\begin{chapter}{Statistika Mekaniko}
\begin{section}{Distribua Funkcio} La statistika mekamiko priskribas la termodinamikajn variablojn, $(\T,\E,\mu,\Pre,\S)$\spa per la uzo de la dinamikaj variabloj $(\vet p, \vet x)$. La statistika mekaniko devas priskribi la relacio inter la inversigebleco mikroskopa kaj la ne inversigebleco makroskopa\\ Komence, oni volas konsideri ia priskribo de io sistemo de $N$ partikloj en volumeno $V$ en alproksomi\v go klasika sine konsideri surfaca korektado. Oni volas malkovri la distribua funkcio kiu priskribas la probabla dinamika valoro por ia partiklo priskribita en la \erof{mu-spaco}{$\mu$-spaco}, la spaco de la koordinatoj $(\vet p,\vet q)$\footnote{La spaco de $N$ partikloj de kordinatoj $(\vet{\underline{p}},\vet{\underline{q}})$ estas anstata\u ue la \erof{Gamma-spaco}{$\gamma$-spaco} kaj prezentas la \ero{Ensemble} (la\u u \homo{Gibbs}) se $N\to\infty$\spa$V\to\infty$\spa$N/V = cost$ }. \v Ci tiu funkcio \begin{displaymath}\rho(p,q,t)\di^{3N}p\di^{3N}q \end{displaymath} estu \begin{itemize} \item[-]Normaligita \item[-]\v Ciu relacio depenas sole de la energio, impulso kaj posicio. \item[-] $\big(\frac{\vet p}{m}\nabla_{\vet r} + \vet F\cdot\nabla_{\vet p}\big)\rho(\vet p,\vet q) = 0$ \item[-] $N\to\infty$\spa $V\to\infty$\spa $N/V = cost$ \ero{Termodinamika Limito} \item La sistemo estas dinamike priskribita per Hamilton-aj ekvacioj \end{itemize} Oni do konsideri la loko geometrika tie ene $H(\vet p,\vet q) = E$, ekvapotenco surfaco, en kiu oni havas senfinaj valoroj de la du triobloj $(\vet p, \vet q)$. Sekvinte la teoremo de \homo{Liuville} \begin{displaymath} \De{t}\rho + \big\{\rho,H(\vet p,\vet q)\big\} = 0\end{displaymath} ke kondutas kiel fluo nekunpremebla. 
\begin{postulato}{Ekvala Apriore Probablo} Kiam ia sistemo makroskopa estas termodinamike en ekvilibrio, sia stato povas esti kun ekvala probablo \v cio inter kioj plenumas la kondicoj makroskopika de la sistemo.\end{postulato}  De \v cia variablo oni volas la mez valoro, la kvara mez devio kaj \v cia sia kunrilata funkcio \v car \v ciu valoro, en la termodinamika limito, estas praktike la mezvaloro. La \ero{Entropio} estas definita kiel \begin{displaymath}\mathcal{S} = k\log(\Gamma(E))\end{displaymath} kaj agas simile al la termodinamika entropio \v car estas estensa (la entropio de du sistemoj estas la sumo de la entropioj kaj $\mathcal{S}\to N + O(\log(N))$) kaj sekvas la termodinamik dua le\v go.  En la termodinamika limito sole unu konfigurado havas numero de okupado multe pli okupita ol aliaj do la entropio estas kalkulebla per $\Gamma(\E)$, volumeno okupita inter du energiaj valoroj $\E\leq H\faz\leq\E+\Delta$, per $\Sigma(\E)$, volumeno okupita inter surfaca nivelo $H\leq H\faz$ a\u u la denseco de la statoj $w(\E)=\partial_\E\Sigma(\E)$. Oni ne konsideras la energio de interacio inter la sistemoj, (ena proksima\v go) akirante $H(\vet p,\vet q) = H_1(\vet p_1,\vet q_1) + H_2(\vet p_2,\vet q_2)$. La \ero{Probablo} estas definita kiel la rej\v so inter la interesa kaza kontra\u u \v cia kaza. Por la $\gamma$-spaco\begin{displaymath} \Pre(\E_i) = \frac{\Gamma(\E_i)}{\sum_i \Gamma(\E_i)} \mathnormal{au} = \frac{\int_{\E < \E_i < \E + \Delta} e^{\beta\Ha{i}}\di p\di q}{\int e^{\beta\Ha{}}\di p\di q} .\end{displaymath} 
\subsection{Funkcio Partaga}\begin{legxof}{Lagrange-a Moltiplikatoro}{\homo{Lagrange}-a Moltiplikatoro}{ Estu $\opl f:\Omega\to \R$ difereciebla en $\omega\in Y \subset\R^n$ aperto.\\ Estu $M\in Y$ varieco de klasa $C^l$ de dimensio $m \leq n$.\\ Estu $\opl p \in M \subset \Omega$ kaj $\opl g:V\to\R^\nu$ kun $(\nu = n -m)$ ligilo pro $M$ \v cirka\u ue $p$. $p$ estas staciona punkto sse ekzistas $\Lambda_1,,\Lambda_\nu$ moltiplikatoroj kiuj eksprimas $\opl f'(\opl p)$ kiel lineara kompono de $\opl g'(\opl p)$ a\u u \begin{displaymath}f'(\opl p) = \sum_{j = 1}^\nu \Lambda_jg'_j(\opl p)\end{displaymath}}\end{legxof} 
Si oni partas la spaco en $\nat n_{\nat i}$ en la $\nat i$ stato, oni havas $\nat n$ partikloj en $\nat N$ mikrosopaj statoj $Q(\nat n_{\nat i})$. Oni volas serci la stato makroskopika ke koresponda al pli granda numero de statoj mikroskopikaj per $Q(n_1,,n_n)=n!/(n_1!...n_N!)$ prefere maskimigi la funkcio $Q_N$ kun la vinkloj de konservo: $\sum_i n_i=n$\spa$\sum_i\E_in_i=\E$. $\log Q_N=\log\Big(\frac{n!}{n_1!...n_N!}\Big)=\log n!-\sum_i\log n_i!$. La\u u la Lagrange-a moltiplikatoroj, oni devas trovi la maksimo de la funkcio \noto{$\log x! \simeq x\log x-x$}$(\log n!-\sum_in_i\log n_i - n_i)+\alpha(\sum_i n_i -n)+\beta(\sum_i n_i\E_i - \E)$ a\u u kalkuli:\begin{displaymath}\De {n_j}\Big((\log n!-\sum_in_i\log n_i - n_i)+\alpha(\sum_i n_i -n)+\beta(\sum_i n_i\E_i - \E)\Big)=0\end{displaymath} $0=-\log n_j-1/n_j\cdot n_j +1 + \alpha + \beta\E_j$ do \begin{displaymath} n_j = e^\alpha e^{\beta H}\end{displaymath} La energio de ideala gaso estas $3/2 Nk\T$ do \begin{displaymath} \frac32Nk\T=\frac{N\int_{-\infty}^\infty1/2\cdot m\vet v^2 e^{\beta 1/2\cdot m\vet v^2}\di^3 v}{\int_{-\infty}^\infty e^{\beta 1/2 \cdot m \vet v^2}\di^3 v}\end{displaymath} $3k\T=3(-1/\beta)\cdot\sqrt[3]{(-2\pi/\beta m)}/\sqrt[3]{-2\pi/\beta m}$ do $\beta = -1/k\T$.
