\begin{chapter}{Stato Solida}
La stato solida priskribas sistemojn de atomoj interagantaj per {\it ligo}j kiuj posicioj estas preska\u u fiksaj en punktoj de la {\it retiklo}. Gravas la [comportamento] de la sistemo kun eksteraj interadoj kiel elektr magnetika radiado a\u u siaj proprecoj (specifika kaloro, termika kondukebleco, modulo de komprimo ktp) al variado de la temperaturo. 
\section{Ligoj}

\section{Retiklo}
La retiklo estas la geometrika posicinado de la atomoj en la solido por la bilancado de la interadoj. La \eroh{Bravais}{Retiklo} estas [griglia] senfina de punktoj diskretaj ponitaj en la spacoj tiu ke la sistemado kaj la orientado samu en iu ajn punkto de la [griglia]. Oni povas elekti por \v cia retiklo la bazajn vektorojn tiu ke oni povas [raggiungere] \v ciun punkton de la retiklo per la elekto de tri interaj numeroj ${\inte n_1,\inte n_2,\inte n_3}$ \dm{\vet r_{\inte n}=\inte n_1r^1+\inte n_2r^2+\inte r^3n_3} Sekvinte la grupa teoria oni povas kalkuli ke la numero de \homo{Bravais}aj retikloj estas 14. La pli uzitaj estas la {\it SC} (simpla kuba) (por simplaj kalkuloj \v car ne estas tre uzita nature), la {\it BCC} (kuba kun atomo en la centro) kaj {\it FCC} (kuba kun atomoj en la centro de la [facce]). La aliaj havas formon ne kuba \v car povas havi ne egal latojn a\u u angulojn. 
\begin{ekzemplo}La retiklo {\it SC} havas bazon ${r^1=a(1,0,0),r^2=a(0,1,0),r^3=a(0,0,1)}$ kie $a$ estas la baza longeco de la retiklo. \\ La\u u {\it BCC}  ${r^1=a/2(-1,1,1),r^2=a/2(1,-1,1),r^3=a/2(1,1,-1)}$ \\ La\u u {\it FCC} ${r^1=a/2(0,1,1),r^2=a/2(1,0,1),r^3=a/2(1,1,0)}$. La ecoj de tiuj retikloj estas
\begin{center}
\begin{tabular}{c| c c c c c}
& $V$ & punktoj & $\inte n$ proksimoj& $\ra$ proksimoj & [impaccamento]\\
\hline SC & $a^3$ & 1 &6 & a &$\pi/a$\\
BCC & $a^3/2$ & 2 & 8 & $\sqrt 2a$&$\sqrt 3/8\pi$\\
FCC & $a^3/4$ & 4 & 12 & $\sqrt 2a/2$
\end{tabular}
\end{center}\rule{0pt}{0pt}
\end{ekzemplo}
Oni volas entroduki bazon tiu ke \dm{\vet r^i\cdot \vet k_j=2\pi\delta^i_j} Tiu bazon estas do formata de la vektoroj \dm{k_1=\frac{2\pi r^1}{r^1\cdot r^2\times r^3}\qquad k_2=\frac{2\pi r^2}{r^1\cdot r^2\times r^3}\qquad k_3=\frac{2\pi r^3}{r^1\cdot r^2\times r^3}} 
\section{Fononoj}
La atomoj de la retikloj, per eksteraj ondoj a\u u per efekto de la temperaturo, povas movi de siaj retikl posicioj. Si oni imaginas potencialon kun repulsio de dura sfero al la atoma radio, minimo al la ekvilibra punkto $x^0$ kaj nuli\v gante al la kresko de la radio oni povas proksimi\v gi la potencialon en armonika proksimado disvolvinte fine la dua termo en potencoj de $\Delta x$, movo rilate la posizio $x^0$ \dm{V(\vet x_{n\alpha i}) = \V(\vet x^0_{n \alpha i}) + \sum_{n\alpha i}\De{\vet x_{n\alpha i}}\V(\vet x)\big|_{\Delta x=0}\Delta x_{n\alpha i} + \frac12 \sum_{n\alpha i}\sum_{m\beta j}\frac{\partial^2\V(\vet x)}{{\partial x_{n\alpha i}}{\partial x_{m\beta j}}}\V(\vet x)\big|_{\Delta x=0} \\\Delta x_{n\alpha i}\Delta x_{m \beta j}+O(\Delta x)^3} Oni sumas sur \v ciuj $n$ \v celoj de la retiklo en la $\alpha$ numeroj de bazoj (tipoj de atomoj en la \v celo) per $i$ direkcioj. La unua deriva\v jo de la potencialo nuli\v gas en la minimumo dume la valoro de nula ordo estas ne interesa kalkulinte