto{Defalo} $m \to m_1 + m_2$  
\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,1)\put(0,.5){\vector(1,0){.5}}\put(.5,.5){\vector(3,1){.5}}\put(.5,.5){\vector(3,-1){.5}}\put(.2,.55){$m$}\put(.7,.8){$m_1$}\put(.7,.2){$m_2$}\put(.8,.42){$\theta$}\end{picture}} kvar impulso $p^\mu$. Oni povas konstrui ian nevarianton: $p^\mu p_\mu = m^2c^2$\spa$\p_1^\mu p_{2\mu} = \E_1\E_2/c^2 = \vet p_1\vet p_2$ nevarianta. En la rilato en kiu $m_1$ estas ferma $\E = \sqrt{m^2c^4 + c^2p^2}$\spa$p_1^\mu p_{2\mu} = 1/c^2\cdot m_1c^2\sqrt{m_2^2c^4 + p^2_2c^2} =$\noto{$ A^\mu B_\mu = AB$}$p_1^\mu p_{2\mu} = m_1\sqrt{m_2^2c^4 + c^2p^2}\geqslant m_1m_2c^2$. La masa centro estas la\u u difino la rilato pro kiu $\vet p_1 + \vet p_2 = 0$. \v Ci tiu rilato estas \v ciam alirebla. Se $V^\mu$ kun la eco $V^\mu V_\mu \geqslant 0\exists S | \vet V = 0$. Oni orietntas la aksoj pro ke $\vet V = (V_x,0,0)\Rightarrow V_0^2 - V_x^2 = 0 \Rightarrow \big|v_x/v_0\big| = 1$. Oni realigas Lorentz-a trasformo $\xi = v_x/v_0$\spa$v' = (v_0,\vet 0)$\spa$\gamma = 0$\spa$(p_1 + p_2)^2_* = \nmid$* rilate la masa centro$\nmid = 1/c^2(\E_1+\E_2)^2_* - (\zeta_1 + \zeta_2)^2_*c^2$. \v Car la sistemo estas izolita \begin{equation}p^\mu = p_1^\mu + p_2^\mu,\end{equation} $0 = g^\mu  = \de{t}p^\mu = 0$\spa$\sqrt{(p_1 + p_2)^2}$ moni\v gas nevarianta maso. $(p_1 + p_2)^2_* = 1/c(\E_1 + \E_2)^2_*$\spa$\E_{1*} = \sqrt{c^2p_{1*}^2 + m^2/_1c^4}$\spa$(p_{1}^{2} + p_2^2)^2 = (m_1 + m_2)^2c^4$\spa$p^2 = m^2c^2 \Rightarrow m \geqslant m_1 + m_2$. Partiklaj energio en la masa centro. $mc = 1/c (\E_1 + \E_2)_* = 1/c(\sqrt{m_1^2c^4+p_1^2c^2}+\sqrt{m_2^2c^4 + p_2^2c^2})_* = (mc - \sqrt{p_1^2 + m_1^2c^2})^2 = (m_2^2c^2 + p_1^2)$\spa$m^2c^2 - 2mc\E_1/c + \vet p^2 + m^2_1c^2 + \vet p^2 + m_1^2c^2 + \vet p^2 \Rightarrow$ \begin{equation}\E_1 = c^2\frac{m^2 + m_1^2 - m_2^2}{2m},\end{equation} $\E_2 = c^2(m^2 + m_2^2 - m_1^2)/2m$,  $|\vet p|_* = 1/c \sqrt{\E_{*\alpha}^2 - m_\alpha ^2c^4} = c^2 / 4m ((m^2 + m_1^2 -m_2^2) - 4m_1m_2)$. Ne eblas determini la valoro $\theta$. Rilato en la laboratorio $S$, en la masa centro $S_*$. $\E_{*\alpha} = c^2(M + m_2^2 - m_1^2)/ 2m$\spa$|\vet p|_* = \sqrt{\E_{*\alpha}^2 - m_\alpha^2c^2}$. En la laboartorio la eblaj valoroj de la impulso estas denterminonta. $M$ movi\v gas kun rapideco $\vet v$ \begin{equation}\E_m = \gamma mc^2.