\par  La \ero{Funkcio Partaga} nedimensia estas \begin{equation} Q_N(V,\T) = \frac{1}{N!h^{3N}}\int e^{\beta\Ha{}}\di^3q\di^3p=e^{-\beta \A(V,\T)}=\int_0^\infty e^{-\beta(\T\En(\E)-\E)}\di\E \end{equation} kaj egalas $esp(-\A\beta)$ kaj $\A := \U - \T\En$ estas la energio Helmholtz-a kaj por la du termodinamik le\v goj $L \leq \Delta\A$. \v car: \begin{displaymath} \De{\beta}\frac{1}{N!h^{3N}}\int e^{\beta(\Ha{} - \A)} = \De{\beta} 1 = 0\end{displaymath} sekvinte de $-\mez H + \A + \beta\partial_\beta\A = 0$.\\ Se la $\U$ Hamilton-a ne dipenas de $p$ oni povas faktori\v gi la funkcio kaj obteni \begin{displaymath} \frac{1}{h^{3N}N!}\int e^{\sum_i\frac{\vet p^2}{2m_i}}\di^{3N} p = \Big(\sqrt{\frac{2\pi mk\T}{h^2}}\Big)^{3N} = \frac{1}{\Lambda^{3N}} \end{displaymath} $\Lambda$ estas nomata \ero{Ond Longeco Terma}. 
\begin{ekzemplo}{Gaso sub gravita forco} \marginpar{\begin{bildo}\put(.3,0){\line(0,1){1}}\put(.3,0){\line(1,0){.3}}\put(.3,1){\line(1,0){.3}}\put(.6,0){\line(0,1){1}}\put(0,1){\vector(0,-1){1}}\put(.05,0){$z_1$}\put(.05,.9){$z_2$}\end{bildo}}\begin{displaymath} Q_N = \frac{1}{N!\Lambda^{3N}}\Big(\frac{S(e^{-\beta mgq_{z_2}} - e^{-\beta mgq_{z_1}})}{\beta mg}\Big)^{3N}\end{displaymath} De kiu sekvas:$\A = k\T\log(Q_N)$\spa $P = -\partial_V \A = -1/S \quad\partial_{q_z}\A$\begin{displaymath}P_1 = \frac{k\T N}{S}\beta mg \frac{e^{\beta mgq_{z_1}}}{e^{\beta mg(q_{z_2} - q_{z_1})}}\end{displaymath} $\Delta P = P_2 - P_1 = N mg/S$\end{ekzemplo}
\begin{ekzemplo}{Gaso en rotanta cilindro} \marginpar{\begin{bildo}\put(.3,0){\line(0,1){1}}\put(.3,0){\line(1,0){.3}}\put(.3,1){\line(1,0){.3}}\put(.6,0){\line(0,1){1}}\put(0,1){\vector(0,-1){1}}\put(0,0){\vector(0,1){1}}\put(.05,.5){$h$}\end{bildo}} $V(r) = \alpha r^2$ \begin{displaymath} Q_N(h,R,\T) = \frac1{\Lambda^{3N}N!}\Big(\int e^{-\beta V(x,y,z)}\di x \di y\di z\Big)^N = \frac{1}{\Lambda^{3N}N!}\Big(2\pi\int r e^{-\beta\alpha r^2} \di r\Big)^N = \end{displaymath} \begin{displaymath} = \frac{1}{\Lambda^{3N}N!} \Big(\int_0^R \frac{2\pi}{2\beta\alpha}\De r e^{-\alpha\beta r^2} \Big)^N = \frac1{\Lambda^{3N}N!}\Big(\pi\frac{1 - e^{-\alpha\beta R^2}}{\beta\alpha}\Big) \end{displaymath} La presiono estas do \dm{\Pre_{/\!/} = -\partial_V \A = \kB\T \partial_R\log Q_n = \frac{\kB \T N}{2\pi Rh} \partial_R\log(1 - e^{-\beta\alpha R^2}) = \frac{\kB \T N}{2\pi Rh} \frac{2R\beta\alpha e^{\beta\alpha R^2}}{1 - e^{-\beta\alpha R^2}}} kaj $\mez {\Pre_\perp} = \kB\T/\pi R^2 \partial_h \log(Q_N) = \kB\T N / \pi R^2 h$. \end{ekzemplo}
\par Si oni operis sur la potencialo $A$ la funkcio partaga estas \v generilo de mez valoroj tial la valoro de la esponanto ``falas inter'' la integralo realizante \v gia mez valoro. \begin{equation} \mez f = \frac{\int f(\vet p,\vet q)e^{f\alpha\beta}\di p\di q}{\int e^{\alpha f\beta}\di p\di q} = -\kB\T\De{\alpha\beta}\log(Q_N).\end{equation} De tio oni dekovri ke la flua\v go de la ena energio kalas tiel $\sqrt{N}$. \begin{displaymath}\frac{\sqrt{\mez {H^2} - \mez H^2}}{\mez H } = \frac{\sqrt{\frac{\partial^2}{\partial \beta^2}\A}}{\De{\beta}\A} = \frac{\sqrt{\frac{\partial}{\partial \beta}\mez H}}{\De{\beta}\A} = \frac{1}{\sqrt{N}}\end{displaymath} tial $\mez{(H - \mez H)} = \mez {H^2} - \mez H^2$\spa$\mez{H}\propto N$\spa$\De{\T}\mez H \propto N$.
\begin{mat}{Kombinatoriko}{\begin{itemize}\item[-] $n$ elementoj prenitaj $k$ je $k$: $w=n^k$\item[-] $n$ elementoj prenitaj $n$ je $n$ sine ripeto: $w=n!$\item[-] $n$ elementoj prenitaj $k$ je $k$ kun inter\v san\v go: $w=\frac{n!}{(n-k)!}$\item[-] $n$ elementoj prenitaj $k$ je $k$ sine inter\v san\v go: $w=\frac{n!}{(n-k)!k!}$\item[-]$w_n=\prod_i^n\frac{N!}{N_i!}$ \v ciuj modoj de poni $N$ partikloj en $n$ partumigoj \end{itemize}}\end{mat}
Si oni volas priskribi la sistemo kun la variabloj $(\mez N,p,q,\T)$ \v car de fakte, fizike, oni povas koni nur la mez valoro de la partiklaj por la ekstera kondocoj kaj ne la eksakta numero de ilin. Oni povas konsideri du sistemoj, iu granda kiu termostatas la malgranda tiu ke $N_1 << N_2$ infinitezima. 
\marginpar{\begin{bildo}{}\put(.5,.5){\oval(1,.6)}\put(1,.7){$N$}\put(.2,.5){\oval(.2,.3)}\put(.1,.45){$N_1$}\put(.4,.45){$N-N_1$}\end{bildo}}
$N = N_1 - N_2$, do la korekta konto de Boltzmann $1/N!$ estas \begin{displaymath} \frac1{N!} = \sum_{N_1}^N \frac{1}{N!(N - N_1)!}\end{displaymath} a\u u la kombino de \v ciu modoj de poni $N_1$-n partiklajn en $V_1$ kaj la $N_2$-n en $V_2$ kun $V_1$ kiu plenigas \v cion spacon. \begin{displaymath} z = e^{\beta\mu} \qquad Z(V,\T,\mu) = \sum_N^\infty z^N Q_N(V,\T)\stackrel{ofte}{=}\sum_N\frac{z^NV^N}{\Lambda^{3N}N!}=e^{\frac{zV}{\Lambda^3}}\end{displaymath} \begin{displaymath}\mez N = z\De{z} \log Z =  \frac{zV}{\Lambda^3} = \log Z = \frac{PV}{k\T}\end{displaymath} do $\mez {N^2} - \mez {N^2} = PV/k\T$. \\En la vido grankanona oni povas defini la \ero{Helmholtz-a Libera Energio} kiel \begin{equation} \di \A = -\Pre\di V - \En \di \T +\mu\di N \end{equation} Kiu estas la maksimuma ebla laboro agita de la sistemo en trasformz\v jo. Pluen, en sistemo termodinamika izolita la \homo{Helmoltz}-a energio estas minimuma. \\ La \ero{Interna Energio}\begin{equation} \di \U = -\Pre\di V + \T\di \En + \mu\di N\end{equation}La \ero{Entalpio} \begin{equation}\di H = \T\di \En + V \di \Pre\end{equation}  Finfine la \eroh{Gibbs}{Interna Energio} \begin{equation} \di G = -V \di\Pre -\En\di\T + \mu\di N\end{equation} akirante: \begin{displaymath} \mu := \Big(\De{N}\A\Big)_{V,\T} = \Big(\De{N}G\Big)_{\Pre,\T}\end{displaymath} La potencialo kimika estas \homo{Lagrange}-a Moltiplikatoro \v car estas nevariebla kvanteco.  