la ekvacio de la movo. Do nia \homo{Hamilton}a estas \dm{H=\sum_{n\alpha i}\frac{p_{n\alpha i}}{2m_\alpha}+\frac12\sum_{n\alpha i}\sum_{m\beta j}\V^{m\beta j}_{n\alpha i}\Delta x_{n\alpha i}\Delta x_{m\beta j} \qquad \V^{m\beta j}_{n\alpha i}\EDef\frac{\partial^2V}{\partial_{n\alpha i}\partial_{m\beta j}}} Nun la problemo similas al aro de atomoj unigitas per [molle] kun diversaj masoj. La problemo estas la bone konita problemo de la armonika oscilatoro kies solvado estas la ekvacio de la ondoj \dm{\Delta x_{n\alpha i}=\sum_{\vet k}\frac{u_\alpha i(\vet k)}{\sqrt{m_\alpha}}e^{\imath\vet k\vet x}e^{-\imath\vet \omega\vet t}} Kun la kondico de \homo{Born-Von Karman} $\Delta x_N=\Delta x_0$ (a\u u $\psi(x+L)=\psi(x)$) oni povas facile vidi ke ank\u u la ond vektoroj estas kvantigitaj \dm{\Delta x_N-\Delta x_0=0 \qquad \sum_{\vet k}\frac{u_\alpha(\vet k)}{\sqrt{m_\alpha}}(1-e^{\imath\vet kNa})=0\qquad \vet k=\frac{2\pi}{\inte N\vet a}\inte m} 
\section{Dielektrika Solido}
La \homo{Maxwell}aj ekvacioj de solido ponita sub elektrika (eksterne $\vet E$ interne $\vet D$) kaj magnetika $\vet B$ ($\vet H$ ene la solido) depenas de la \v sar\v ga distribuo $\rho(\vet r)$ kaj de la tempa variacio de la kampoj \noto{$\vet D=\epsilon\vet E$\spa$\vet B=\mu\vet H$}\dm{\nabla\vet D=\rho\quad \nabla \vet B=0\quad \nabla\times\vet E=-\De\T \vet B \quad\nabla\times\vet H=\vet H+\De\T\vet D} en lineara proksima\v jo en la frekvenco dominio $\De t\to\omega$\dm{\nabla \vet H(\omega)=\vet J(\omega)-\imath\omega\vet D(\omega)=\sigma(\omega)\vet E(\omega)-\imath\omega\epsilon_0\epsilon_r(\omega)\vet E(\omega)=-\imath\omega\epsilon_0\Big(\epsilon_r(\omega)+\imath\frac{\sigma(\omega)}{\epsilon_0\omega}\Big)\vet E(\omega)} la [suscettivit\`a] elektrika $\chi(\omega)\EDef=\epsilon_r(\omega)-1$ estas analitika funkcio kaj oni povas disvolvigi \v gin. Sia poloj estas sur la nea kompleksa mez plano. Si oni kalkula la cirkla integralo sur la plusa mez plano \v gi nuli\v gas. \begin{center}\ldots\end{center} Si oni ne havas liberan \v sanr\v gojn $\rho =0$ oni havas en la solido \v ci tiu oscilanta kampo. \noto{$\nabla\times(\nabla\times\vet E)=\nabla(\nabla\vet E)-\nabla^2\vet E=$\spa$=\nabla^2\vet E$} \dm{\nabla\times(\nabla\times\vet E)=-\mu\De t\nabla\times\vet H=-\mu\sigma\De t\vet E-\mu\epsilon\Dee t\vet E\quad \nabla^2\vet E=\mu\epsilon\Dee t\vet E+\mu\sigma\De t\vet E} tiu ekvacio priskribas periodikan ondon $\vet E(\omega,\vet r)=\vet E_0\mathrm{exp}(\imath(\vet k\vet r-\omega t))$ kiu havas solvason sur la spaca dominio $\nabla^2\vet E=\konst\vet E=-\mu\epsilon\omega^2\vet E-\imath\mu\sigma\vet E$ kaj sur la tempa dominio $\mu\epsilon\dot{\vet E}+\mu\sigma\ddot{\vet E}=\konst\vet E=-k^2\vet E$ kaj devas solvi la kondico $(-k^2+\omega^2\mu\epsilon+\imath\omega\sigma)\vet E=0$.  havas solvadon de la formo \dm{\vet E=\vet E_0e^{\imath(\vet k\vet r-\omega t)}=\vet E_0e^{\imath(\Re(k)z-\omega t)}e^{-\Im(k)z}\qquad k\EDef\frac\omega c\sqrt{\epsilon+\imath\frac\sigma\omega} \qquad n(\omega)\EDef\frac\omega c k(\omega)} Notite ke la intenso $I$ havas amplitudo proporcionala al la kvar modulo de la kampo $\propto |\vet E|^2$ nur la reala esponanto kontribuas al la atenuado de la intesa\v jo $E_0^2\mathrm{exp}(-\Im k)z$. Oni do povas kalkuli la \ero{Refleksado Koeficanto} kaj la \ero{Trasmesado koeficanto} \dm{R(\omega)=\frac{(\Re n(\omega)-1)^2+\Im^2n(\omega)}{(\Re n(\omega)+1)^2+\Im^2n(\omega)}}\par