\label{MasaEnergio}\end{equation} Oni orientas la aksojn $(x,y)$ en kiuj plano i\v gas la defalo tra $\vet v$. La laboratorio movi\v gas kun rapideco $-\vet v$ rilate la masa centro. $\vet p_{*c}$\spa$\vet p_{*\alpha x} = p_*\cos(\theta_{*\alpha})$\spa$\vet p_{*\alpha y} = p_*\sin(\theta_{*\alpha})$\spa$\E_\alpha = \gamma(\E_{*\alpha} + V/p_{*\alpha x}) = \gamma(\E_{*x} + Vp_*\cos(\theta_{*\alpha}))$\spa$p_{\alpha x} = \gamma(p_{*\alpha x} + \beta/c \E_{*\alpha}) = \gamma(p_*\cos\theta_{*\alpha}) + \beta/c \E_{*\alpha}$\spa$p_{\alpha y} = p_{*\alpha y} = p_*\sin\theta_{*\alpha}$\spa$p_{\alpha z} = p_{*\alpha z} = 0$. La unika nekonata estas $\theta_\alpha ' $. Por determini la relazion inter $\theta_\alpha '$ kaj konata\v joj uzi\v gas \begin{equation}\Big(\frac{p_{\alpha x}}{\gamma} - \frac{\beta}{c}\E_{*\alpha}\Big)^2 = p_{*\alpha}^2\cos^2\theta_{*} \qquad p_{\alpha y} = p_*\sin\theta_* \end{equation} 
\begin{figure}[h]\includegraphics[width = 5cm, height = 3cm,angle = 0]{Elikso1.eps}\hspace{\stretch{1}}\includegraphics[width = 5cm, height = 3cm,angle = 0]{Elikso2.eps}\end{figure} \\ do oni akiras al ekvacio de la elikso per la variantaj $(p_x,p_y)$ $p_{\alpha x}/\gamma - \beta/c\E){*\alpha}^2 + p_{\alpha y}^2 = p^2_{*\alpha}$ a\u u\begin{equation}\frac{1}{\gamma^2p_*^2}\big(p_{\alpha x} - \gamma\frac{\beta}{c}\E_{*\alpha}\big)^2+\big(\frac{p_{\alpha y}^2}{p_{*}}\big)^2 = 1\end{equation} kiu provizas la valoron de la centro $(d = \beta/c \E_{*\alpha}\gamma,0)$ kaj la maksimuma angulo pro kiu la partikloj ne povas pluiri \begin{equation}d = \frac{\beta}{c}\gamma\E_{*\alpha} > s_x = \gamma p_* \qquad \beta > \frac{cp_*}{\E_{*\alpha}} = \frac{v_{*\alpha}}{c}.\end{equation} \Parto{Angulo} \Parto{Distribuo de Energio por la Partiklo de Defalo} $N$ Partikloj, defalas $\Delta N$ por energioj inter $\E$ kaj $\E + \Delta\E$. $\di N \to \E,\E + \di \E$ havas sia funkcio relativa $\di N/N(\E) = \di \chi(\E)$\spa$\rho(\E) = \de{\E} \chi(\E)$\spa$\rho\E\di \E$ frakcio de la partikloj kun origino en la laboratorio inter $\E, \E + \di \E$. En la masa centro la probablo de transigo $\di \Omega$\spa$\phi_*, \phi_* + \di \phi_*$\spa$\theta_*, \theta_* + \di \theta_*$ estas nedipenda de $\theta_*$ kaj $\phi_*$ 