\begin{ekzemplo}{Gaso duatoma en unudimensio} \begin{displaymath}\Ha{1,2} = \sum_i\frac{\vet p_1^2}{2m} + \sum_i\frac{\vet p_2^2}{2m} + \frac12 k_0|\vet q_2 - \vet q_1|^2\end{displaymath} se $\vet p_{cm} = \frac12\vet p_1 + \frac12\vet p_2$ kaj $\vet r_i = \vet r_2 - \vet r_1$, $p_{ri} = |p_2-p_1|$ \begin{displaymath} Q_N(V,T) = \frac1{N!2^Nh^{6N}}\prod_i^N\int e^{-\frac1{4m}\frac{\beta p^2_i}{4m}}e^{-\frac{\beta k {r_{ri}}_i^2}2}e^{-\frac\beta{m}{p_{ri}}_i^2}\di^{3}{p_{cm}}_i\di^3{r_{cm}}_i\di^3{p_{ri}}_i\di^3{r_{ri}}_i \end{displaymath}\dm{Q_N=\frac{L^N}{2^N\Lambda_{cm}^{N}\Lambda_{ri}^{N}\Lambda_{k}^{N}}} Kie \dm{\frac1{\Lambda_{cm}}=\sqrt{\frac{8\pi \kB\T m}{\hP^2}} \qquad \frac1{\Lambda_{ri}} = \sqrt{\frac{2\pi\kB\T m}{\hP^2}} \qquad \frac1{\Lambda_k} = \sqrt{\frac{2\pi\kB\T}{k \hP^2}}\qquad \frac1{\Lambda^1}\propto(\kB\T)^{1/2}} Pro kalkuli la mez energio:\dm{-\De\beta\log\frac1{\Lambda}=(\kB\T)^2\De{\kB\T}\Big(\log\big((\kB\T)^{1/2} + \konst\big)\Big)=\frac12(\kB\T)^2\frac1{\kB\T}=\frac12\kB\T} Hora\u u oni povas kalkuli $\mez H = -\De{\beta}\log(Q_N) = \frac{1}{2}N\kB\T + \frac{1}{2}N\kB\T + \frac{1}{2}N\kB\T = \frac{3}{2}N\kB\T$. Oni povas vidi la \ero{Th: de Egala Partumigo de la Energio}, \v ciu libera grado donas al la mez valoro de la interna energio kontribuon $1/2 N\kB\T$. Do en tri dimensioj \dm{Q_N=\frac{L^N}{2^N\Lambda_{cm}^{3N}\Lambda_{ri}^{3N}\Lambda_{k}^{3N}}} $\mez\U=N\kB\T(3/2+3/2+3/2)=n\kB\T\cdot9/2$.
\par La Se la potencialo estas $|x_1 - x_2|^n$ kun $n\neq2$ oni ne povas separi la termojn sed devas kalkuli la integralo per \begin{displaymath}Q_N(L,\T) = \frac{L^{N}}{N!2^N\Lambda^N_{cm}\Lambda^N_{r}}\Big(\int\di x_{ri} e^{-\frac{\beta\alpha x^4_{ri}}{2}}\Big)^N\end{displaymath} solvigebla per la gamma Euler-a poste havi uzita la polaraj koordinatoj.
\begin{mat}{Euler-a Gamma kaj Beta}{\erof{Euler-a Gamma}{\homo{Euler}-a $\Gamma$}\dm{\Gamma(w)\EDef\int_0^\infty t^{w-1}e^{-t}\di t \qquad \Gamma(\nat m+1) = \nat m! \qquad \Gamma(\nat m+\frac12)=\frac{(2\nat m)!}{2^{2\nat m}\nat m!}}\erof{Euler-a Gamma}{\homo{Euler}-a $B$} \begin{eqnarray}B(p,q)&\EDef&\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}\di t=2\int_0^{2\pi}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta\di\theta=\nonumber\\ &=&\int_0^\infty\frac{u^{p-1}}{(1+u)^{p+q}}\di u=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\end{eqnarray} Estas ofte utila tiu kalkulo: \noto{$x = \sqrt[n]{\frac{t}{\alpha\beta}}$\spa$\di x =\frac{t^{\frac1n-1}}{n\sqrt[n]{\alpha\beta}}$}\dm{\int^\infty_0e^{\beta\alpha x^n}\di x=\int^\infty_0\frac{t^{\frac1n-1}}{n\sqrt[n]{\alpha\beta}}e^{-t}\di t=\frac{\Gamma(1/n)}{n\sqrt[n]{\alpha\beta}}} }\end{mat}
Derivante la konstantoj, kiel la \homo{Euler}-a $\Gamma$, malaperas do ne estas grava koni la eksakta valoro de tiu integralo sed la formo de $\alpha$ kaj $\beta$ \v car \v genere varias kun la variabloj $(\T,q,\ldots)$. Se $n=4$ \begin{displaymath}Q_N(L,\T) = \frac{L^{N}\Gamma^N(1/4)}{N!2^N\Lambda^N_{cm}\Lambda^N_{ri}(4\sqrt[4]{\alpha\beta/2})^N}\end{displaymath} do $\mez \U =\kB\T N(3 + 3n/2)$ \end{ekzemplo}\end{section}
\begin{section}{Kvantuma Statistiko}Oni konsideras {\it ensemble} de $N$ partikloj priskribitaj per la ond funkcio\dm{\psi_{\opl{\vet n}}(\vet r_1,\vet r_2,,\vet r_N)=\ket{n_1,n_2,,n_N}} La problemo de la a\u utovaloroj estas faktorigebla en \v ciu partiklo kaj dimensiono. Ia sistemo de $N$ partikloj identikaj estas nevaianta sub la inter\v san\v go de la koordinatoj de iu duplo de partikloj. Ia operatoro de inter\v san\v go $P$ solvas la Shr\"odingera ekvacio $H|P\psi> = E_n|P\psi>$ kaj $P^{-1}HP = H$. $P^2\psi = \psi$ do $P \psi= \pm \psi$. Oni havas du sistemoj ke pro la le\v go de superselkcio ne povas miksi\v gis kaj oni nomas \ero{Fermiono}j se $P\psi = -\psi$ a\u u \ero{Bosono}j se $P\psi = \psi$. Obtenas do ke ia funkcio $\psi_{n_1,n_2}(x_1,x_2)$ estas esprimebla per iu funkciono simetrika kaj iu kontra\u simetrika \begin{displaymath}<x_1,x_2|n_1,n_2> = \frac{<x_1|n_1><x_2|n_2> \pm <x_2|n_1><x_1|n_2>}{\sqrt{2}} \end{displaymath} Oni povas vidi ke la fermionoj ne povas \v ceesti en la sama stato \v car nuli\v gas la ond funkcio \ero{Pauli-a Eskluda Principo} dume la bosonoj povas \v ceesti en la sama stato. Oni partas la energia spektro de $n-i$ partikloj en $g_i$ \v celoj kiu havas energio $\E_i$. Por la fermionoj oni povas konti kvantaj statoj havas $g_i$ \v celojn kuntenantajn $n_i$ partikloj sine inter\v san\v go. Kiel supren\dm{\De{n_j}\Big(\log\prod_i^N\vek{g_i \\ n_i}-\alpha(\sum_i^Nn_i)-\beta(\sum_i\E_in_i -\E)\Big)=0} kun similaj kalkuloj \noto{$n_i=0,1$}\dm{\bar n_j=g_j\frac{e^{-\alpha-\beta\E_i}}{1+e^{-\alpha-\beta\E_i}}=\frac1{1+e^{\alpha-\beta\E_i}}} Por la bosonoj \dm{w_{\opl n}=\vek{g_i-1+n_i\\n_i}} kiu kontas la statojn kiuj ponas $g_i-1+n_i$ objektoj ($g_i-1$ barieroj kaj $n_i$ partikloj) prenitaj $n_i$ je $n_i$. \v Genere:\dm{Q_N(V,\T)=\sum_{\opl n_{\vet p}}\prod_{\vet p}\Big(e^{-\beta\frac{\vet p^2}{2m}n_{\vet p}}\Big)}
\par Simile al ekzemplo de la klasika statistiko oni havas \noto{$\E\leq\E_{\opl{\vet n}}\leq\E+\Delta$} \begin{displaymath} \rho_{mikro} = \sum_{\opl n} \frac{\ket{\opl n}\bra{\opl n}}{\Omega(\E)}\end{displaymath} \noto{$\sum_{\opl n}\braket{\opl n}{\opl n}=1$} Kie $\Omega(\E)$ estas la numero de a\u utostatoj de energio ene la intervalo. Oni povas obteni anka\u u ia media incohera per \begin{displaymath} \hat \rho_{kanona} = \sum_{\opl n} \frac{e^{-\beta\E_{\opl n}}\ket{\opl n}\bra{\opl n}}{\sum_{\opl n}e^{-\beta\E_{\opl n}}} = \frac{e^{-\beta\hat H}}{Tr(e^{-\beta\hat H})}\end{displaymath} $Tr(e^{-\beta\hat H}) = Q_N = e^{-\beta\A}$. Oni povas diri ke \begin{eqnarray}Q_N &=& \sum_{\opl n_{\vet p}}\prod_{\vet p}\frac1{n_{\vet p}!}e^{-\beta\frac{\vet p^2}{2m}n_{\vet p}}=\frac1{N!}\Big(\sum_{\vet p}e^{-\beta\frac{\vet p^2}{2m}}\Big)^N=\prod_i\frac{e^{-\beta\E_in_i}}{n_i!}\nonumber \\&=&\frac1{N!}\Big(\frac{L^3}{h^3}\int e^{-\beta\frac{\vet p^2}{2m}}\di^3p\Big)^N\qquad \mathnormal{(klasike)}\nonumber\end{eqnarray} kie $\sum_{\vet p}\to 1/h^3\int\di^3p\di^3q$ por la termodinamika limito.