La polariza\v jo $\vet P(\omega)\EDef\frac NV\alpha(\omega)\epsilon_0\vet E(\omega)$ estas akirebla per la kalkulo de la polarizeco $\alpha(\omega)$ kiu dividi\v gas en atomika kaj retikla \dm{\alpha(\omega)=\alpha^{at}(\omega)+\alpha^{ret}(\omega)=\frac VN(\epsilon_r(\omega)-1)} La kalkulo estas kondukebla al ekvacio kiu priskribas la movo de la elektronika \v sar\v go pro ekstera forco. \dm{\vet d^{at}\EDef-Ze\vet s(t)\qquad Zm\ddot{\vet s}=-Zm\omega_0\vet s-Ze\vet E} kiu en la frekvenco dominio montri\v gas \dm{\vet s_0(\omega)=-\frac{e\vet E}{m(\omega^2-\omega^2)} \qquad\vet P^{at}=\frac{\vet d^{at}}V=\frac{Ze^2\vet E_0}{Vm(\omega_0^2-\omega_0^2)}} kiu ofte etas konsiderata frekvenc ne dipenda (se la frekveco estas tre alta la polariza\v jo ne \v san\v gas direcion kun la ekstera kampo). La retiklo movi\v gas anstata\u ue per la ekvacio \dm{\mu\ddot{\vet s}=-\mu\omega^2_0\vet s+e^*\vet E-\gamma\mu\dot{\vet s} \qquad \hat {\vet s}(\omega)=\frac{e^*\vet E}{\mu(\omega_0^2-\omega^2)-\imath\gamma\omega\mu}} Oni povas, uzante la proksima\v jo per $\gamma\to0$, reskribi \dm{\alpha^{ret}(\omega)=\frac{{e^*}^2}{\mu\epsilon_0(\omega_0^2-\omega^2)-\imath\gamma\omega}\to c{e^*}^2P_P\Big(\frac1{\omega_0-\omega^2}\Big)+\imath\pi\delta(\omega_0^2-\omega^2)=\\=c{e^*}^2P_P\Big(\frac1{\omega_0-\omega^2}\Big)+\imath\pi\frac1{2\omega_0}(\delta(\omega_0-\omega)+\delta(\omega_0+\omega))} defininte la limitoj $\epsilon(\omega)\to_{\omega\to\infty}\epsilon_\infty$ kaj $\epsilon(\omega)\to_{\omega\to0}\epsilon_0$\dm{\epsilon_r(\omega)=\epsilon^\infty_r+\frac{\omega_0^2(\epsilon_r^0-\epsilon_r^\infty)}{\omega_0^2-\omega^2}+\imath\frac\pi2\omega_0(\epsilon_r^0)(\delta(\omega_0-\omega)+\delta(\omega_0-\omega))} Oni do havas du termoj, la reala \\\input{Polarizajxo.tex}
\section{Movaj Elektronoj}
Komence, oni volas priskribi metalon kiel potenciala kavo de liberaj elektronoj. Tiu sistemo sekvos la \homo{Fermi}-a statistiko kaj estas nomata \fremd{jellium model} a\u u \eroh{Fermi}{Gaso}. Oni uzas la \homo{Hartree}-a proksima\v jo de nedipenda elektronoj $\Psi(\opl {\vet r})=\prod_i\psi_i(\vet r_i)$. La energia niveloj estas bone konitaj per la valoroj $\E_{\opl n}=\hbar^2/2m\cdot(k_x^2+k_y^2+k_z^2)=\hbar^2/2m\cdot \pi^2/L^2\cdot(n_x^2+n_y^2+n_z^2)$. La nedipendaj ondaj vektoroj $\vet k$ estas en la unua [ottante]. La totala numero de elektronoj $\nat N$ kaj la denseco $\dE$ estas kalkulebla per \dm{\nat N\EDef \int \di\vet kf(\E(\vet k))=\int\di\E g(\E)f(\E) \qquad \dE = \frac\U V= \int \di\E g(\E)f(\E)\E} kie $g(\E)$ estas la denseco de la statoj kaj $f(\E)$ la statistika distribuo de la partikloj. La denseco de la statoj estas skribebla kiel prefaktoro de la \v san\v go de la integrala variablo se oni dividas la ond vektoron $\vet k$ en la partoj perpendikulara $k_\perp$ kaj tan\v ga $f_\E$ al la \homo{Fermi}-a surfaco $\E(\vet k)=\E_{\mathcal F}$ \noto{$\di\E=|\nabla_{\vet k}\E|\di k_\perp$} \dm{\int\di\vet k=\int\int_{\E(\vet k)=\konst}\frac{\di f_\E}{|\nabla_{\vet k}\E(\vet k)|}\di \E=\int g(\E)\di \E} En grandaj sistemoj $\sum_{\vet k}\to V/(2\pi)^2\int\di \vet k$ \noto{$k=\sqrt{2m\E/\hbar^2}$\\$\di k=\sqrt{2m/\hbar^2}\frac12\E^{-1/2}\di\E$}\dm{\sum_{\vet k}f(\E(\vet k))\to V \int \di \E g(\E)f(\E)\qquad g(\E)=2\cdot\frac{4\pi k^2}{(2\pi)^2}\frac12\Big(\frac{2m}{\hbar^2}\Big)^{3/2}\sqrt \E} kie la faktoro $2$ estas devita a la multopleco de la elektrona \fremd{spin}. En la modelo de nedipendaj elektronoj \dm{\E(\vet k)=\E(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2m} \qquad m^*(k)\EDef\hbar^2\Big/\Dee k\E(k)} oni difinas $m$ la \ero{Maso [Efficace]}-n de la partiklo devita al la valoro de la $\vet k$. La efikaca maso estas grava por kompreni la [ruolo] de la elektrono en la trasporto de varmo a\u u kuranto. Si la efikaca maso estas malgranda la kurvado de la funkcio $\E(\vet k)$ estas granda kaj forte depenas de $\vet k$ kaj la elektrono estas bona kondukilo.\par 
De la anta\u ua formulo konante  la totala numero de la elektronoj $N$ oni povas trovi la \homo{Fermi-a} nivelo \dm{N=\frac V{8\pi^2}\frac43\pi k_{\mathcal{F}}^32 \qquad \E_{\mathcal F}=\frac{\hbar^2}{2m}\Big(3\pi^2\frac NV\Big)^{2/3}} Oni povas do kalkuli la energia denseco \dm{\dE=\int_0^\infty\di\E g(\E)f(\E)\E=\int_0^{\E_{\mathcal F}}\di\E g(\E)\E=\frac35\frac NV\E_{\mathcal F}}\par
Kiel supren skribita la \homo{Fermi} distribuo depenas de la temperaturo $\T$ de la sistemo\noto{$f(\E,\T)=\frac1{e^{\beta(\E-\mu)}+1}$\\$\beta=\frac1\T$\spa$\mu=\De N\A$} do la elektronoj havas probablecon havi energion pli granda ol la \homo{Fermi}-a anka\u u se je la ambienta temperaturo $\T_{\mathcal F}\ENum 10^4[K]$ dume $\T\ENum 10^2[K]$. Se la energio estas granda la distribuo estas egala al la \homo{Boltzmann}-a \noto{$f(\E)\simeq e^{-\beta(\E-\mu)}$}. \v Genere la kimika potencialon depenas de la temperaturo kaj de la totala numero de elektronoj \dm{\mu=\mu(\T,N)=\mu(\T_0)-\konst\Big(\frac{T}{T_{\mathcal F}}\Big)2+O(\T^2)\simeq \E_{\mathcal F}}\par 
En tiu elektrona libera modelo si oni enmetas en la solido \v sar\ v gon $q$ plusan oni havas potencialon eksteran en la elektronan gason kaj oni devas solvi la \homo{Poisson} Ekvacion. \dm{\nabla^2\V(\vet r)=-4\pi\rho(\vet r)=-4\pi\big(-e(\no(\vet r)-\no_0)\big)} En la \erof{Thomas Fermi Proksimagxo}{\homo{Thomas Fermi}-a Proksima\v jo} la ekstera potencialo varigas malrapide kaj \v san\v gas sole la energio de la sigla partiklo kaj la \homo{Fermi}-a distribuo $\E(\vet k)\to\E(\vet k)-e\V(\vet r)$\spa$\mu\to\mu(\vet r)=\mu+e\V(\vet r)\simeq \E_{\mathcal{F}}+e\V(\vet r)$\spa$\hbar^2/2m\cdot(3\pi^2\no(\vet r))\simeq\E_{\mathcal F} + e\V$ kun klasika elektrostatika termo $e\V(\vet r)$. \dm{\no(\vet r)=\frac1{3\pi^2}\Big(\frac{2m}{\hbar^2}\Big)^{3/2}\big(\E_{\mathcal F}+e\V(\vet r)\big)^{3/2}\simeq\frac1{3\pi^2}\Big(\frac{2m}{\hbar^2}\Big)^{3/2}\E_{\mathcal F}^{3/2}\Big(1+\frac32\frac{e\phi(\vet r)}{\E_{\mathcal F}}\Big)} Sekvinte la \homo{Poisson}-a ekvacio kaj poninte la sferika simetrio $\V(\vet r)=\V(\ra)$ \noto{$\nabla^2\V(\ra)=\Big(\Dee \ra + \frac 2\ra\De \ra\Big)V(\ra)=\lambda^2\V(\ra)$\\$\V(\ra)=\frac q\ra e^{-\lambda\ra}$} oni povas difini $\ra_{\mathcal {TF}}$ la \eroh{Thomas Fermi}{Radio} a\u u la distanco de defalo de la potencialo ene libera \homo{Fermi}-a gaso \dm{\ra_{\mathcal {TF}}\EDef \sqrt{\frac{\E_{\mathcal F}}{6\pi\no_0e^2}}\qquad \V(\ra)=\frac q\ra e^{-\frac \ra{\ra_{\mathcal TF}}}} Tiu radio estas malgranda en la metaloj, kiuj ne povas havi separon de la \v sar\v goj, kaj granda en la [isolanti] \v car la elektronoj estas ligitaj kaj ne sukcesas [schermare] la liberan \v sar\v gon. Kelkaj materialoj povas havi la \eroh{Mott}{Transiro} transigante de metaloj al [isolanti] \v san\v gante la valoro de la \homo{Thomas Fermi} radio.\par