\begin{figure}[h]\includegraphics[width = 7cm, height = 3cm,angle = 0]{AnguloSolida.eps}\end{figure} $\di \chi = \di \Omega/\Omega_{tot} = \di \Omega/4\pi$. $\di \chi = q/4\pi \di \phi_*\di\cos\theta_*$\spa$\di\chi = \frac12 \di\cos\theta_*$\spa$\theta_*(\E)$\spa$\E = \gamma(\E_* + c\beta p_*\cos\theta_*)$\spa$\E_*, p_*, \beta$ kostanta. Diferenciante $\di \E = c\beta\gamma p_*\cos\theta_*$\spa$\rho(\E) = \de{\E}\chi = \di{\cos\theta_*}\chi(\theta_*)1/(c\beta\gamma p_*)$ per rotacia nevarianco oni povas integigas en $\phi_*$. En tiu \v ci kazo estas nedipenda de $\E$. \v Car \begin{displaymath}\int_{\E_{min}}^{\E_{maks}}\rho(\E)\di\E = 1\end{displaymath} se $\rho(\E)$ ne dipendas de $\E$ \begin{equation}\E_{maks} = \gamma(\E_{*\alpha} + V\cdot p_{*\alpha}) \qquad \E_{min} = \gamma(\E_{*\alpha} - V\cdot p_{*\alpha}) = \frac{1}{\gamma 2 v p_*}\end{equation} 
\Parto{Kolizio Elastika}\hspace{\stretch{1}}$c = 1$\\ Konservo de la kvar impulso. Estas nevariantaj relativecaj $I)$ La skalaraj produktoj $p_1^2 = p_1^{'2}$\spa$p_1^2 = p_1^{'2} = m_1^2$,  $p_2^2 = p_2^{'2} = m_2^2$\spa$p_1p_2$\spa$p_1'p_2'$\spa$p_1p_1'$ \ldots Sek variablo kaj kvar konservoj kial du nedipenda variabloj $p_1 + p_2 = p_1' + p_2'$. \ero{Mandelstam-aj Variabloj} \begin{itemize} \item[] $s = (p_1 + p_2)^2_* $\spa$p_1^2 + p_2^2 + 2p_1p_2 = p_1^{'2} + p_2^{'2} + 2p_1'p_2'$ $m_1^2 + m_2^2 +2p_1'p_2'$  \item[]$t = (p_1 - p_1')^2 = (p_2 - p_2')^2$ Transfero de la kvar impulso $p_1'p_1 = p_2'p_2$ \item[] $n = (p_2 - p_1')^2 = (p_1 - p_2')^2$\spa$p_2p_1' = p_1p_2$ \end{itemize}
\marginpar{\setlength{\unitlength}{2cm}\begin{picture}(0,1)\put(0,.8){\line(2,-1){.6}}\put(.2,.7){\vector(2,-1){.1}}\put(.1,.8){$m_1$}\put(0,.2){\line(2,1){.6}}\put(.2,.3){\vector(2,1){.1}}\put(.1,.1){$m_2$}\put(.6,.5){\line(4,1){.5}}\put(.8,.55){\vector(4,1){.1}}\put(.7,.7){$m_1'$}\put(.6,.5){\line(1,-4){.1}}\put(.65,.3){\vector(1,-4){.01}}\put(.75,.1){$m_2'$}\multiput(0,.5)(.025,0){44}{\tiny{.}}\put(0,.6){$\theta_1$}\put(0,.35){$\theta_2$}\put(1.1,.5){$\theta_1'$}\put(.7,.35){$\theta_2'$}\end{picture}} Oni postulas $(2)$ senmova en la rilato de la masa centro $|\vet p_{*1}| = |\vet p_{*2}|$\spa$\E_{1*} + \E_{1*} = \E_{1*}' + \E_{1*}'$ ko varianta en $p_*\Rightarrow p_* = p_*'$\spa$s = (p_1 + p_2)^2 = m_1^2 + m_2^2 + 2\sqrt{p_*^2 + m_1^2}\sqrt{p_*^2 + m_2^2} = p_*^2$\spa$(\E_1 + \E_2)^2 = (\sqrt{p_*^2 + m_2^2} + \sqrt{p_*^2 + m_1^2})^2 \geqslant (m_1 + m_2)^2$\spa$t = (p_1 + p_1')^2 = (\E_{1*} - \E_{1*}')^2 - (\vet p_{1*} + \vet p_{1*}')^2 = - 2p_*^2(1 - \cos \chi) \leqslant 0$. Kalkulo de $s$ kaj $t$ en la laboratorio. La impulso de la partiklo $(2)$ estas $0$ $\vet p_2 = 0$\spa$\E_2 = m_2$. Pro la energia konservado: $\E_1 + m_2 = \E_1' + \E_2' \Rightarrow m_2 - \E_2' = \E_1' - \E_1$\spa$s = (p_1 + p_2)^2 = m_1^2 + m_2^2 + 2\E_1m_2$\spa$t = (p_1 - p_1') ^2 = (p_2 - p_2')^2 = 2m_2^2 - \E_2'm_2$\spa$p_*^2(m_1^2 + m_2^2 - 2\E_1m_2) = m_2^2(\E_1^2  m_1^2)$\spa$p_*^@ = (m_1^2(\E_1^2 - m_2^2))/(m_1^2 + m_2^2 - 2\E_1m_2) $, konata $p_{1*}$ oni eltiras $\E_{*1} = \E_1 - p_*^2/m_2 (1 -\cos\chi)$. \begin{displaymath}\E_{1min} = \frac{\E_1(m_1^2 + m_2^2) + 2m_1m_2}{m_1^2 + m_2^2 + 2\E_1m_2}\ \qquad \frac{\E_{1min}' - m_1}{\E_1 - m_1} = \frac{\E_{1*}'}{\E_{1*}} = (\E_1 - m_1)(m_1 - m_2)^2 .\end{displaymath} En Relativeca kazo $\E_1$ povas esti arbitre granda. En tiu \v ci esprimo ne aperas $m_2$ kaj tial la transigata energio povas esti granda anka\u u se $m_1 << m_2$. [...]\\. Trovu la geometera limito korispondanta al \v ciuj valoroj de $p_1'$\spa$p_2'$ en la laboratorio. De la impulsa konservo $\vet p = \vet p_1 + \vet p_2 $ analoge al defalo $p_\alpha$\spa$\alpha = 1,2$. $p_{\alpha x}$\spa$p_{\alpha y}$, \begin{displaymath}1 = \frac{p_{*y}'}{p_*^2} + \frac{1 - v_*^2}{p_\alpha^2}\big(p_{\alpha x}' - \frac{v_*\E_*}{\sqrt{1 - v_8^2}}\big)\end{displaymath} $v_* = |\vet p_1 + \vet p_2| / (\E_1 + \E_2) = |\vet p_1|(\E_1 + m_2) = v_*$\spa$p_*^2 = (m_2^2(\E_1^2 - m_1^2))/(m_1^2 + m_2^2 + 2\E_1m_2)$ \\ \[...\]
\end{section}
\begin{section}{Maxwell Lorentz-aj Ekvacioj en Kovarianta Formo al Vido}\begin{displaymath}\vec\nabla\times\vec E + \De{x^0}\vec B = 0\end{displaymath}$\vec\nabla \cdot \vec B = 0 \Rightarrow \exists \vec A | \vec B = \vec\nabla \times \vec A$\spa$ \vec\nabla \times (\vec E +\De{x^0}\vec A) = 0$\spa$ \exists \phi | \vec E + \De{x^0}\vec A = - \vec\nabla \phi$\spa$A$ kaj $\phi$ havas la samaj dimensioj kaj, sekve, la defino estas nevarianta sub trasformoj de [gauge] a\u u rekalibro $\vec A \mapsto \vec{\hat{A}} = \vec A - \vec\nabla \Lambda$\spa$\phi \mapsto \hat\phi = \phi\De{x^0}\Lambda$. Tiu ima\v gi\v gas ke $A^\mu = (\phi,\vec A)$ oni konstruas do iu kvarvektoro kontra\u uvarianta \v car $\hat A^\mu = A^\mu + \partial^\mu A$,$\kom \partial^\mu = g^{\mu\nu}\partial_\nu = g^{\mu\nu}\De{x^\nu}$\spa$\partial^i = -\partial_i$\spa$\partial^0 = \partial_0$\spa$A^\mu$ estas la \ero{Kvarpotencialo} de la elektr magnetika kampo. $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$\spa$F^{i0} = \partial^i A^0 - \partial^0 A^i = -\De{x^i}\phi - \De{x^0}A^i$. Kompono i-[esima] de la eliktrika kampo $E^i: F^{12} = \partial^1 A^2 - \partial^0A^i = -\De{x^1}A^2 - \De{x^2}A^1 = -\De{x^1}A^2 + \De{x^2}A^1 = -\De{x^1}A_y + \De{x^2}A_x = -B_z$\spa$F^{23} = -B_1 \Rightarrow