\par En la vido grankanona \begin{displaymath}Z(V,\T,\mu)=\sum_{\opl n_{\vet p}}\prod_{\vet p}\frac1{n_{\vet p}!}\Big(ze^{-\beta\frac{\vet p^2}{2m}}\Big)^{n_{\vet p}}=\prod_{\vet p}\Big(1\pm z^{-1}e^{-\beta\frac{\vet p^2}{2m}}\Big)^\pm\stackrel{\log}{=}\pm\sum_{\vet p}\log\Big(1\pm z^{-1}e^{\beta\frac{\vet p^2}{2m}}\Big)^\pm\end{displaymath} do oni povas obteni \begin{eqnarray}\mez N=z\De z\log Z&\stackrel{F-D}{=}&\frac1{1+z^{-1}e^{-\beta\frac{\vet p^2}{2m}}}\nonumber \\ &\stackrel{B-E}=&\sum_{\vet p}\frac1{z^{-1}e^{-\beta\frac{\vet p^2}{2m}}-1}\nonumber \end{eqnarray}
\par Pasinte al la klasika priskribo $\sum_{\vet p} \to V/h^3 \int\di^3 p$ la \begin{displaymath} \frac{\Pre V}{k\T} = \log Z = \pm \sum_{\vet p}\log(1 \pm ze^{\beta\E_{\vet p}})  \end{displaymath} Solvas oni tiun integralon en $p$ en polaraj koordinatoj eksprimi\v gante la logaritmo per serio akirante \begin{equation} \frac{\Pre}{k\T} = \frac1{\Lambda^3}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{(\mp)^{l+1}z^l}{l^{5/2}}\end{equation} Definos oni $f_{5/2} = \sum_{l=1}^{\infty}(-1)^{l+1}z^l/l^{5/2}$ pro fermionoj kaj $g_{5/2} = \sum_{l=1}^{\infty}z^l/l^{5/2}$ pro bosonoj. Oni povas vidi ke. \begin{displaymath} \mez\no =\frac{\mez N}{V} = z\De z \frac{\Pre}{k\T} = \frac1{\Lambda^{3}}z\De zg_{5/2}=\frac{g_{3/2}}{\Lambda^3}+\frac{1}{V}\Big(\frac{z}{z-1}\Big)\end{displaymath} kaj simile per la fermionoj. La termo $z/(z-1)/V$ estas la okupado de la $\mez{n_0}$ nivelo.
\par La mez numero de okupo estas \noto{$\sum_{\vet p} n_{\vet p} = N$} \noto{$\mez N=\sum_{\vet p}\mez{n_{\vet p}}$} \begin{displaymath} \mez {n_{\vet p}} = \frac{1}{Z} \sum_{N = 0}^\infty z^N  \sum_{\opl n_{\vet p}\}} n_{\vet p} e^{-\beta\sum\E_{\vet p}n_{\vet p}} = -\De{\beta\E_{\vet p}} \log(Z) = \frac{ze^{-\beta\E_{\vet p}}}{1 \mp ze^{-\beta\E_{vet p}}}\end{displaymath} Statistikoj de rispektive Bose-Einsten kaj Fermi-Dirac. Oni povas vidi du gravaj rezultoj de tiu esprimo por malalta tempuraturo. 
\par Oni volas montri la kvanteco de la kvantuma korektado al la termodinamika limito. \dm{\Lambda^3\no\stackrel{B-E}=\sum_l\frac{z^l}{l^{3/2}}\qquad z = \Lambda^3\no + O((\Lambda^3\no)^2) \qquad \Lambda^3\no=\sum_i\frac{(\Lambda^3\no)^i}{l^{3/2}}}$\frac{\Pre}{\kB\T}=\frac1{\Lambda^3}\sum_j\frac{z^j}{j^(5/2)}=\frac1{\Lambda^3}\sum_i\frac1{i^{5/2}}\Big(\sum_j\frac{(\Lambda^3\no)^j}{j^{3/2}}\Big)$\dm{\frac\Pre{\no\kB\T}=1 - \frac{\Lambda^3\no}{2^{5/2}}+\ldots} kiu montras ia atraktiva efekto. Fakte oni povas vidi ke se la temperaturo en la \homo{Bose-Eistein}-a statistiko $\T\to 0$ sekve $z\to 1$ \v ciuj la okupadoj valoroj apartenas al unua stato $\mez{n_0}\to\infty$\marginpar{\input{BEKondenso.tex}} kiu nomi\v gas \eroh{Bose Einstein}{Kondenso}. Oni povas vidi anka\u u ke \dm{1=\frac{\Lambda_k^3}{\Lambda^3}+\frac{\mez{n_0}}{\mez N} \qquad \frac{\mez{n_0}}{\mez N} = 1 - \Big(\frac{\T}{\T_k}\Big)^{3/2}} prefere al la faza transiro je la kritiko temperaturo oni sentas la kvantuma efekto.\marginpar{\input{FazaTransado.tex}}
\par En la \homo{Fermi Dirac}-a statistiko por $\T\to 0$ \v ciuj statoj estas okupitaj kaj egalas al la numero de partikloj. \eroh{Fermi}{Energio}
\begin{figure}[!h]\centering\input{FermiaOkupado.tex}\end{figure}
\begin{ekzemplo}{Fermi-a Energio} Por iu obscilatoro armonika de ekvacio $\opl H = \hbar^2 /2m \partial_{\opl x^2}^2 + \alpha/2 \opl x^2$ la a\u utostatoj de la oscilatoro armonika estas \begin{displaymath} \E_n = \hbar \sqrt{\frac{\alpha}{m}}\big(\frac12 + n) \end{displaymath} por $N$ partikloj, mallonge de $0 = K$elvin, oni obtenas ke la energio Fermi-a estas $\E_\mathcal F = \E_{N-1}$ \noto{$\E = \sum_{n=0}^{N-1}\E_n$}, a\u u la maksimuma energio kiu povas havi tiu $N$ partikloj.\\ Se havas oni $\T << T_F$ oni volas dekovri la presiono de la Fermi-a maro. \begin{displaymath}\Pre =  \sum_{\vet p}\Big(\frac{\mez{n_{\vet p}}}{V}\Big)\sum_{\vet p_x > 0}\Big(A\frac{p_x}{m}t\Big)\Big(2p_x)\end{displaymath} $p$ unuas ene $p_F$ kaj nuli\v gas ekstere. \begin{displaymath} \frac{N}{V} \sum_{\vet p}\mez{n_{\vet p}}\frac{p_F^2}{m} = \frac{v}{h^3}\frac13\int_{|\vet p|< p_F}\vet p^2\di^3p = \frac1{h^3}\frac{4\pi}{3}\int_0^{p_F}p^4\di p\end{displaymath} $\Pre V/k\T $ egalas $\beta(\E_F - \vet p^2/2m)$ per $\vet p^2/2m > \E_F$ kaj nulas inverse.\begin{displaymath}\frac{\Pre V}{k\T} = \sum_{\vet p} \log(1 + ze^{-\beta\E_{\vet p}}) = \frac{V}{h^3}\frac{4\pi}{k\T}\int_0^{p_F} p^2 \Big(\frac{p^2_F}{2m} - \frac{p^2}{2m}\Big)\di p \end{displaymath} \\ La kimika potencialo estas \noto{$N/V = \mez N /A$} la energio petita por enmeti en la sistemo nvan partiklon al la nula energio. \end{ekzemplo} 
\begin{ekzemplo}{Du axutostatoj} Oni havas $N$ partikloj de maso $m$ en volumo $V$ en a\u utostatoj $\{\E_0,\E_1\}$ kun indico de [degenerazione] $g_1,g_2$ por $\E_{\vet p,v} = {\vet p}^2/2m + \E_n$ oni havas \v genere \begin{displaymath} Q_N = \frac1{N!} \Big(\sum_{\vet p,n} e^{-\beta \E_{\vet p,n}}\Big)^N = \frac1{N!} \Big(\sum_{n} e^{-\beta \E_{n}}\sum_{\vet p} e^{-\beta \frac{\vet p^2}{2m}}\Big)^N = \frac{V^N}{\Lambda^{3N}_{G}N!} \Big(\sum_n g_n e^{-\beta\E_n}\big)^N\end{displaymath}La interna energio kaj la terma koefi\v cento al kostanta volumento estas \begin{displaymath} \U = \mez H = - \De{\beta}\log(Q_N) \qquad C_V = \De{\T}\U\end{displaymath} Fari\v gas oni la sumo sur la statoj kaj ne sur la energioj. \end{ekzemplo}