Si oni varmigas la materialon la elektronoj eliras de la sistemon kun la kuranto \dm{\vet J=-e\no\vet v\qquad J_x\simeq \frac{2e}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^\infty\di k_y\di k_z\int_{k_{min}|\E(\vet k)>\V_{ekst}+\E_{\mathcal F}}^\infty \di k_x f(\E(\vet k),\T)\frac\hbar mk_x} kie $V_{ekst}$ estas la potencialo de ekstrado de la elektrono.\begin{center}Kalkulinte\ldots\end{center} oni obtenas la \eroh{Richardson Dushman}{Legxo} \dm{J_x\simeq \Big(\frac{4\pi me}{\hP^3}\Big)(\kB\T)^2e^{-\frac{\V_{ekst}}{\kB\T}}}
\section{Bandaj Strukturoj}
La pli bona priskribo de la elektronoj en periodika retiklo estas donita de \\
\begin{legxof}{Bloch-a Teoremo}{\homo{Bloch}-a Teoremo} Si oni havas periodikan potencialon la ond funkcioj kiuj solvas la \homo{Schr\"odinger}-a ekvacio estas planaj ondoj modulita por periodikaj funkcioj. La potencialo estas \dm{\Big(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+\V(\vet r)\Big)\psi(\vet r)=\E\psi(\vet r)\quad \big|\quad \V(\vet r)=\V(\vet r+R)} Si $\vet R=n_1\vet a_1+n_2\vet a_2+n_3\vet a_3$ estas la retikla paso oni povas skribi la ond funkcio kiel \dm{\Psi_{\vet k}(\vet r)=e^{\imath\vet k\vet r}\psi_{\vet k}(\vet r)\quad\big|\quad \psi_{\vet k}(\vet r+\vet R)=\psi_{\vet k}(\vet r)\quad \big|\quad \Psi(\vet r+\vet R)=e^{\imath\vet k\vet R}\psi_{\vet k}(\vet r)} Oni volas serci funkcion de formo kiel supre kiu solvas la ekvacio al memvaloroj. La ond funkcio en la reciproka spaco estas kalkulita per sia \homo{Fourier}-a trasformo $\psi_{\vet k}(\vet r)= \sum_{\vet k}c_{\vet k}e^{\imath\vet k\vet r}$ kun $c_{\vet k}\propto \int\di\vet re^{-\imath\vet k\vet r}\psi(\vet r)$. Pro la periodikaj kondicoj la pontencialo samas en \v ciuj punktoj $\vet r+\nat n\vet R$ de la retiklo.\dm{\V(\vet r)=\V(\vet r+\vet R)=\sum_{\vet K}\V_{\vet K}e^{\imath\vet K\vet r}} La kalkulo en la reciproka spaco estas pli facila \dm{\sum_{\vet k}\frac{\hbar k^2}{2m}\kompl c_{\vet k}e^{\imath \vet k\vet r}+\sum_{\vet k,\vet K}\V_{\vet K}\kompl c_{\vet k}e^{\imath \vet k\vet r}=\E\sum_{\vet k}\kompl c_{\vet k}e^{\imath \vet k\vet r}} La koeficanto $c_{\vet k}$ estas multiplikita per la faza faktoro $e^{\imath\vet k\vet r}$ do \dm{c_{\vet k}\propto\sum_{\vet k'}\int\di \vet r e^{\imath(\vet k-\vet k')\vet r}=\delta_{\vet k'\vet k} \qquad \sum_{\vet k'}\int\di \vet r e^{\imath(\vet k+\vet K-\vet k')\vet r}=\sum_{\vet K}c_{\vet k-\vet G}} La ekvacio al la memvaloroj kundiki\v gitas al \dm{\Big(\frac{\hbar k^2}{2m}-\E\Big)c_{\vet k}+\sum_{\vet K}V_{\vet K}c_{\vet K-\vet k}=0} La solucio samas tiel per iu ajn vektoro $\vet K$ de la regulara strukturo de la retiklo.\end{legxof}
Per tiu teoremo oni povas diri ke en ia unua \homo{Brillouin}-a zono $\vet k\in[-\pi/a,\pi/a]$ estas egala en \v ciuj.