F^{ij} = \epsilon^{ijk}B_k$ do \begin{displaymath}F = \left(\begin{array}{c c c c}0 & -E_x&-E_y&-E_z \\E_x &0&-B_z&B_y\\E_y &B_z&0&-B_x\\E_z&-B_y&B_x&0\end{array}\right)\end{displaymath} Elektromagnetika tensoro, estas antisimentrika kaj la elementoj de la diagonalo nulas. $F^{0i} = -E_i$ koniugas en plena manero la elktr magnetika kampo. $f^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$\spa$\epsilon_{\sigma\rho\mu\nu}\partial^\rho F^{\mu\nu} = \epsilon_{\sigma\rho\mu\nu}(\partial^\rho\partial^\mu A^\nu - \partial^\rho\partial^\nu A^\mu) = 0$\spa$\partial^\rho\partial^\mu = \partial^\mu\partial^\rho$, simetrika en $\rho,\nu$ dume $\epsilon_{\sigma\rho\mu\nu}$ estas antisimetrika. La [contrazione] de kuploj de indicoj simetrikaj kaj antisimetrikaj nulas. $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\nu F_{\rho\sigma} = 0$\spa$\mu = 0$, 
\Parto{Maxwell-aj Ekvacioj}
\Parto{Lorentz-aj Ekvacioj}
\Parto{Trasforma\v jo de la Kampo}
\end{section}
\begin{section}{Ekzercoj} 
\ekze{Reacio} \hspace{\stretch{1}} $\gamma + T \to p + n + n$ \hspace{\stretch{1}} \rule{0pt}{0pt}\\ Oni sercas la energio de sojlo kial la proceso i\v gas. $T$ senmova en la laboratorio. $p^\mu p_\mu$ estas ne varianta kaj la kvar impulso konservi\v gas: $(p_\gamma + p_T)^2 = (p_p + p_{n_1} + p_{n_2})^2 = m_p^2 + 2m_n^2 + 2p_pp_{n_2} + 2p_pp_{n_1} + 2p_{n1}p_{n_2} \geqslant$\noto{$ p_pp_n = \E_p\E_n - \vet p_p\vet p_n \geqslant m_pm_n$}$\geqslant m_p^2 + 2m_n^2 + 2m_n^2 + 2m_pm_n + 2m_pm_n = (m_p + 2m_n)^2$\spa$(p_p + p_T)^2 = (m_p + 2m_n)^2 + (\E_\gamma + \E_T)^2 - (p_\gamma + p_T)^2\big|_{lab} = $\noto{$ \E_T = \sqrt{\vet p_T + m_T^2}$}\noto{$\vet p_\gamma^2 = |\vet p_\gamma|^2 = (\E_T + m_T)^2$}$ = \E_\gamma^2 + 2m_T\E_\gamma - \E_\gamma^2 + m_T^2$ \begin{equation}\E_{sojlo} = \frac{(m_p + 2m_n)^2 - m_T^2}{2m_T}\end{equation} 
\ekze{Defalo}  \hspace{\stretch{1}} $\pi^+ \to \mu^+ + \nu_\mu$ \hspace{\stretch{1}} \rule{0pt}{0pt}\\ $m_\pi = 140 MeV$\spa$m_\mu = 106 MeV$\spa$m_e = 0,51 MeV$. $e,\nu_e$,$\mu, \nu_\mu$. La $\pi$ estas formata de $e$ kaj $\mu$ du \emph{quark}. \begin{itemize}\item[$1)$]La maksima angulo inter $\pi$ $\mu$:\\ $d = \gamma\E_\mu'v$\spa$v = v_\pi$\spa$\theta_{maks} \exists$ se \noto{$ s_x = \gamma p_\mu'$} \begin{equation}v > \frac{p_\mu'}{\E_\mu'} = v_\mu\end{equation} $v_\pi = p_\pi/\E_\pi = pi_\pi/\sqrt{m_\pi^2 + p_\pi^2} = 1/\sqrt{1 + (m_\pi/p_\pi)^2} \simeq 1/\sqrt{1 + 1/16} \simeq 1 - \frac12\cdot 1/16 \simeq 1 - 