\begin{ekzemplo}{Centroj Adsorbaj} En ia gaso $(m,N,V,\T)$ oni havas $M$ centraj absorbaj kiuj povas kapturi partiklon kun energio $-\E_0$. Trakas oni tiu sistemo kiel ia grankanona \v car la gaso estas kiel termostato rilate la centrojn. \begin{displaymath} Z = \Pi_{1}^M \Big(1 + ze^{\beta\E_0}\Big) \end{displaymath} La centroj agas kiel Fermi-aj statoj kaj sumigas oni sur la sotoj kaj ne sur la energioj. La mez valoro de partiklaj adsorbaj estas \begin{displaymath} \mez N_{ads} = z \De z Z = M\Big(\frac{ze^{\beta\E_0}}{1 + ze^{\beta\E_0}}\Big) \end{displaymath} Se havas oni du adsorb centraj specoj oni kalkulas la $Z$ grankanona produktante la sumo de \v ciuj centraj okupitaj. $1$ signifas ke la centroj ne estas okupita, $z_Ae^{\beta\E_A}$ signifas ke la centroj de speco A estas okupita, kaj $z_Be^{\beta\E_B}$ rilatas la B-ajn specojn. Do \begin{displaymath} Z = \Pi_1^M \Big(1 + ze^{\beta\E_A} + e^{\beta\E_B}\Big) \end{displaymath}\end{ekzemplo}
\begin{ekzemplo}{Fotonoj}$\E_{\vet p} = c|\vet p|$, $\U = 3\T V$ estas bosonoj kaj havas spin $\pm1$.En la materio havi\v gas oni la \ero{Fonono}j kiu havas la sonrapido astata\u u de la lumrapideco. Oni ne povas determini la numero de fotonoj \v car ili povas malkovri darinte energio al la atomoj. La kvantaj numeroj estas $(\vet p,s)$ kaj oni elprenas indicon indikantan de\v generon statan $g$. \v Genere $g = 2s + 1$ sed fotonoj havas nur du a\u u tostatoj do $g = 2 $. Havas oni de\v genero, ekzemple, se, sine magnetika kampo, la spin ne akiras divers enrgiajn nivelojn. Do \begin{displaymath} Z = \Pi_{\vet p,s} \Big(1 + ze^{\beta\E_{\vet p,s}}\Big) = \Pi_{\vet p} \Big(1 + ze^{\beta\E_{\vet p}}\Big)^2 \end{displaymath} Per fiksa numero de fotonoj sercas oni kiam estas minusa la energio libera Helmholtz-a al $\T$ fiksa. $\partial_N\A = 0 \Rightarrow \mu = 0$\spa$z = 1$ \begin{displaymath} \frac{\Pre V}{k\T} = \frac{8\pi V}{n^3c^3\beta^3}\sum_l \frac1 l \int_0^\infty y^2 e^{ly^2}\di p = \frac{8\pi V}{n^3c^3\beta^3}\sum_l \frac1 l \Dee l \frac1 l =  \frac{8\pi V}{n^3c^3\beta^3} \sum_{l=1}^\infty\frac{2}{l^4}\end{displaymath} Poste kaj simile \begin{displaymath} \U = 2\sum_{\vet p}c|\vet p|\frac1{e^{\beta c\vet p} - 1} = \frac{zV}{h^3}4\pi\int_0^\infty p^2cp\sum_le^{-\beta l c p}\di^3 p = \frac{8\pi V(k\T)^4}{c^3h^3}\sum_{l=1}^\infty\frac{6}{l^4}\end{displaymath} Sekvas $\U = 3k\T$\end{ekzemplo}
\end{section}
\begin{section}{Ekzercoj}
\begin{ekzemplo}{Presiono}Oni havas gason en skatolon de lato L. Oni kalkulas la mez valor de la impulso sur flanko $A$. Oni havas la distribua funkcio kiel \begin{displaymath} f(\vet p,\vet q) = \frac{\Lambda}{h^{3}V} \int e^{-\beta\frac{p^2}{2m}} \di^3 p \int_{Apt/m} \di^3 q\end{displaymath} kie $Atp_x/m$ estas la volumo okupita de la partikloj por \v ciuj direcioj de la impulso. \begin{displaymath} \mez {p_x}_{p_x>0} = \frac{At\Lambda^3}{mh^{3}V} \int_{p_x>0} p^2 e^{-\beta\frac{p^2}{2m}} \di^3 p = \frac{2At\Lambda^3}{\Lambda^2h^{3}V} \frac12 \int \De\beta e^{-\beta\frac{p_x^2}{2m}} \di p_x = \end{displaymath}\begin{displaymath} = \frac{At\Lambda}{h^{3}V} \De\beta \int e^{-\beta\frac{p_x^2}{2m}} \di p_x = \frac{At\Lambda}{h^{3}V} \big(-\frac1{k\T^2}\De\T \sqrt{2\pi m k\T}\big)  = \frac{At\Lambda}{2\Lambda V}k\T = \frac{At}{2V}k\T\end{displaymath} Presiono estas $\Pre = \mez p/At$ do $\Pre = Nk\T/V$ kiu estas la ekvacio de la ideala gaso.\end{ekzemplo}
\begin{ekzemplo}{Fermionoj} La statoj de spin estas $g=2S+1$. \noto{$v=\frac{V}{N}$}\begin{equation}Z=\Pi_{\vet p,\E}\Big(1+ze^{-\frac{-\beta\vet p^2}{2m}}\Big)=\Pi_{\vet p}\Big(1+ze^{\beta\E_{\vet p}}\Big)^g\end{equation} $\mez N =z\partial_z\log Z=\frac{gV}{\Lambda^3}f_{3/2}(z)$\spa$\frac\Pre{\kB\T}=g\Lambda^3f_{5/2}(z)$.\par Per $\T\to0$\noto{$p_F^2/2m=\E_f$}\begin{displaymath}\mez N=g\sum_{\vet p} \mez {n_{\vet p}} = g\sum_{|\vet p|\leq p_F} 1=g\frac{V}{h^3}\int_{|\vet p|\leq p_F}\di^3 p=g\frac{V}{h^3}\frac43\pi p^3_F\end{displaymath}$\mez N=g2\pi\frac{V(2m)^{3/2}}{h^3}\int_0^{\E_F}\sqrt\E\di \E=g2\pi\frac{(2m)^{3/2}}{h^3}\E_F^{3/2}\frac23$\noto{$\Pre V=2/3\U$}\begin{displaymath}\U=g\sum_{\vet p}\mez{n_{\vet p}}\E_{\vet p}=g2\pi V\frac{(2m)^{3/2}}{h^3}\frac{\E_F^{5/2}}{5/2} = \mez N\frac35\E_F\end{displaymath} $\Pre=\frac1V\frac23\U=\frac35\E_FN/V$\spa $\frac{2\Pre}{5\hbar^2}\frac1{2m}(\frac{6\pi^2}{gv^{5/2}})^{2/3}$\par Oni havas spacon due separitan, en la unua parto partikloj havas spin $S=1/2$ dume en la dua $S=3/2$. $\Pre_1=\Pre_2$
\marginpar{\begin{bildo}{}\put(0,0){\line(0,1){1}}\put(0,0){\line(1,0){.8}}\put(.8,0){\line(0,1){1}}\put(0,1){\line(1,0){.8}}\put(.4,0){\line(0,1){1}}\put(.1,.6){$v_1$}\put(.5,.6){$v_2$}\put(.1,.4){\tiny{$1/2$}}\put(.5,.4){\tiny{$3/2$}}\put(.1,.05){$m$}\put(.5,.05){$m$}\end{bildo}}