\subsection*{Preska\u u liberaj} La unua proksima\v jo konsideras la elektronojn kiel preska\u u liberajn.\noto{$\E_0(\vet k)=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$} Oni devas do solvi la samvalorajn ekvaciojn al la memvalorojn \dm{(\E-\E_0(\vet k))c_{\vet k}=\sum_{\vet G}V_{\vet G}c_{\vet k-\vet G} \\ \Big(\E-\E_0(\vet k-\vet G)\Big)c_{\vet k-\vet G}=\sum_{\vet G'}V_{\vet G'}c_{\vet k-\vet G-\vet G'}=\sum_{\vet G''-\vet G}c_{\vet k-\vet G''}} En la ipoteso de malgranda potencialo nur la koeficantoj kiuj havas memenergio simila al la kinetika energio estas gravaj \dm{c_{\vet k-\vet G}=\frac{\sum_{\vet G'}V_{\vet G'-\vet G}c_{\vet k-\vet G'}}{\E-\E_0(\vet k-\vet G)} \qquad \E=\E_0(\vet k-\vet G) \Rightarrow k^2\simeq|\vet k-\vet G|^2} prefere nur la elektronoj kiuj plitenas la  \homo{Bragg} kondico $k^2\simeq |\vet G-\vet k|^2$ malgrandigas la denominatoron kaj \v san\v gas la energiajn nivelojn [vicino] al la bordoj de la unua \homo{Brillouin} zono. Oni do devas solvi ama\u u ekvacioj \dm{\Big(\frac{\hbar^2k^2}{2m}-\E\Big)c_k+\sum_{\vet G}V_{\vet G}c_{\vet k-\vet G} \qquad \Big(\frac{\hbar^2|\vet k-\vet G|^2}{2m}-\E\Big)c_{\vet k-\vet G}-V_{-\vet G}c_{\vet k}=0} Estante sistemo de du ekvacioj estas solvebla se la determinato estas ne nula. Tiu kondico portas al la rezulto \dm{\E^\pm=\frac{\E_0(\vet k)+\E_0(\vet k-\vet G)}2\pm\sqrt{\frac14(\E_0(\vet k-\vet G)-\E_0(\vet k))^2+|V_{\vet G}|^2}} prefere oni havas du diversaj valoroj kiuj permetas la ekziston de la partiklo nur en kelkaj bandoj dume aliaj bandoj estas [proibite]. En unu dimensio la ond funkcio estas la [super pono] de eniranta kaj refleksa ondo. La denseco de la statoj estas $\rho_+(x)=|\psi_+(\vet x)|^2\simeq\cos^2(\pi/\vet a\vet x)$. Tiu modelo estas utila per la metaloj de la I, II,III, IV periodo \v car la elektronoj de la \v seloj {\it s}, {\it p} estas malmulta kunigitaj kun la ionoj.