0.03 = 0.97$. \begin{equation}p^{'2} = c^2/4m^2((M^2 + m_1^2 + m_2^2) - 4M^2m_1^2)\end{equation}, $M \to m_1 + m_2$\spa$M - m_\pi$\spa$m_1 = m_\gamma = 0$\spa$m_2 = m_\mu$\spa$p^{2'} = (m_\pi^2 - m\mu^2)/4m_\pi^2$\spa$p_\mu' = (m_\pi^2 - m_mu ^2)/(2m_\pi)$\spa$v_\mu' = p'/\sqrt{p^{2'} + m_\mu^2} = (m_\pi^2 - m_\mu^2)/ 2m_\pi \cdot ((m_\pi^2 - m_\mu^2)^2 + 4m_\mu^2m_\pi^2)^{-\frac12}\cdot2m_\pi = (m_\pi^2 - m_\mu^2)/(m_\pi + m_\mu) = 0.27$ Eksistas la maksimuma angulo $v_\mu' < v$\spa$\sin\theta_{maks} = p_\mu'\sqrt{1 - v^2}(vm_\mu) = (m_\pi^2 - m_\mu ^2)/\gamma(2m_\pi vm_\mu)$. \begin{equation} \theta_{maks} = \arcsin\big(\frac{p_\mu'}{\gamma \beta m_\mu}\big) = \arcsin\big(\frac{m_\pi^2 - m_\mu^2}{2m_\pi p_\pi}\big).\end{equation}\item[$II)$]La energia intervalo en kiu oni trovas $\mu$:\\ $\E_\mu = (\E_\mu' + \beta p_\mu'\cos\theta')\gamma$\spa$\E_{maks} = \gamma(\sqrt{p_\mu^2 + m_\mu^2} \pm v_\pi\cdot p')$\spa$v = p_\mu/\sqrt{m_\pi^2 + p_\pi^2}$\spa$p_\mu' = (m_\pi^2 - m_\mu^2)/2m_\pi$\spa$\E_{maks,min} = 1/2m_\pi^2 ((m_\pi^2 + m_\mu^2)\sqrt{p_\pi^2 + m_\pi^2} \pm p_\pi(m_\pi^2 - m_\mu^2))$\spa$(1 - v^2) = m_\pi^2/(m_\pi^2 + p_\pi^2)$\spa$\gamma = \sqrt{m_\pi^2 + p_\pi^2}/m_\pi$\spa$p_\mu^2 + m_\mu^2 = (m_\pi^4 + m_\mu^4 - 2m_\pi^2 m_\mu^2)/ am_\mu^2 + m_\mu^2 = (m_\pi^2 + m_\mu^2)/4m_\pi^2$. \begin{equation}\E_{maks,min} = \frac{\sqrt{m_\pi^2 + p_\pi^2}}{m_\pi}\big(\frac{m_\pi^2 + m_\mu^2}{2m_\pi} \pm \frac{p_\pi}{\sqrt{m_\pi^2 + p_\pi^2}}\cdot\frac{m_\pi^2 - m_\mu^2}{2m_\pi}\big)\end{equation} $290 MeV \leqslant \E_\mu \leqslant 500 MeV$ \item[$\mathit{III})$] la Probableco ke $|\vet p_\pi|$ estas komprena inter $400-450 MeV/c$:\\ La probableco estas kostanta energie \begin{equation}p = \frac{\E_\mu(p_\mu = 450 MeV) - \E_\mu(p_\mu = 400 MeV)}{\E_{maks} - \E_{min}}.\end{equation}\end{itemize}  
\par\ekze{Reacio}\hspace{\stretch{1}} $\mathit{I)}\quad\pi^0 \to \gamma + \gamma\quad\mathit{II)}\quad\gamma + p \to p + \pi^0\quad\mathit{III)}\quad\pi^0 \to \gamma + \gamma$ \hspace{\stretch{1}} \rule{0pt}{0pt}\\\begin{itemize}\item[$\mathit{I)}$]Determinu la energio minimuma ke havu $\pi^0$ en la reacio $\mathit{I)}$ en $K$ por ke la defalo produkto lokagas la duan reacion.