\begin{displaymath} \frac25\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{6\pi^2}{2v_1^{5/2}}\Big)^{2/3}=\frac25\frac{\hbar^2}{2m}\Big(\frac{6\pi^2}{4v_2^{5/2}}\Big)^{2/3}\end{displaymath}$(\big(\frac{v_1}{v_2}\big)^{5/2}=1/2$\spa$v_2=(\frac12)^{2/5}v_1$\noto{$z=\frac{\Lambda^3}{v}\frac{1}{g}+a\Big(\frac{\Lambda^3}{V}\Big)^2+\ldots$}\dm{\frac1v=\frac{g}{\Lambda^3}\Big(z-\frac{z^2}{2^{1/2}}+\frac{z^3}{3^{3/2}}+\ldots\Big)=\frac{g}{\Lambda^3}\Big(\Big(\frac{\Lambda^3}{gv}+a\Big(\frac{\Lambda^3}{v}\Big)^2+\ldots\Big)-\frac12^{3/2}(\frac{\Lambda^3}{gv}+\ldots\Big)^2+\ldots\Big)}$\frac1V=\frac{g}{\Lambda^3}\Big(\frac{\Lambda^3}{gv}+a\Big(\frac{\Lambda^3}{v}\Big)^2+\ldots-\frac1g^2\frac1{2^{3/2}}\Big(\frac{\Lambda^3}{v}\Big)^2+\ldots\Big)$\noto{$a=1/g^2\cdot1/2^{3/2}$}\noto{$z=\frac{\Lambda^3}{v}\frac1g+\frac1{g^2}\frac12^{3/2}\Big(\frac{\Lambda^3}{v}\Big)^2+\ldots$}\dm{\frac{\Pre}{\kB\T} = \frac{g}{\Lambda^3}\Big(z+\frac{z^2}2^{5/2}+\ldots\Big)=\frac{g}{\Lambda^3}(\ldots)=\frac1v+\frac{g}{\Lambda^3}\frac1{2^{2/5}}\Big(\frac{\Lambda^3}{v}\Big)^2} \begin{displaymath} \frac{\Pre V}{k\T}=1+\frac{1}{g2^{2/5}}\frac{\Lambda^3}{v}\end{displaymath}\kar\end{ekzemplo}
\begin{ekzemplo}{Bose-Einstein-a Kondenso}$1/v=1/\Lambda^3g_{3/2}(1)+\lim_{V\to\infty}\mez{n_0}/V$ \spa $1=v/\Lambda^3g_{3/2}(1)+\mez n_0/\mez{N}$ \noto{$v/\Lambda^3_kg_{3/2}(1)=1$}\spa $1=\Lambda_k^3/\Lambda^3+\mez {n_0}\mez N$. La frakcio de kondenso estas $\mez {n_0}/\mez{N} = 1 - (\T_k/\T)^{3/2}$\par En du dimensio \begin{displaymath} \frac{\Pre V}{k\T}= \ldots \end{displaymath}\kar\end{ekzemplo}\end{section}
\section{Kampa Priskribo} Se oni havas $\op K$ operatoro de la sistemo, sumo de la \homo{Hamilton}-a $\op H$ kaj de la numero de partikloj $\mu\op N$ oni povas uzi \homo{Matsubara} vidadon por skribi la \homo{Green}-a funkcio en perturbata iterado \noto{Tiu kaze $\kvet x = (\vet x,\tau)$ kie $\tau$ estas reala numero, ofte $1/\beta=k_B\T$} \dm{G_{\alpha\beta}(\kvet x,\kvet x') = -e^{\beta \A}\tr(e^{-\beta \op K}\op \psi_{\alpha,M}(\kvet x)\op\psi_{\beta,M}\agx(\kvet x')) } kiu en la interad vidado skribos \noto{$\op K_0=\op H_0$} \dm{G_{\alpha\beta}(\kvet x,\kvet x')=\frac{-\tr\Big(e^{-\beta \op K_0}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-\hbar)^n}{n!}\int_0^{\beta\hbar}\di\opl \tau T_\tau[\opl{\op \V}(\tau)\op\psi_{I\alpha}(\kvet x)\op\psi_{I\beta}(\kvet x')]\Big)}{\tr\Big(e^{-\beta \op K_0}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-\hbar)^n}{n!}\int_0^{\beta\hbar}\di\opl \tau T_\tau[\opl{\op \V}(\tau)]\Big)} } kie oni havas uzita la bone notita difino de la libera energio $\A$ \dm{e^{-\beta\A}\EDef\tr(e^{-\beta\op K}) \qquad \op \rho_G \EDef e^{\beta(\A-\op K)} } por difini la normaligita grand kanoka funkcio $\rho_G$. La priskribo estas tute egala al la nula temperatura priskribo, oni uzos la \homo{Wick}-an teoremon, la \homo{Feynmann} reglojn, la \homo{Dyson} ekvaciojn ktp.\par
Oni povas uzi tiu priskribo por kalkuli la adiabatikan [switching on] per la variado de la parametro $\lambda$, $\op K = \op H_0+\mu\op N+\lambda\V$. Do \dm{Z_{G\lambda}\EDef e^{-\beta\A\lambda} \qquad \partial_\lambda\A=-\frac\T{Z_{G\lambda}}\partial_\lambda Z_{G\lambda} } tiu deriva\v go sur eksponenta serio donas \dm{\partial_\lambda Z_{G\lambda}=\partial_\lambda\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-\beta)^n}{n!}\tr(\op H_0+\op \lambda\V)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-\beta)^n}{n!}\partial_\lambda\tr(\op H_0+\lambda\op \V)^{n-1}\V } kiu disvolvigos en \dm{\partial_\lambda Z_{G\lambda} = -\frac\beta\lambda e^{-\beta\A\lambda}\mez{\lambda\op V}_\lambda \qquad \A - \A_0 = \int_0^1\frac{\di\lambda}{\lambda}\mez{\lambda\V}_\lambda } Ke, kiel oni vidis en la kvantuma \v capitro, oni devolvigas en \dm{\A = \A_0 \mp \int_0^1\frac{\di\lambda}\lambda\int\di^3x\lim_{\kvet x'\to\kvet x}\frac12\Big(-\partial_\tau+\frac{\nabla^2}{2m}+\mu\Big)\tr G^{\lambda}(\kvet x,\kvet x') }
\section{Faza Transiro} Oni volas konstrui traktadon kiu povas priskribi la [comportamento] de la molekuloj en \fremd{ensamble} kaj malkovri la ekvaciojn kiuj priskribu la transiro de fazo. Fenomeno tre dificila priskribi \v car oni havas [rottura] de \fremd{ergod}eco kaj ne pli valoras la postulatoj de la Statistika Mekaniko. Do oni devas difini potencialon kiu interagas inter la partikloj por provi al apliki la uze traktadon supre priskibitan.\par
Komence oni povas priskribi la sistemon kiel simple interado de sferoj 
\marginpar{\begin{bildo}{}
\titolo{Sfero}{Dura}\aksoj{$x$}{$\V$}\put(.3,0){\line(0,1){1}}\put(.35,.15){$d_0$}\end{bildo}}