\subsection*{Forta Ligo} Por la elektronoj kiuj estas forte ligitaj al la ionoj ( la metaloj de transiro kiuj ne havas la {\it d} \v selo plene okupita kaj la [isolanti]). Kiel en la Materio Struktura oni povas priskribi molekulon kiel lineara [superposado] de atomaj orbitaloj sed kun la periodika kondico de la teoremo di \homo{Bloch}. La ekvacio kiu oni devas solvi estas tia de la izolita atomoj kun la interado de la aliaj en la [cella]. \dm{\E\psi_{\vet k}(\vet r)=H\psi_{\vet k}(\vet r)=\Big(-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+\V_{at}(\vet r-\vet r_n)+\sum_{m\neq n}\V_{at}(\vet r-\vet r_m)\Big)\psi_{\vet k}(\vet r)} Pluen la ond funkcio devas havi la \homo{Bloch}-a formon kaj estas [sovrapposizione] de atomaj ond funkcioj \dm{\psi_{\vet k}(\vet r)=\sum_ne^{\imath\vet k\vet r_n}f(\vet r-\vet r_n)=\sum_ne^{\imath\vet k\vet r_n}\sum_ia_i\phi^{at}_i(\vet r-\vet r_n)} Kalkulante $\bra{\phi_j}H-\E\ket{\psi_{\vet k}(\vet r)}=0$ kaj definante \dm{S_{ij}(\vet r_n)\EDef\int\di \vet r\phi_j^*(\vet r)\phi(\vet r-\vet r_n)(1-\delta_n,0) \quad \V_{ij}=\int\di \vet r\phi^*_j(\vet r)\Big(\sum_{m\neq n}V_A(\vet r-\vet r_m)\Big)\phi_i(\vet r) \\ \Gamma_{ij}(\vet r_n)\EDef\int\di \vet r\phi^*_j(\vet r)\Big(\sum_{m\neq n}V_A(\vet r-\vet r_m)\Big)\phi_i(\vet r)(1-\delta_{n,0})} oni obtenus \dm{\E_l(1+S(\vet k))+\V_{ll}+\Gamma(\vet k)=\E(1+S(\vet k)) \quad \E(\vet k)=\E_l+\frac{\V_{ll}+\Gamma(\vet k)}{1+S(\vet k)}\simeq\E_l+\V_{ll}+\Gamma(\vet k)}
\begin{ekzemplo}{Banda Strukturo en SC retiklo} En la {\it SC} retiklo oni havas nur interadoj kun 8 [nearest neighbours]. La kalkulo de \dm{\Gamma(\vet k)=\sum_{n\neq 0}e^{\imath\vet k\vet r}\int\di\vet r\phi^*(\vet r)\Big(\sum_{<mn>}V_A(\vet r-\vet r_m)\Big)\phi(\vet r-\vet r_n)=\sum_{n\neq0}e^{\imath\vet k\vet r}\gamma\\=2\gamma(\cos(k_xa)+\cos(k_ya)+\cos(k_za))} Rilate al la energio $\E_l$ de la atoma nivelo $\inte l$ oni povas havi valorojn \dm{\E \stackrel{S_{ll}\simeq0}{\simeq} \E_l + \stackrel{?}0 + 2\gamma\Big(\cos\Big(2\frac{k_xa}2\Big)+1-2\sin^2\Big(\frac{k_ya}2\Big)\stackrel{\vet k\simeq0}+ 1-\frac{k_x^2a^2}2\Big)=\E_l+6\gamma-\gamma a^2k^2}\end{ekzemplo}
\section{Kuranto} Dume oni povas konsideri la eksternajn kampojn klasike kiam ili ne vari\v gas en la atomaj dimensioj kaj sia frekvenco ne estas komparebla kun la energio de iniza\v go a\u u de banda transiro, oni devas konsideri la elektronoj kiel kvantumaj partikloj. La elektrono estas onda paketo kiu havas grupan rapidecon $\vet v_g=\nabla_{\vet k}\omega$ kaj en la \homo{Bloch}-a priskribo en la $n$-a bando oni havas \dm{\vet v_n=\frac1\hbar\nabla_{\vet k}\E_n(\vet k)} kiu montras ke se la funkcio $\E(\vet k)$ ne estas kostanta la rapideco neniam nuligas $\vet v_g\propto\nabla_{\vet k}\E\neq0$ do sub kostanta forco $m\di_t\vet v=e\vet E$ la rapideco kreskas kun la tempo $v=eEt/m$ kaj la kondukebleco estas senfina. Tiu kiu limitas la kundukebleco de la kuranto estas la fotonoj kaj la difektoj de la retiklo kiuj interagas kun la elektronoj. Oni volas do formi priskribon kiu konsideru la [modifiko] de la elektrona distribuo per kostanta forco kaj la interado kun la defektoj de la retiklo. La kuranto estas do \dm{\vet J_n=2\int_{I\mathcal{B}aZo}\frac{\di\vet k}{(2\pi)^3}(-e)\vet v_n(\vet k)f(\vet k)=-\frac{2e}{\hbar(2\pi^3)}\int_{I\mathcal BaZo}\di\vet k\nabla_{\vet k}\E_n(\vet k)f(\vet k)} Si la bando estas plene okupita la funkcio $\E(\vet k)$ estas para, sia deriva\v jo estas do nepara kaj nuligas l'integralon sur la periodika intervalo. Nur la bandoj ne plene