\\ $(\E_k + \E_p)^2 - (\vet p_\gamma + \vet p_p)^2 = $\noto{$ p_p = 0 $}$ = \E^2_\gamma + m_\gamma^2 + 2\E_\gamma m_\gamma - \E_\gamma$\spa$m_\gamma = 0 \Rightarrow |\vet p_\gamma| = \E_\gamma$\spa$\E_{\gamma sojlo} = (m(m_p + m_\pi)^2 - m_p^2)/2m_p$. En la masa centro $|\vet p_{*1\gamma}| = |\vet p_{*2\gamma}|$, Per la energia konservo $\E_\pi ' = \E_{1\gamma}' + \E_{2\gamma} \Rightarrow \E_\gamma'$\spa$m_\pi + 2\E_\gamma$\spa$\E-\gamma$ en la laboratorio $K$\spa$\E_{sojlo} = \E_\gamma = \gamma(\E_{*\gamma}  + vp_*) = \kom v $rapideco en la masa centro $\kom = \frac12 m_\pi \gamma(1 + v)$. $\gamma$ eligita anta\u uen. Oni konas $\E_{\gamma}$ sojlo $\E_{\gamma s} = \E_{\gamma maks}(v) \Rightarrow v$ rapideco de $\pi^0$ en $K$\spa$(1- v_6)\E_{\gamma s}^2 = m_\pi^2/4\cdot(1 + v)^2$, \begin{displaymath}v = \frac{(2\E_{\gamma s}/m_\pi)^2 - 1}{(2\E_{\gamma s}/m_\pi + 1}\end{displaymath}\begin{cfr}{MasaEnergio}\E_\pi = \frac{m_\pi c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \end{cfr}
\item[$\mathit{II)}$] Trovu la minimuman angulon formita de $\gamma$ en la defalo de $\pi^0$ de la dua produkto en sojlo.\\ Oni kontrolas se esistas la minimuma angulo, prefere $v' < v_{*\gamma} = c$, sekve eksistas $\tan(\theta_{min}/2) = v_{*\gamma}/v'\cdot\sqrt{1 - v^{'2}} = 1/v' \cdot\sqrt{1 - v^{'2}}$. \v Car la reakcio okazas en sojlo $v'$ estas $v_*$. \begin{displaymath}v' = \frac{|\vet p_\gamma + \vet p_p|}{\E_\gamma + \E_p} = \frac{|\vet p_\gamma|}{\E_\gamma + \E_p} = \frac{\E_\gamma}{\E_\gamma + m_p}.\end{displaymath}Kiam $E_\gamma = \E_{\gamma s}$.\end{itemize}
\par\ekze{Angula trasformo}\\ En ia sistemo de rilato inercia movi\v gas kun rapideco $v$ longe la akso $x$ la angula spegulo \marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,1)\put(1,.5){\line(-1,1){.5}}\put(1,.5){\line(-1,-1){.5}}\put(0,.3){\line(1,0){.8}}\put(0,.7){\line(1,0){.8}}\put(.8,.3){\line(0,1){.4}}\put(.5,.3){\vector(1,0){.1}}\put(.5,.7){\vector(-1,0){.1}}\end{picture}} kiu facoj havas valoroj egalaj rilate la akso $x$. Lume fonto, senmova rilate $K$, eligas fotonoj en $x$ direkcio. \begin{itemize}\item[$I)$] Oni determini l'angulo $\phi$ ke la facoj devas havi kial la fotonoj, eligitaj sur amba\u u la facoj, movas longe $x$ (en la oposita verso la\u ue tiu de incido):\\ La tan\v go de $\phi$ reprezentas $y/x$-n. La $\tan\phi_0$ representas $K_0$-n, sistemon solidan al spegulo. $y = y_0$\spa$x_x = x/\gamma$,  $\tan\phi = y_0\gamma/x_0 = \gamma$\item[$\mathit{II)}$] Determinu la angulo $\theta$ formita da la radio refleksa la unua fojo kun la faco de la spegulo en kiu okazis la reflekso.\\ \marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,1)\put(.5,0){\line(3,2){.5}}\put(0,.2){\line(1,0){.8}}\put(.8,.2){\line(2,5){.25}}\put(1,.22){$\phi$}\put(.877,.3){$\theta$}\multiput(.8,.19)(.025,0){20}{\tiny{.