Kune tiu simple potencialo oni povas diri ke la molekuloj movi\v gas libere en la volumeno sed ne povas okupi la posiciojn de la aliajn. Si oni enmetas partiklon tiu havas $V$ libera volumeno. Si oni enmetas iu ali partiklon tiu havas $V-V_{sf}$ kiel libera volumeno. Iu tria havus $V-2V_{sf}$ libera volumeno (tie ne kalkulas ke se du sferoj estas [vicine] la libera volumeno estas pli granda \v car surposicias la volumeno de interado). Oni volas trovi la funkcio partaga \dm{Q_N(V,\T)=\frac1{\Lambda^{3N}N!}\int\di \vet xe^{-\beta\V(\vet x)} \qquad \V(\opl{\vet x})=\sum_{i<j}V(|\vet x_i-\vet x_j|)+\sum_i\U(\vet x_i)} En la sfera dura modelo $\U$ estas nula kaj $\V$ nuli\v gas se la distanco de $|\vet q_i-\vet q_j|$ estas pli malgranda de $d_0$. Oni povas kalkuli la produkton de \v ciuj posiciaj konfiguradoj $V\prod_{s=0}^{N-1} (1-(sV_0)/V)$ kaj sia logaritmo proksimigante \noto{$V_0<<V$\spa$\sum_i^Ni\simeq\frac{N^2}{2}$}\dm{\ln V\prod_{s=0}^{N-1}\Big(1-s\frac{sV_0}V\Big)\simeq \sum^N \ln V + \sum_{s_0}^{N-1}\Big(0-\frac{sV_0}V+O\big(\frac{sV_0}V\big)^2\Big)\simeq N\ln V-\frac{N^2}2\frac{V_0}V} Kie $V_0$ estas ok fojoj la volumeno de la dura sfero kaj oni difinas $b\EDef NV_0/2$. Oni do obtenas \dm{Q_N^{sd}(V,\T)\simeq \frac1{N!\Lambda^{3N}}\Big(V-\frac{NV_0}V\Big)} Oni povas anka\u u utiligi la \erof{Proksimagxo de Media Kampo}{Proksima\v go de Media Kampo} pensante de havi potencialo [attrattivo] kiu agas medie sur \v ciujn partiklojn. \dm{\mez \V\EDef\frac{\int_{|\vet x|>V_0}\di\vet x\V(\vet x)}{\int_{|\vet x|>V_0}\di\vet x}=\frac{\alpha N(N-1)}{2V}\qquad Q_N(\T,\V)\simeq e^{-\frac{\beta\alpha N^2}{2V}}\int_V\di\vet xe^{-\beta\sum_{i<j}V_{sd}(|\vet x_i-\vet x_j|)}} Kun la sekvanta distribua funkcio \dm{Q_N(\T,V)\simeq \frac1{N!\Lambda^3}(V-b)^Ne^{\frac{\alpha N^2}{2\kB\T V}}} oni povas trovi la presiono kiun oni scias kalkuli per $\Pre=-\partial_V\A$ \noto{$\A=-\kB\T\De V\ln Q_N$} kaj derivi la ekvacio de stato notita kiel \eroh{Van der Waals}{Ekvacio} \dm{\frac{\Pre}{\kB\T}=\frac{N}{V-b}-\frac{\alpha N^2}{2\kB\T V^2} \qquad \Big(\Pre +\frac{\alpha N^2}{2 V^2}\Big)(V-b)=n\kB\T} La \homo{Van der Waals} ekvacio estas bona proksima\v go inter la idealgasa stata ekvacio kaj la transiro de faza sed ne montras la [comporamento] de la gaso en la orizontala trakto. \homo{Maxwell} diris ke la tia ciklo estas isoterma \v car la integralo inter la punktoj 
\marginpar{\begin{bildo} \put(0,.5){\line(1,0){1}}\put(0,.40){$A$}\put(.9,.65){$B$}\qbezier(0,.5)(.25,.75)(.5,.5)\qbezier(.5,.5)(.75,.25)(1,.5)\put(1,.55){\vector(-1,0){.2}}\put(.45,.55){\vector(1,-1){.1}} \put(.1,.2){$\oint\de\T\Q=0$}\end{bildo}}
$A$ kaj $B$ samas en la du direkcioj. \par
Oni povas enkonduki potencialon kiu kungi la partikloj. Oni traktas la distibuan funkcion kun \homo{Lennerd Jones}-a potencialo kun tiu priskribo \dm{Q_N=\frac{1}{N!\Lambda^N}\int\di\vet xe^{-\beta\sum_{i<j}\epsilon\Big(\Big(\frac{\sigma}{\ra_{ij}}\Big)^{12}-\Big(\frac\sigma{\ra_{ij}}\Big)^6\Big)}=\frac{1}{N!\Lambda^N}\prod_{i<j}\int \di \vet x 1+\stackrel{f_{ij}}{f(|\vet x_i-\vet x_j|)}} Kun $f_{ij}=\mathnormal{exp}(-\beta\V(\vet x_i-\vet x_j|)$ oni havas funkcion limitata en la intervalo $[0,R_0]$ en kiu la potencialo agas (oni uzas potencialon de \fremd{range} finita. Si oni disvolvigas la pa produkton oni vidas inicie la termon $1$ de produkto de \v ciuj $1$-oj, poste la produkton de la singlaj $f_{ij}$ mopliplikitaj per la $1$-oj, la produkton de la duoplaj $f_{ij}f_{lk}$ kaj tiel pli \dm{1+f_{12}+f_{23}+\ldots+f_{12}f_{23}+f_{23}f_{34}+\ldots+f_{12}f_{23}f_{34}+\ldots} La $f_{ij}$ prezentas la interadoj inter la partikloj. Oni volas montri la bildon diagramatikan de la interadoj. \marginpar{\begin{bildo}\put(.1,.0){$1$}\put(.1,.0){\circle*{.005}}\qbezier(.1,.0)(.1,.0)(.2,.2)\put(.2,.2){$2$}\put(.2,.2){\circle*{0.005}}\qbezier(.1,.6)(.1,.6)(.3,.4)\put(.3,.4){$3$}\put(.3,.4){\circle*{.005}}\qbezier(.3,.4)(.3,.4)(.1,.6)\put(.1,.6){$4$}\put(.1,.6){\circle*{.005}}\qbezier(.4,.3)(.4,.3)(.5,.7)\put(.5,.7){$5$}\put(.5,.7){\circle*{.005}}\qbezier(.5,.7)(.5,.7)(.5,.4)\put(.5,.4){$6$}\put(.5,.4){\circle*{.005}}\qbezier(.5,.4)(.5,.4)(.6,.3)\put(.6,.3){$7$}\put(.6,.3){\circle*{.005}}\qbezier(.6,.3)(.6,.3)(.4,.3)\put(.4,.3){$8$}\put(.4,.3){\circle*{.005}}\qbezier(.6,.3)(.6,.3)(.7,.8)\put(.7,.8){$9$}\put(.7,.8){\circle*{.005}}\put(.4,.2){\tiny{$f_{56}f_{67}f_{78}f_{58}f_{79}$}}\put(.15,.55){\tiny{$f_{34}$}}\end{bildo}}
Por \v ciu duoplo oni povas koniugi a\u u ne kun $2^{N(N-1)/2}$ posiblecoj. Se $b_l$ estas la sumo de la kontribuoj de $l$ punktoj, prefere $l-1$ ligoj, $b_1$ estas la sumo de \v ciuj partikloj sine ligoj do la volumeno de la sistemo $b_1/V=1$. $b_2$ estas la integralo $\int\di\vet x_1\di\vet x_2f_{12}=V\int\di\vet\rho f(\rho)$ \dm{b_2=\frac1{2!V\Lambda^{3}}\cdot V\int\di^3\rho f_(\rho) \qquad b_3=\frac1{3!V\Lambda^6}\int\di\vet x_1\di\vet x_2\di\vet x_3f_{12}f_{23}=\frac1{3!V\Lambda^6}V\int\di\vet\rho f_(\rho)}\v Generaligante \dm{b_l=\frac1{l!V\Lambda^{3l-3}}\Big(\ldots\Big)} kie inter $()$-oj oni sumas \v ciuj amasoj [distinto]j dume la partaga funkcio $Q_N$ estas la sumo sur la distintaj grafoj de $N$ punktoj. \noto{$\sum_{l=1}^Nlm_l=N$}\dm{Q_N=\frac1{N!\Lambda^{3N}}\sum_{\{m_l\}}s_{\{m_l\}}} \dm{s_{\{m_l\}}=C,C(Vb_1)^{m_1},C(Vb_1)^{m_1}(2!v\Lambda^3b_2)^{m_2},C(Vb_1)^{m_1}\ldots(l!V\Lambda^{3l-l}b_l)^{m_l}} Pro \v ciu amaso oni povas permuti la $l$ partikloj $l!$ fojoj \v ciuj $m_l$ amasoj, do $(l!)^{m_l}$. Oni povas anka\u u inter\v san\v gi la amasojn inter ilin $m_l!$ fojoj. Do la rekta konta\v go estas \dm{C=\frac{N!}{(1!)^{m_1}(2!)