okupitaj povas trasporti kuranto do si la bando estas preska\u u  malplena oni diras ke la kondukeco estas devita ol la nea \v sar\v voj (kiel elektronoj sed kun diversa efika maso) se estas preska\u u plena estas la [buche] de plusa signo trasporti kuranton. Per la \eroh{Boltzmann}{Ekvacio} \dm{f=f(\vet k,\vet r,\vet t) | \De tf+\vet v\nabla_{\vet r}f+\frac{\vet F}{\hbar}\nabla_{\vet k}f=\Big(\De tf\Big)_{kol}} la maldekstra termo esta la koliza a\u u la probableco ke la elektrono, kolidante kun alia partiklo, \v san\v as staton. \dm{\Pro_{\vet k\to\vet k'}=\int \frac{\di\vet k'}{4\pi^3}W_{\vet k\vet k'}f(\vet k)(1-f(\vet k'))\qquad \Big(\De tf\Big)_{kol}=\Pro_{\vet k\to\vet k'}-\Pro_{\vet k'\to\vet k}} $W_{\vet k\to\vet k'}\EDef \partial_t\Pro_{\vet k\to\vet k'}$ estas la probablo de transiro sur tempa uneco inter la statoj $\ket{k},\ket{k'}$ kiel priskribita en la \homo{Fermi} aurea le\v go. Tiu estas tre dificila integral diferenciala kalkulo, ofte neebla \v car oni ne konas la \homo{Hamilton}-a de la interado inter la du partikloj. Oni uzos do la \erof{Tempa Relasa proksimajxo}{Tempa [Rilassamento] Proksima\v jo} kiu diras ke en finita tempo $\tau(\vet k)$ la deriva\v jo estas proksima al la [incrementale] valoro inter la iniciala kaj finala statoj. \noto{\input{BoltzmannTrasporto.tex}}\dm{\Big(\De tf\Big)_{kol}\simeq -\frac{f(\vet k)-f_0(\vet k)}{\tau(\vet k)}\Rightarrow \vet v\nabla_{\vet r}f+\frac{\vet F}{\hbar}\nabla_{\vet k}f=-\frac{f(\vet k)-f_0(\vet k)}{\tau(\vet k)}} \noto{\input{DefDeT.tex}}Si $f$ ne depenas de la posicio \v car la eksterna kampo estas uniforma (space) kaj kostanta (tempe) la \homo{Boltzmann} ekvacio rekondukas al \dm{f(\vet k)=f_0(\vet k)+\frac{e}{h}\tau(\vet k)\vet E\nabla_{\vet k}f(\vet k)\simeq \frac{e}{h}\tau(\vet k)\vet E\nabla_{\vet k}f_0(\vet k)} La lasta termo estas lineara repondo al la ordo $O(\tau)$. La ekstarna kampo movas do la \homo{Fermi}-a distribuo de valoron kiu permetas la kuranton \dm{\vet J_n=\frac{-e}{4\pi^3}\int \di\vet k\vet v(\vet k)(f_0(\vet k)+\frac e\hbar\tau(\vet k)\vet E\nabla_{\vet k}f_0(\vet k))=0+\sigma\vet E} kie $\sigma$ estas la tensoro de elektrika kondukebleco. Oni povas vidi pluen ke la derivo de la \homo{Fermi} distribuo $\nabla_{\vet k}f_0(\vet k)=\partial_\E f_0\nabla_{\vet k}\E(\vet k)=\hbar\partial_\E f\vet v_n(\vet k)$ depenas de la temperaturo kaj estas ne nula nur en la proksima\v jo de la \homo{Fermi}-a energio.
\subsubsection*{Term Elektra Efekto} Kun la sama \homo{Boltzmann} ekvacio havas anka\u u la termo $\vet r$ depena. \dm{\vet v\De\T f\nabla_{\vet r}\T+\dot{\vet k}\nabla_{\vet k} f=\frac{f-f_0}\tau\quad f(\vet k)\simeq f_0(\vet k)+\frac e\hbar \tau\nabla_{\vet k}f_0-\tau\De \T f_0\vet v\nabla_{\vet r}\T} La elektrika kuranto nun havas alian termon kiu estas devita al la terma gradianto pli term elektra koeficanto. \dm{\vet J_e=-\frac{e}{4\pi^3}\Big(\Big(\int \di \vet kv(\vet k)\frac e\hbar\tau\nabla_{\vet k}f_0\Big)\vet E-\Big(\int\di\vet k v(\vet k)\tau\De\T f_0\vet v\Big)\nabla_{\vet r}\T\Big)=L_{11}\vet E+L_{12}(-\nabla_{\vet r}\T)} \noto{$\mez{v_x}=\frac13\mez{v}$\spa$\E\simeq \frac12m^*v^2$\spa$v_x^2\simeq\frac{2\E}{3m^*}$} \dm{L_{12}\simeq-\frac{2e\tau_{\mathcal F}}{3m^*}\partial_\T\Big(\int\di \vet k \frac1{4\pi^3}\E(\vet k)f_0(\vet k)\Big)=-\frac{2e\tau_\mathcal F}{3m^*}\stackrel{c_V(\T)}{\De\T\mez\E}}Oni nomas \eroh{Seeback}{Efekto}n la kuranto devita pro la term elektrika gradianto kaj la \eroh{Peltier}{Efekto}n La flukso de kaloro devita pro la elektika kampo. 
\end{chapter}