}}\put(.3,.2){\vector(1,0){.1}}\put(.9,.51){\vector(2,3){.1}}\end{picture}} $\theta = \psi - \phi$\spa$\tan\psi = v_y/v_x$\spa$\vet v$ rapideco de la fotono poste la reflekso en $K$. $\vet v_0 = (0,1,0)$\spa$\vet v_0$ en $K_0$, \begin{equation} v_x = \frac{v_{0x} + v}{1 + v_{0x}v} \qquad v_y = \frac{v_{0y}\sqrt{1 - v^2}}{1 + v_{0x}v}\end{equation}$v_{0x} = 0$\spa$v_x = V$\spa$v_y = \sqrt{1 - v^2}$\spa$\theta = \psi - \phi = \arctan(\sqrt{1 - v^2}/v) - \arctan(1/\sqrt{1 - v^2})$.\end{itemize}
\par\ekze{Kampo Elektro Magnetiko} \hspace{\stretch{1}} $X \to e^+ + e^-$ \hspace{\stretch{1}} \rule{0pt}{0pt}\\ La reacio okazas en plano perpendikla al la direkcio de ia kampo magnetiko kostanta kaj uniforma de modulo $B$. $X$ ne\u utra. Oni mizuras la radioj $r_+$ kaj $r_-$ de la cirkonferencoj kaj la komenca angulo $\alpha$ kaj la distanco $L$ inter la punkto de produkcio kaj neniigo de $X$. \begin{itemize}\item[$I)$] Trovu la maso de la partiklo $X$: 
\marginpar{\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(0,0)\put(0,.5){\line(1,0){.8}}\put(.3,.52){$X$}\put(.8,.2){\oval(.6,.6)[r]}\put(.8,.1){$e^-$}\put(.8,.8){\oval(.6,.6)[r]}\put(.8,.8){$e^+$}\put(.85,.5){\vector(4,1){.6}}\put(1.2,.7){$p_+$}\put(.85,.5){\vector(4,-1){.6}}\put(1.2,.2){$p_-$}\multiput(.8,.49)(.025,0){30}{\tiny{.}}\put(1.4,.52){$\alpha$}\qbezier(1.3,.5)(1.35,.55)(1.3,.62)\put(.3,.2){\circle{.2}}\put(.3,.2){\circle*{.05}}\put(.42,.1){$B$}\end{picture}}\\ Konservo de la kvar impulso $m_X^2 = (p_+ + p_-)^2 = (\E_+ +\E_-)^2 - (\vet p_+ + \vet p_-)^2 = \E_+^2 + \E_-^2 + 2\E_+\E_- - p_+^2 - p_-^2 - 2p_+p_- = m_e^2 + |\vet p_+|^2 + m_e^2 + |\vet p_-|^2 + 2\sqrt{(m_e^2 + p_+^2)(m_e^2 + p_-^2)} - |\vet p_+|^2 - |\vet p_-|^2 - 2|\vet p_+|\cdot|\vet p_-|\cos\alpha$.\item[$\mathit{II)}$] Tempo de vivo de $X$:\\ En kampo $B$ $\perp$ al la trajektoro $|\vet p_\pm| = eBr_\pm$\spa$\tau_X = t\sqrt{1 - v^2} = l/v\sqrt{1 - v^2}$ kie v estas la rapideco de $X$ en la laboratorio, $t$ la tempo de vivo en la laboratorio. $\tau = \sqrt{1 - v^2}/(m_Xv)\cdot(m_Xv) = L |\vet p_X|\cdot m_X$, \begin{equation} \vet p_X = \vet p_1 + \vet p_2\end{equation}, $|\vet p_X|^2 = \vet p_+^2 + \vet p_-^2 + 2\vet p_+\vet p_- = (eB)^2)r_+^2 + R_-^2 + 2r_+r_-\cos\alpha$ do \begin{displaymath}\tau_x = \frac{Lm_X}{eB\sqrt{r_+^2 + r_-^2 + 2r_+r_-}}\end{displaymath}\end{itemize}
\end{section}\end{chapter}