^{m_2}\ldots(l!)^{m_l}\ldots(N!)^{m_N}m_1!m_2!\ldots}} oni havas \dm{Q_N=\frac1{N!\Lambda^{3N}}\sum_{\{m_l\}}s_{\{m_l\}}=\frac{1}{N!\Lambda^{3N}}\sum_{\{m_l\}}N!\Lambda^{3N}\prod_{l=1}^N\Big(\frac{Vb_l}{\Lambda^3}\Big)^{m_l}\frac1{m_l!}} en la vido grandkanona \noto{$Z(z,V,\T)\EDef \sum_{N=0}^\infty z^NQ_N$} oni eksprimas la disvolvo de la stata ekvacio la\u ue la \fremd{viriale} \dm{Z(z,V,\T)=\sum_{N=0}^\infty\sum_{\{m_l\}}\prod_{l=1}^{N}\Big(\frac{Vb_lz^l}{\Lambda^3}\Big)^{m_l}\frac1{m_l!}=\prod_{l=1}^{\infty}\sum_m=0^\infty\Big(\frac{Vb_lz^l}{\Lambda^3}\Big)^{m}\frac1{m_l!}=e\sum_{l=1}^\infty\frac{b_j}{\Lambda^3}Vz^l} oni do povas skribi la stato ekvacio kiel disvolvo de la \fremd{viriale} \dm{\frac{\Pre}{\kB\T}=\frac1{\Lambda^3}\sum_{l=1}^\infty\sum_l=1^\infty b_lz^l} Kiam oni havas disvolvon de $Z$ en povecoj de $z$ oni povas studi la sistemon per la nuloj de la sistemo. La senfina polinomio havas senfinajn nulojn. Tiuj nuloj estas \v genere en la kompleksa akso kaj havas preska\u u \v ciam ne nul imaginan parton. Kiam nulo havas nur realan valoron oni havas [accumulazione] de la aliaj punktoj \v cika\u ue \v ci tiu. Se oni povas trovi trakton de la reala akso kiu ne plitenas nuloj la limito de la funkcio verse tiu nulo estas analitika. \begin{legxo}{Young}{ Si \dm{F_\infty(z,\T)\EDef\mathrm{lim}_{V\to\infty}\frac{\ln Z(z,V,\T)}{V}} estas [kontinua] kaj malkreskante sia deriva\v go $z\partial_z$ estas analitika kaj strekte malkreskante. Pro \v ciu $z_0$ en $\R$ oni havas du re\v gionoj de analiteco}\end{legxo}
Oni do povas distingi inter la faze transiro de unua a\u u dua ordo vidante la malkontinueco de la deriva\v goj. La faza tranziro al la unua ordo havas kuneksisto de la du statoj en la ekvilibrio, en la dua ordo la sistemo pasas kontinue de uno stato al la alia. Oni povas difini la \ero{Parametro Orda} kiu estas la variablo kiu montras la malkontinueco al la kritika punkto. Si oni konsideras $\Pre(V)$ kiel orda parametro oni povas vidi ke sia deriva\v go estas malkontinua al la unua ordo. Si oni anstata\u e konsideras $V_{gaso}-V{Likuido}$ la orda parametro estas de dua ordo. Dume la faza tranziro oni havas la $m_{g}$ mason de la gaso kaj la $m_l$ mason de la likvido kaj oni povas uzi energion per \v san\v gi la ininitezima kvanteco de likvida maso en gasa $-\delta m_l=\delta m_g$. La \homo{Gibbs}-a energio estas do difinita kiel $G=m_lg_l+m_gg_g$ kaj oni povas derivi la entropio per $\partial_\T G$ akirante du diversaj valoroj de la entropio $\En_g$ kaj $\En_l$. 
\marginpar{\begin{bildo}\put(.4,.6){\tiny{$g_g$}}\qbezier(.1,.7)(.3,.7)(.5,.5)\put(.6,.5){\tiny{$g_l$}}\qbezier(.5,.5)(.8,.4)(.9,.1)\titolo{Angula}{punkto}\end{bildo}} Oni do havas angulan punkton kiu estas la sigulareco de la sistemo. En tiu puntko oni povas vidi la {\bf Ergodeca Rompo} kaj la sistemo perdas la simetrion de la mekanika statistiko priskribo. En tiu punkto oni havas rompon \v car oni havas gravan fluktuadon de la denseco \v cirka\u ue la ekvilibrio. En la unua ordo oni havas anka\u u fenomenoj kiel la senfiniteco de la komprimo en la kritika pukto \dm{K(\T,V_c)=\frac1V\De\Pre V\Big|_\T\to_{\T\to\T_c}\frac A{(\T-\T_c)^\gamma}} dume al la dua ordo la specifa kaloro estas \dm{C_V\T\de{\T}\En\to|t|^{-\alpha}}La afero pli grava estas la \ero{Longeco Karatkeriza} de la sistemo. La korelacio de la denseco kreskas kiel \dm{G(\ra)=\mez{\no(\vet x)\no(\vet 0)}-\mez{\no(\vet 0)}\propto \frac1{\ra^{d-2-\eta}}e^{-\ra/\xi}} en la kritika punkto la karakteriza longeco \dm{\xi\propto t^{-\nu}\to_{t\to0}\infty \qquad t\EDef\frac{\T-\T_k}{\T}} Kiam $\xi\to\infty$ oni povas \v san\v gi la skala faktoro de la retiklo kiu trasformas per \dm{\ra'=\ra/b\qquad G(\ra')=_{t\to0}b^{d-2-\eta}G(\ra)} oni do ne povas pli rekoni la pligrandigo de la sistemo. Kiel fraktalo la sistemo samas pro iu ajn skala faktoro, krom makrokopike. Oni do enkondukas faman modelon kiu priskribas tipoj de modeloj
\section{Ising-a Modelo}
La \homo{Ising}-a modelo naskis kiel modelo pro kalkuli la magnetiza\v jo spontanea de la fermetaloj sed plialtigis sian priskribon traktinte \v ciuj fenomenoj kiu havas {\it du grada transiro} kaj {\it simetria rompi\v go}. Tia modelo estas diskreta, oni vidas \v ciujn elektonojn en fiksa posicio de la retiklo. La elektronoj estas priskribitaj per siaj \fremd{spin} kaj la oriento de \v ciuj \fremd{spin} povas kompleksive montri la rompi\v gon de la simetrio. Tiuj fenomenoj forte depenas de la temperaturo. En la pli baza \homo{Ising}-a modelo la sistemo depenas sole de la temperaturo $\T$, la eksterna magnetika kampo $H$ kaj la kostanto de parigo $K$ inter du proksimaj \fremd{spin}. La \homo{Hamilton}-a de la sistemo estas \dm{H = K \sum_{<ij>}s_is_j+\Hm\sum_is_i} kie $<ij>$ signifikas la sumo inter du \ero{Unua Apudoj}, prefere kun la \v ciuj elektronoj kiuj trovi\v gas al la sama distanco, la pli apuda.\par  
Oni povas pluen difini aliajn grandecojn kiuj estas utilaj por kompreni la grandecoj de la sistemo. La \erof{Magnetizagxo}{Magnetiza\v go} kaj la \dm{\Mm\EDef\mez{\mu_0\sum_is_i}}
\end{chapter}
